B知识讲解直线与双曲线的位置关系理

直线与双曲线的位置关系【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题.【知识网络】双曲线双曲线的定双曲线的几直线与双曲线双曲线的综双曲线离心双曲线的弦问【要点梳理】要点一、双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义在平面内，到两个定点F、F的距离之差的绝对值等于常数2a(a大于0且122a<FF)的动点P的轨迹叫作双曲线.这两个定点F、F叫双曲线的焦点，两焦点的1212距离叫作双曲线的焦距.方程：a2b212yyx=1(a>0,b>0)a2b212要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确要点二、双曲线的几何性质a2a2b2标准方程a2b2焦F(c,0)22F(c,0)221点性点质焦质距1212距实轴长=2a，虚轴长=2baay=士xb范围对称性顶点轴离渐程a要点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系a2b2若b2一a2k2=0,即k=士b，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；aa①Δ＞0一直线和双曲线相交一直线和双曲线相交，有两个交点；②Δ＝0一直线和双曲线相切一直线和双曲线相切，有一个公共点；③Δ＜0一直线和双曲线相离一直线和双曲线相离，无公共点．直线与双曲线的相交弦设直线y=kx+m交双曲线x2y2=1(a>0,b>0)于点P(x,y),P(x,y),两点，则a2b2111222|PP|=(x+x)2+(yy)2121212=(x+x)2[1+(y1y2)2]=1+k2|xx|12xx12121+|yy这里|xx|,|yy|,的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：2|xx|=(x+x)24xx212|yy|=(y+y)24yy121212双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.a2b200转化，往往就能事半功倍.曲线定义不能忘”.要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径主要有以下三种：(1)利用定义转化(2)利用双曲线的几何性质(3)转化为函数求最值【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质bP12a2b2PF.PF2ac12=PF.PF2ac12=21212121212又又2++，22(2)与双曲线x2y2=1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线．164【答案】(1)∵椭圆x2+y2=1的焦点为(0，±3)，∴所求双曲线方程设为：y2x2=1，a29a2∴104=1，解得a2＝5或a2＝18(舍去)．a9a254xy=1的焦点为(±25，0)，164∴设所求双曲线方程为：x2y2=1，a220a2又点(32，2)在双曲线上，∴184=1，解得a2＝12或30(舍去)，a220a21282为()A．5C.52B.BD.D5554类型二：直线与双曲线的位置关系x【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解.【解析】联立方程组〈(y=k(x1)消去y，并依x聚项整理得：x2y2=42线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切).3相切的情况).线无交点.3时，运用了重要的数学方法——分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数举一反三：43范围是()x9.1C例3.过点P(7,5)与双曲线x2-y2=1有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出【思路点拨】P点的直线方程与双曲线方程x2-y2=1联立的方法，但要注意直线斜725率不存在的情况要先判断。25当k=57时，方程无解，不满足条件；777所以满足条件的直线有两条x=7和y=一57x+10。7位置和所过的特殊点.【变式】双曲线x2一y2=1的右焦点到直线x-y-1=0的距离为2,且2a2=3c.a2b22(2)设直线y=kx+m(m≠0)与双曲线交于不同两点C、D，若点A坐标为(0，-b)，且33333类型三：双曲线的弦例4.(1)求直线y=x+1被双曲线x2一y2=1截得的弦长；4(2)求过定点(0,1)的直线被双曲线x2一y2=1截得的弦中点轨迹方程.4【思路点拨】解。(2)题涉及到直线被双曲线截得弦的中点问题，可采用点差法或中点坐标公式，运算会更为简便.12123123121212933(2)方法一：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为12且x+x=2k,xx=-5，xx2124-k22122124-k2(k|x=4-k21122lxy1212121224(x-x)4(x-x)xy-1y-y122即4x2-y2+y=0(图象的一部分)(2)注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法.【变式1】垂直于直线x+2y3=0的直线l被双曲线x2y2=1截得的弦长为45，求2053直线l的方程【变式2】双曲线x2y2=1的一弦中点为(2，1)，则此弦所在的直线方程为()A.y=2x1B.y=2x2C.y=2x3D.y=2x+3类型四：双曲线的综合问题Wxy2=1,(x2).221122故x+x=2km,xx=m2+2,所以……OA.OB=xx+yy=xx+(kx+m)(kx+m)=(1+k2)xx+km(x+x)+m2k2-11-k2k2-1kk2-11-k2k2-1k2-1 1212