微积分下第五章5习题课

第五章习题课一.主要内容二.典型例题一、主要内容（一）向量代数（二）空间解析几何向量的线性运算向量的表示法向量积数量积混合积向量的积向量概念（一）向量代数直线曲面曲线平面参数方程旋转曲面柱

面二次曲面一般方程参数方程一般方程对称式方程点法式方程一般方程空间直角坐标系（二）空间解析几何二、典型例题解

共面．

00

0求一单位向量

n

，使

n

^c，且

n

,a,b例1

已知

=

i

，b

=

j

-

2k

,

c

=

2i

-

2

j

+

k

,a0

设

n

=

xi

+

yj

+

zk

,由题设条件得n

=

10n

^c0

n

^a

·

b0

2

y

+

z

=

02

x

-

2

y

+

z

=

0

x2

+

y2

+

z2

=

1解得2

1

2

0n

=

–(3

i

+

3

j

-

3

k

).解-8z

+12

=0

组成p

角的平面方程.

x

-

z

+

4

=

0,例2

求过直线:

x

+5

y

+z

=0

且与平面x

-4

y4过已知直线的平面束方程为x

+

5

y

+

z

+

l(

x

-

z

+

4)

=

0,即

(1

+

l)

x

+

5

y

+

(1

-

l)z

+

4l

=

0,其法向量n

={1

+l,5,1

-l}.又已知平面的法向量

={1,-4,-8}.n由题设知1cosn

n

=p4

nn1(1

+

l)2

+

52

+

(1

-

l)212

+

(-4)2

+

(-8)2(1

+

l) 1

+

5 (-4)

+

(1

-

l) (-8)=22l2

+

272

=

l

-

3即

,由此解得l

=-3

.代回平面束方程为4x

+

20

y

+

7z

-

12

=

0.解20

1z=

2

x

-

1L

:

y

=3

x

-4

都相交的直线L.z=

x

-

1例3

求过点

M

(1,1,1)

且与两直线

L

:

y

=

2

x

,将两已知直线方程化为参数方程为

z

=

t1

-

1x

=

t1

x

=

t

2L1

:

y

=

2t1

,

L2

:

y

=

3t

2

-

4z

=

2t

2

-

1设所求直线L

与L1

,L2

的交点分别为A(t1

,2t1

,t1

-1)和B(t2

,3t2

-4,2t2

-1).

M0

(1,1,1)与A,B

三点共线,故M0

A

=lM0

B

(l

为实数).于是

M0

A,

M0

B

对应坐标成比例,

即有t1

-1

=

2t1

-

1

=

(t1

-1)

-1

,t2

-1

(3t2

-

4)

-1

(2t2

-

1)

-

1解之得

t1

=

0,

t2

=

0,\

A(0,0,-1),

B(2,2,3)\

s

=

AB

=

2{1,1,2},故L

的方程为x

-

1

=

y

-

1

=

z

-

1.1

1

2例4解x

+2

y

-z

=0

上的投影直线的方程.

x

+

y

-

z

+1

=

0求直线L

:2x

-y

+z

-1

=0

在平面p:过直线L

的平面束方程为(2

x

-

y

+

z

-

1)+

l(

x

+

y

-

z

+

1)

=

0,即(2

+l)x

+(l

-1)y+

(1

-

l)z

+

(l

-

1)

=

0.L4即4l

-

1

=

0,

故

l

=

1将l

代入平面束方程,得3

x

-y

+z

-1

=0.

x

+

2

y

-

z

=

0所求投影直线方程为3

x

-y

+z

-1

=0.又垂直于平面p,\

(2

+

l) 1

+

(l

-

1) 2

+

(1

-

l) (-1)

=

0.例5求旋转曲面的方程.直线L

:x

-1

=y

=z

绕z

轴旋转一周,0

1

1解

设直线上一点

M1

(1,

y1

,

z1

)有y1

=z1

,旋转后M1

(1,y1

,z1

)到达M

(x,y,z)位置由于高度不变,有z

=z1

,又M

和M1

到z

轴的距离r

不因旋转而改变,1故

r

2

=

1

+

y2

=

x2

+

y2

,由于z

=z1

=y1

,故所求旋转曲面方程为x2

+

y2

-

z2

=

1.例6：判断下列两直线1

1

21L

:

x

+

1

=

y

=

z

-

1,1

3

42L

:x

=y

+1

=z

-2

,是否在同一平面上，在同一平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距离及公垂线方程.1

-

1

11

2

=2

„0,\L1与L2异面1

3

4(M1M

2

·

s1

)

s2

=

1fi

fi

fi解：s1

=

{1,1,2},s2

=

{1,3,4},\

L1与L2不平行fiM1

(-1,0,1)

˛

L1

,M

2

(0,-1,2)

˛

L2

,M1M

2

=

{1,-1,1}fi

fifi

fi

fis1

·

s2

=

{-2,-2,2},\

公垂线的方向向量

s

=

{1,1,-1}33fi\

d

=

prjfi

M1

M2

=s

p(1,2,6)=

x y

+

1

z

-

2

1

=

3

4-

(

x

+

1)

+

y

=

0fi

fi

fi过L1与公垂线的平面法向量

n

=

s1·

s

=

{-3,3,0}平面方程：-(x

+1)+y

=0,平面与L2的交点p在公垂线上\公垂线方程为：x

-1

=y

-2

=z

-61

1

-

1一、选择题：fi

fi

fi

fi1、若a

，b

为共线的单位向量，则它们的数量积

a b

=（

）.（A）

1；

（B）-1；（C）

0；fi

fi（D）cos(a

,

b

).fi

fi

fi

fi2、向量a

·

b

与二向量a

及b

的位置关系是（）.（

A

）

共面；

（B）共线；（C）

垂直；

（D）斜交

.测

验

题fi3、设向量Q

与三轴正向夹角依次为a

,b

,g

，当fi4、设向量Q与三轴正向夹角依次为a

,b

,g

当Q^xoz面yoz面;cos

b

=

0时，有（

）(

B)(

D)(

A)(C

)cos

g

=

1时有（

）(

A)(C

)

Q^xoz面;Q^xoy面；Q‖Q‖

xoy面；Q‖

xoz面;(B)

Q^yoz面;(D)

Q‖

xoy面fi

fi5、(

a

–

b

)2

=（）2

2fi

fi（A）a

–

b

；22fi

fi

fifi

2

fi

fi

fi

2（C）a

–

a

b

+

b

；22fi

fi

fifi（B）a

–

2a

b

+

b

；fi（D）a–

a

b

+

2

b

.6、设平面方程为Bx

+

Cz

+

D

=

0，且B

,

C

,

D

„

0，

则平面（

）.平行于x

轴；平行于y

轴；经过y

轴；垂直于y

轴.2

2B y

+

D

=

07、设直线方程为

A1

x

+B1

y

+C1

z

+D1

=0且A1

,B1

,C1

,D1

,B2

,D2

„0,则直线（）.（A）过原点；（C）垂直于y

轴；（B）平行于z

轴；（D）平行于x

轴.3-

1=

y

-

58、曲面z

2

+xy

-yz

-5

x

=0

与直线x7=

z

-

10

的交点是（

）.（A）(

1

,

2

,

3

)

,

(

2

,-1

,-4

)；（B）(

1

,

2

,

3

)；（C）(

2

,

3

,

4

)；（D）(

2

,-1

,-4

)

.9、已知球面经过(0,-3,1)且与xoy

面交成圆周z

=

0

x

2

+

y

2

=

16，则此球面的方程是（

）.（A）

x

2

+

y

2

+

z

2

+

6z

+

16

=

0；（B）

x

2

+

y

2

+

z

2

-

16z

=

0；（C）

x

2

+

y

2

+

z

2

-

6z

+

16

=

0；（D）

x

2

+

y

2

+

z

2

+

6z

-

16

=

0.10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是（

）.（A）

x

2

+

y

2

+

z

2

=

1；（B）

x

2

+

y

2=

4z

；42

2y

2（C）

x

-+

z

=

1；

（D）169z

2x

2

+

y

2- =

-1.二、已知向量

a,b

的夹角等于p3fifi，且

a

=

2

,

b

=

5，求fi

fi

fi

fi(a

-

2

b)

(a

+

3

b)

.fi

fi三、求向量a

={4,-3,4}在向量b

={2,2,1}上的投影.四、设

平

行

四

边

形

二

边

为

向

量fia

={1,-3,1};b

={2,-1,3}，求其面积.fi

fi五、已知a

,b

,为两非零不共线向量，求证：fi

fi

fi

fi

fi

fi(a

-

b)

·(a

+

b)

=

2(a·

b).六、一动点与点M

(1,0,0)的距离是它到平面x

=4

的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz

面的交线方程.

x

=

3

-

t七、求直线L

：

y

=-1

+2t

,在三个坐标面上及平面z

=

5

+

8tp

:x

-y

+3z

+8

=0上的投影方程.2

-

3

2八、求通过直线x

-1

=y

+2

=z

-2

且垂直于平面

3

x

+2

y

-z

-5

=0的平面方程.1L

：

x

+

3

y

=

-52

x

-

4

y

+

z

=

12z

=

-3

+

2t九、求点(-1,-4,3)并与下面两直线

x

=

2

+

4t，L

:

y

=-1

-t

都垂直的直线方程.十、求通过三平面：2

x

+y

-z

-2

=0，x

-3

y

+z

+1

=0和x

+y

+z

-3

=0的交点，且平行于平面x

+y

+2z

=0的平面方程.十一、在平面x

+y

+z

+1

=0内，求作一直线，使它通

x

+

2z

=

0过直线

y

+z

+1

=0与平面的交点，且与已知直线垂直.1

1

21十二、判断下列两直线

L

:

x

+

1

=

y

=

z

-

1