高斯定理的证明与简单应用-石宇20120341006-陈诚-20120341021

工程技术学院课程论文规范2-高斯定理的证明与简单应用石宇陈诚内江师范学院工程技术学院2012级一班邮编641100摘要：高斯定理是电磁场中的重要定理了解高斯定理的证明对理解定理本身是非常重要的文中借助电场强度通量的概念对静电场中高斯定理进行了推导。应用高斯定理时,常把电荷或电场的对称性作为应用高斯定理求电场强度的数学条件,但实际并非如此,以高斯定理的表达式为基础可以阐明:对称性不是应用高斯定理求场强的条件。关键词：静电场；高斯定理；证明方法；电场强度。Abstract：Gausstheoremisanimportanttheoremintheelectromagneticfieldtounderstandthegausstheoremprovedinunderstandingthetheoremitselfisveryimportantinthispaper,withtheaidoftheelectricfieldintensity,theconceptoffluxgausstheoremofelectrostaticfieldisderived.Applicationofgauss'theorem,oftentakechargeandelectricfieldsofsymmetryasgausstheoremisappliedtosolvethemathematicalconditionsoftheelectricfieldintensity,buttheactualisnotthecase,basedonthegausstheoremofexpressioncanclarify:symmetryisnotgausstheoremisappliedtofieldconditions.Keywords:electrostaticfield;Gausstheorem;methodofproof;Electricfieldstrength一.电场强度通量的概念借助于电场线的图像，引入电场强度通量的概念。通过任意一曲面的电场强度通量如图所示。(1)必须指出，对闭合曲面，面法线的正方向可以取曲面的任一侧，对闭合曲面来说，通常规定自内向外的方向为面积元法线的正方向，所以，在电场线从曲面之内外穿出处，E通量为正；反之，在电场线从外部传入曲面处，E通量则为负。二.高斯定理的证明1.正点电荷在球面中心在正点电荷q激发的电场中，通过以点电荷为中心，半0径为r的球面上的E如图所示。利用库仑定律，在球面上任一点的电场为利用式（1）可求得通过该闭合球面的E通量为：2.正点电荷在球面外如图所示，如果闭合曲面内没有包围电荷，电荷在闭合曲面外面，那么进入闭合曲面的电场线等于穿出闭合曲面的电场线，所以总的E通量为0，即综合以上讨论，不难得出结论，在静电场中，通过任一曲面的E通量，等于该曲面内电荷量的代数和除以，一般写为三.高斯定理的应用1.问题的提出高斯定理是静电学中的一个重要定理。其内容为：通过一个任意闭合曲面S的电通等于该面所包围的所有电荷电量的代数和除以与闭合曲面外的电荷无关。用公式表示则有：（2）式中表示沿任一闭合曲面S的积分，为闭合曲面S所包围的所有电荷的电量的代数和。一般电磁学教材中认为，高斯定理的应用有两方面：一是在给定闭合曲面上，所有各点处E都已知时，可用高斯定理求该闭合面内的电荷；二是如果电荷的分布很对称，以致我们可以通过适当选择高斯面，那么就可用高斯定理求电场强度E。[2].上述说法具有一定的片面性，不利于对高斯定理的掌握和理解。首先，上述第二点说法往往使人误解为电荷或电场的对称性是利用高斯定理求电场强度的条件，即电荷或电场分布具有对称性时就一定能用高期定理求场强，而不具有对称性时就一定不能用高斯定理求场强。甚至有些教材已明确说明：能够直接运用高斯定理求出场强的情形，都必须具有一定的对称性。[3].但实际情况并非如此，并非所有对称情况都能应用高斯定理；也并非所有不对称情况均不能应用高斯定理。只不过由于对称性的存在可使能利用高斯定理的问题计算得以简化。2.对称性不是高斯定理求场强的条件如前所述,一般教材中认为:在电荷或电场具有对称性的情况下,可用高斯定理求电场强度.这种说法是片面的、不恰当的,容易使人误解为对称性是应用高斯定理求场强的条件.但从下面两方面可以清楚看出,实际情况并非如此。某些对称性问题不能应用高斯定律从高斯定理的数学表述式(2)可以看出,能否应用高斯定理求电场强度E的关键取决于(2)式左边的积分能否进行,这是一个数学问题.从数学的角度看,即使电荷或电场分布具有对称性,但若(2)式左边不能进行积分,则无法求出电场强度E。例题：两点电荷,电量都是+q,相距为r,能否应用主斯定理求两点电荷联线延长线上任一点A的场强?分析：在本例中,电荷及电场显然对两电荷中点O是对称分布的.若以O为球心,以OA为半径过A作一高斯球面(如图所示),根据高斯定理有,但是,在高期面S上各点E的大小，方向不同,除了A、A点E和方向相同外,其余各点E和方向不同,所以另外,除了A、点的场强E的大小相等外,球面上其余各点的E的值不等,因而.因此,本例中虽然电荷和电场分布具有对称性,但由于(2)式左边的积分不能进行,因此,不能应用高斯定理求电场强度。四.小结1.对高斯定理的理解（1）在等式左边的积分中E是曲面Ｓ上各处的电场强度。闭合曲面即为高斯面。选取高斯面时，一般是根据对称性，使曲面的法线平行于该处的E,或使法线垂直于该处的E.(2)是Ｓ内所包围的电荷的代数和。事实上高斯面上各点的电场强度E是空间全部电荷激发的。面外电荷对通量无贡献，但对高斯面Ｓ上的各点的电场强度是有贡献的。(3)高斯面内以及面外的电荷位置的改变对高,斯面上的通量没影响，但对高斯面上的电场强度是有影响的。(4)在实际应用中，高斯定理常用于电荷具有某种对称分布时所激发的对称的电场分布,即轴对称、球对称、面对称。2.关于高斯定理的应用,我们可以得出如下结论:(1)应用高斯定理求电场强度的关键是能否进行积分,若积分能进行,则无论电荷或电场分布是否具有对称性,均能应用高斯定理求电场强度,即对称性不是应用高斯定理求场强的条件.(2)对于具有对称性,具能应用高斯定理求场强的问题,由于具有对称性,总可选择合适的高斯面而使计算较为简便。五.参考文献[1]高雁.引力场中的高斯定理[J].山西师范大学学报(自然科学版).2006(04)[2]王显怡,刘大强.静力场中的高斯定理及其应用[J].牡丹江师范学院学报(自然科学版).1997(01)[3]付静，江广军，静电场中高斯定理的