2023年经济数学基础讲义函数

第1章函数

1.1函数概念

1.1.1函数的定义

同学们从入小学到高中毕业一直要学习数学，在这一阶段所面对的数学对象的特点是：

所讨论的量在研究问题的过程中保持不变.只是从未知到已知.例如解方程或方程组,求得的

解都是固定不变的.又如讨论三角形，它的边长也是固定不变的量.这些量叫做常量.

常量一一只取固定值的量

这门课程中讨论的量在研究问题的过程中不是保持不变的.如圆的面积与半径的关系：

S=Jir2

考虑半径r可以变化的过程.面积和半径叫做变量.

变量一一可取不同值的量

变域一一变量的取值范围

我们考虑问题的过程中，不仅是一个变量,也许有几个变量.比如两个变量,要研究的是

两个变量之间有什么关系，什么性质.函数就是变量之间拟定的相应关系.比如股市中的股指

曲线，就是时间与股票指数之间的相应关系.又如银行中的利率表

存期半年—•年二年三年五年

年利率5.407.477.928.289.00

(%)

它反映的是存款存期与存款利率之间的相应关系.

这几个例子反映的都是两个变量之间的拟定的相应关系.函数的定义是：

定义1.1设x,y是两个变量,x的变域为4假如存在一个相应规则f,使得对〃

内的每一个值x都有唯一的y值与*相应,则

这个相应规则f称为定义在集合。上的一个函数，并将由相应规则f所拟定的x与y之间

的相应关系,记为：丁=/(幻，称x为自变量,y为因变量或函数值,〃为定义域.

集合｛"y=/。)，》€。｝称为函数的值域.

我们要研究的是如何发现和拟定变量之间的相应关系.

1

例1求函数y=—1的定义域.

解：>=■^7^7,求函数的定义域就是使表达式故意义的心由对数函数的性质得到

bi(x-l)

x—l>0,即x>l.由分式的性质得到ln(x-l)¥O,即x—lHl,即x/2.综合起来

得出所求函数的定义域为。=(1,2)U(2,+8).

例2设国际航空信件的邮资户与重量机的关系是

[4,0<m<10

F(m)="

4+0.3(/77-10),10</n<200

求尸(3),尸⑻，尸(20).

4,0<m<10

解：F(m)=<

[4+0.3(/n-10),10<m<200

加用3替代，由第一个关系式表达,得到尸(3)=4,同样可以得到尸(8)=4.用20

替代，由第二个关系式表达，得到F(20)=7

1.1.2有关函数的几点解释

1.函数的表达法

如何表达函数关系是需要我们不断研究和发现的.常用的方法有三种：一种是用一个数

学公式来表达，叫做解析法;一种是用坐标系中的曲线反映两个变量之间的函数关系，叫做图

示法；尚有一种方法是用一个表格反映两个变量之间的函数关系，叫做表格法.一般经常使用

的就是这三种方法.

2.函数的记号

在考虑一个问题的过程中，f表达一个拟定的相应关系，在之后考虑这个问题的过程中,

f自始至终表达同样的相应关系.比如/(幻=/+3X-5,它反映的就是这样一种相应关

系：/()=()2+3x()-5,等式左端的函数括号中带入一个量，表达要对其进行等

式右端的运算.如：/(1)=12+3x1—5=-1,又如：

/(/)=(》2)2+3x(/)-5=/+3/-5

无论左端带入什么，都对它进行同样的运算.

1.1.3函数的基本性质

下面把在中学里大家己经知道的函数的基本属性复习一下，也就是：函数的单调性、奇

偶性、有界性、周期性.

当一个变量增长时另一个变量也跟着增长，这样的函数就叫做单调增长的函数.从图形

上看这条曲线，曲线上的点x在增长的时候，它所相应的纵坐标y也在增长，这样的函数是

单调增长的.单调减少是相反的，随着x的增长相相应的y在减少，这样的函数是单调减

少的,正如图形中演示的这样.假如函数当x在增长的时候,它所相应的y不是增长,也不是

减少，这样的函数就不具有单调性.

例1判断函数fix)=/当x>0时的单调性.

分析:可以运用单调性的定义,证明对任意的无>检有f(小)>『(就.

解:当x>0时，对任意的x2>0,有X；>工；

(当汨>X2〉0时，在不等式X1>X2两端同乘以小或X2,显然有

2

%,>xtx2,xtx2>x；,由不等式的传递性就得到x；>X；.)

由定义可知f(x)=*当x>0时是单调增长的.

一个函数的图形假如关于y轴对称，这样的函数就称为偶函数.从图形上来分析，曲线

上任一点关于y轴的对称点也在曲线上面,这条曲线所描绘的函数就是偶函数.从解析式上

看,假如有f(-x)=F(x),f(x)就叫做偶函数.

一个函数的图形假如关于原点对称，这样的函数就称为奇函数.曲线上任一点关于原点

的对称点也在曲线上面，这条曲线所描绘的函数就是奇函数.从解析式上看，假如有f(-%)

=-fCx),Ax)就叫做奇函数.

例2判断下列函数的奇偶性：

(1)y=x3-1(2)y=xcosx

解：(1)取x—l,—I,f(1)=0,f(-1)——2,显然f(1)#-f(-1),

由此可知了=/-1不是奇函数.又显然f(1)手f(-1)，由此可知y=f-l不是偶函

数.

(2)由于y=x是奇函数，y=cosx是偶函数，而奇函数和偶函数的乘积是奇函数.

所以y=xsinx是奇函数

假如自变量在定义域中变化时，函数值始终在一个有限的区间内变化,如图形中演示的，

无论如何变化，都有-MWf{x}WM,这条曲线所反映的函数就是有界函数.

假如存在一个正数7；对任意的自变量方有式x+T)=/U),这样的函数就叫做周

期函数.从图形上反映，这个函数在相隔为T的任意两点上函数值都是同样的.也可以这

样来看，从任意一点出发，以长度T为间隔划分区间，在每个区间上的函数图形都是可以完

全重合的.

1.2几类基本初等函数

我们在中学的学习中已经结识了一些函数，这些函数是非常基本的，有这样几类：

1.常数函数：y=c.这个函数在它的定义域中的取值始终是一个常数，它在直角坐标系

中的图形就是一条水平线.

2.幕函数:y=x",(aw").以x为底，指数是一个常数.

当。=1时就是y=x,它的图形是过原点且平分一、三象限的直

线；当。=2时就是y=它的图形是过原点且开口向上的抛物

线;当。=3时就是y=X3,它的图形是过原点的立方曲线.

3.指数函数：y=a',(a>0,a#1).底数是常数，指数是变量.例如y=ey=2

x,y-(-)所有指数函数的图形都过(0,1)点，当a>1时，函数单调增长，当a

2

<1时，函数单调减少.

4.对数函数：y=log&x,(a>0,a#l).以a为底的x的对

数.例如y=lnx,y=log2x,y」°g।”.所有对数函数的图形都过(1,0)点，当

2

a>l时，函数单调增长；当a<1时，函数单调减少.

5.三角函数:

正弦函数：y-sinx.余弦函数:y—cosx.

例1判断下列函数中，哪些不是基本初等函数：

(1)y=;(2)y=(g)';(3)片lg(—x)；

(4)y—3^；(5)y—2x\(6)y-e2v.

分析:依据基本初等函数的表达式来判断.

解：直接观测可知⑵与⑷中的函数是基本初等函数，而由y=*=尸e2l=(e2)*

可知(1)与(6)中的函数是基本初等函数.(3)与(5)中的函数不是基本初等函数

1.3函数的运算

函数的运算当然有加、减、乘、除运算，这些就不需要讲了.在这里我们重要将函数的

复合运算.所谓复合运算，就是指假如y是u的函数，〃是x的函数，y通过”作为中间媒介

就成为x的函数，这就是函数的复合运算.如下面这个例子表达的：

y=InwM=sinxy=lnsinx

这里y是〃的函数，〃是x的函数,y通过“作为中间媒介就成为x的函数，这就是函

数的复合运算.下面把这个复合的环节以及它们的变域联系起来仔细地介绍一下：

y是〃的函数，这个函数用f来表达.〃是x的函数，这个函数用。来表达.。的值

域正好落在函数f的定义域里，通过"作为媒介y就成为x的函数，这个复合函数的定义域

是这样一个(红色)区域，它的值域就缩小成为这样一个(绿色)区域了.这是为什么呢？由

于X在它的定义域内变化时，U仅在这样一个(黄色)区域取到值，相应的y的取值范围就

缩小成为这样一个(绿色)区域.复合函数的记号就记为y=f(0(x)).这种运算就叫

做函数的复合运算.这样我们把函数分一下类：

由基本初等函数通过有限次加、减、乘、除或复合而得到的函数称为初等函数.

这样的分类把函数提成了初等函数和非初等函数.我们在前面所见到的分段函数就是非

初等函数的例子.

例1已知函数y-f(x)的定义域为[0,1],求函数y—f(e1)的定义域.

分析：要使函数〃=e'的值域包含于函数y=f(x)的定义域中，由这个约束条件重新拟

定x的取值范围.

解:设u=e；它的值域要包含于y=f(x)的定义域中，即0

由此得一8W0,由此可知复合函数y=f(e")的定义域是(-8,o].

(附：已知函数In力是单调增长的，显然有啊M，<he*Mini,由此得-8<*W0)

/->0

例2将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复

合运算：(1)y=e"n"+2)2(2)y=2vlncos2x

分析：由定义知初等函数是基本初等函数经有限次的四则运算和复合运算得到的.具体解决

的环节是:先看函数表达式有无四则运算，如有,则对每一个运算项进行分析,看其是否为复

合函数,如是,则选择适当的中间变量将其化为基本初等函数.依此环节反复进行.

解：(1)y=e",〃=skiu,v=w2,w=x+2

其中y,u,/分别作为中间变量〃，匕”的函数都是基本初等函数.而，/是基函数x与

常数函数2的和.

(2)y=21n“，u=v2,v=cosx

其中y是指数函数2'与对数数函Inu的乘积.而中间变量u,「分别作为v,x的

函数都是基本初等函数.

1.5经济分析中常见的函数

1.5.1需求函数与供应函数

这一节课的内容是要把学习数学和将来搞经济工作联系起来，我们把经济分析中最最

常见的5种函数介绍给大家(这节课只介绍前两个).同时我们希望通过这一节的学习可以

使大家感受到数学工具在经济分析中的应用.一方面我们介绍需求函数和供应函数.

大家可以想象到一个商品在市场上的需求肯定是与它的价格有关系,价格贵,需求量就

少，价格便宜,买的人就多.需求和价格之间是有关系的，它们是不是函数关系呢?我们可以

把它简化为一种函数关系.我们先不考虑其它因素,简朴地认为价格定了需求量就随之拟定，

这样需求量就是价格的函数.

供应，就是厂方可认为市场提供多少产品，当然它也是和价格有关系的，产品价格高，

厂方就增长生产,反之供应量就减少.我们也可以把它简化为一种函数关系.需求量与价格之

间的函数就称为需求函数，供应量与价格之间的函数就称为供应函数.

现在我们讨论一种最简朴的情况，认为需求函数和供应函数都是线性函数(一次函数)，

在这种关系下通过讨论看可以得到什么性质.

qd=ap+b(a>O,b<0)

qd表达需求量，P表达价格，a,b表达常数.

qs=aip+bt(a]<0,bt>0)

qs表达需求量，P表达价格，叫,仿表达常数.

我们容易理解需求量应随价格的增长而减少,所以a<0,当然〃>0.而

供应量应随着价格的增长而增长，所以q〉0,4<0,由于当价格为零时，不会有供应量.

P

我们把这两条曲线放在同一个坐标系中，就会发现有这样的关系,两条直线交于一点，

这一点的含义是，在价格为时,产品的需求量与供应量是相同的，即供需达成了平衡.这

一点称为供需平衡点.价格超过Po时，供过于求；价格低于Po时，供不应求.在经济分析

中，供需平衡点所相应的价格，称为市场均衡价格;它所相应的需求量或供应量称为市场均

衡数量.

例1某种商品的供应函数和需求函数分别为：/=25〃—1(),=200—5p,

求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.

解：由市场均衡条件：④=4,,得到：25/?-10=200-5,解出：Po=7,%=165

1.5.2成本函数

我们再介绍经济分析中常见的三种函数:第一种叫做成本函数，第二种叫做收入函数，第

三种叫做利润函数.我们先介绍成本函数.

一种产品的成本可以分为两部分：固定成本%比如，生产过程中的设备投资，或使用的

工具,不管生产产品与否,这些费用都是要有的，它是不随产量而变化的，这种成本称为固定

成本.变动成本G,比如每一件产品的原材料,这些费用依赖于产品的数量,这种成本称为

变动成本.

总成本就是固定成本加上变动成本：C=G+G

成本应与产品的产量有关，这种函数表达为

C(q)=&+G(<?)

这就是成本函数.其中总成本C(q)是产量0的函数，以与产量无关,变动成本G(g)也

是产量。的函数.

我们在引入平均成本的概念3=9®,总成本除以产量°,就是产量为q时的平均成

q

本，用「来表达.

例1生产某商品的总成本是C(q)=500+2以求生产50件商品时的总成本和平均成本.

解:成本C(q)=500+2q

、C(g)500+2q5004

平均成本C(q)=-^=-------=——+2

qqq

C(50)=500+2x50=600,3(50)=煞+2=12

1.5.3收入函数

下面我们来讲收入函数.一种产品销售之后就会有销售收入，销售收入应当是价格乘以

产量.但价格与产量之间也有一