计算方法第五章5样条插值

5.5样条插值2021/7/91•5.5.1样条函数的概念•5.5.2三次样条插值•5.5.3三弯矩方程5.5样条插值2021/7/925.5.1

样条函数的概念埃尔米特三次插值需要知道函数在插值节点处的函数值和导数值，而且二阶导数不连续。实际中有许多计算问题对插值函数的光滑性有较高的要求，例如飞机机翼外形、发动机进、排气口凸轮曲线都要求有连续的二阶导数。5.5样条插值5.5.1

样条函数的概念样条曲线是分段三次曲线，在连接点上要求二阶导数连续。但又尽可能少增加条件。2021/7/935.5样条插值2021/7/945.5.1

样条函数的概念定义

对于区间[a，b]，

给定一个划分：

a

=

x0<

x1<…<xn1<xn=

b(n≥2)如果函数s(x)在每个子区间[xi，xi+1]都是不超过

m次的多项式(m≥1)，并且其m1阶导数s(m1)(x)在内节点x1，…，xn1处连续，则称s(x)为区间[a，b]上关于划分的m次样条函数。5.5样条插值2021/7/95对于函数f(x)C[a，b]，如果s(x)还满足插值条件s(xi)

=

f(xi)

i=0，1，2，…

，n则称s(x)为f(x)在区间[a，b]上关于划分的m次样条插值多项式。5.5样条插值2021/7/965.5.2

三次样条插值三次样条插值多项式s(x)是在划分上的分段三次多项式s(x)=aix3+bix2+cix+di

i=0，1，2，…，n1其中ai、bi、ci、di为待定系数，共4

n个。5.5样条插值2021/7/975.5.2

三次样条插值s(x)应该满足的条件有:⑴插值条件n+1个；⑵3n3个内点连续条件s(xi0)

=

s(xi+0)i=1，2，…

，n1s(xi0)

=

s(xi+0)

i=1，2，…

，n1s(xi0)

=

s(xi+0)

i=1，2，…

，n1一共4

n2个条件，因此需要附加两个条件。5.5样条插值2021/7/98①固支条件已知两端点的一阶导数s(x0)

=

f(x0)，s(xn)

=

f(xn)②已知两端点的二阶导数s(x0)

=

f(x0)，s(xn)

=

f(xn)如果两端点的二阶导数f(x0)=f(xn)=0，称为自然边界条件常用的附加条件有如下三种：5.5样条插值③周期条件s(x0+0)

=

s(xn0)s(x0+0)

=s(xn0)x0x1x2xnxn-12021/7/99其中，显然有s(x0+0)=s(xn0)。这种方法需要求解4n阶的线性方程组连续斜率与曲率5.5样条插值2021/7/910寻求简单的求三次样条插值函数方法？以节点处的二阶导数值为参数求三次样条函数S(

x

j

)

M

j

(j

0,1,,

n)以此获得的求二阶导数参数值的n-1个方程称为三弯矩方程以节点处的一阶导数值为参数求三次样条函数S(

x

j

)

m

j

(

j

0,1,,

n)称为三转角方程5.5样条插值2021/7/9115.5.3

三弯矩方程三弯矩方程只需要解一个不超过n+1阶的线性方程组。把[a，b]看作一段梁，划分为内点上作用剪力，设子区间[xi，xi+1]的长度为hi=

xi+1

xi

i=0，1，2，…

，n1在子区间[xi，xi+1]上，弯矩为线性函数，设弯矩M(x)

=

s(x)

Mi

=

M(xi)5.5样条插值则ii

ihhi1i1x

xx

xiM

(x)

M

M32021/7/912iiiiiii

ii6h6hhhi1i1(x

x)3

(x

x

)i1x

x

x

x

s(x)

M

M

x

[xi，xi+1]i

=0，1，2，…

，n1x

[xi，xi+1]

i

=0，1，2，…

，n1hi

xi1

xi上式保证了在内点处s(x)连续。经过两次不定积分，有5.5样条插值由插值条件可得32021/7/913iiii6h6hi1i1(x

x)3(x

x

)s(x)

M

M

i

i

6iiM

h2

f

(x

)

6iMh2i1

f

(x)

i1

i

66

i

i

iihh1

i1

i

i

M

h2

x

xM

h2

x

xf

(x

)

f

(xi1

)

i

ix

[xi，xi+1]

i

=0，1，2，…

，n1此即三次样条插值函数5.5样条插值2021/7/914插值函数s(x)中的n+1个参数M

0

,

M1,.

. .

Mn可由以下方程给出（推导见教材）i

Mi1

2Mi

i

Mi1

ci(i

1,

n1)