概率论与数理统计习题解答

概率论与数理统计习题解答第一章随机事件及其概率(1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；(2)在单位圆内任意一点，记录它的坐标；(3)10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品(4)测量一汽车通过给定点的速度.的样本空间如下(1)S={2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}Sxyx+y2<1}(3)S={3，4，5，6，7，8，9，10}(4)S={v|v>0}ABC；(8)A、B、C至少有两个发生.(1)事件AB表示什么？(2)在什么条件下ABC=C成立？(3)在什么条件下关系式C仁B是正确的？(4)在什么条件下A=B成立？(1)事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员.(2)当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立.(3)当全校运动员都是三年级学生时，关系式C仁B是正确的.(4)当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A=B成立.APAB15.对事件A、B和C，已知P(A)=P(B)＝P(C)＝，P(AB)=P(CB)=0,41P(AC)=求A、B、C中至少有一个发生的概率.8解Ba+bababbaab(1)不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；(2)每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率.解(1)设A={取得三件次品}则10(2)设B={取到三个次品},则(1)此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率；32932923(2)此人只会讲法语的概率.A英语},B={此人会讲日语},C={此人会讲法语}可得(1)取到的都是白子的概率；(2)取到两颗白子，一颗黑子的概率；(3)取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率；(4)取到三颗棋子颜色相同的概率.解C55.P(AC55.C.C.解751pi1解设A={第i个零件不合格}，i=1,2,3,则P(A)=p=iii1+i所以P(A)=1p=iii1+iP(AAA)=P(A)P(A)P(A)，P(AAA)=P(A)P(A)P(A)123123123123解设A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，B={第i次击中目标},iP(BA)=i|,由于两次射击是独立的,故121212求该批产品中次品不超过两件的概率.解设A={一批产品中有i件次品}，i=0,1,2,3,4,B={任取10件检查出一iC={产品中次品不超两件},由题意1234故的概率分别现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少(这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率).1211231231222332为.为(1)一次通过验收的概率α；(2)通过验收的箱中确定无残次品的概率β.00(1)恰有两台设备被使用的概率是多少？(2)至少有三台设备被使用的概率是多少？PPC(0.1)2(0.9)3=0.0729155P=P(3)+P(4)+P(5)2555分布XX012p28/4516/451/454123123xPY1235PX)=0XX345pY123pP为X－112P16636Xkkk; (2)6 (2)6 (2)11.(1)三次射击中恰好命中两次的概率；p33超过10次的概率.解k!6!(1)P(X=6)=或者P(X=6)=入ke入=4ke44ke4=–=.kk!k!(2)P(X≤10)k!k!=X且P(X＝1)＝P(X＝2)，求P(X＝4),,解由已知可得，1!2!4!=玻璃瓶，(1)恰有两只；(2)小于两只；(3)多于两只；(4)至少有一只的概率.2!k!k!k!21.求：(1)系数k；(2)P<X<；(3)X的密度函数；(4)四次独立试验中FxPXxPXPXxkx2P{四次独立试验中有三次在,内}=4.求：(1)系数k；(2)P(|(X<))|；(3)X的分布函数.-w,因此 (2)-1/2 (2)-1/2电子元件，其寿命(单位小时)都服从则P(A)=0600解由题意知2合格的概率=1P=122解得,x=1解得,x=.2XN量才能使X－2023_y2_y2__y2_y2_y22P7777试求：(1)2X的分布列；(2)x2的分布列.2X-40049p049ppp解y=|x|的反函数为h(y)=解f(y)=f(_y)|(_y)'|+f(y)|y'|=YXX1e2+1e2=冗Y(2_y2y>0y>0x上服从均匀分布.1111(lny)2解yhyy1,xy解y2y3f(3f(y)y4,Y0,Yother解由于yex严格单调，其反函数为h(y)lny,且h'(y),y>0,则y当y0时f(y)0Yf(y)2ye22,0,y0y036.假设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：Y＝1e2x在区间(0,1)8h(y)=ln(1y),0<y<1,2Y出现正面的次数与出现反面的次数之差的绝对值，试求(X，Y)的联合概率分布.1 8(12(13(12(13P(X=0,Y=3)|=P(X=0,Y=3)|=|=于是，(X，Y)的联合分布表如下：X3Y00002)X、Y的边缘概率分布；ijC3YY0123X00021/12035/12056/120442/12000063/12035/12002YY234X22/931/3444/92/91/34/9=1/6+1/6+1/6=1/2.量(X,Y)的联合分布函数为 (2)(3), (2)(3),求：(1)系数A、B及C；(2)(X,Y)的联合概率密度；(3)X，Y的解(1)由(X,Y)的性质,F(x,)=0,F(∞-,y)=0,F(∞-,-∞)=0,F(,+∞)=1,可以得到如下方程组：1""XYXY)的联合概率密度为(1)求分布函数F(x,y)；0043.设随机变量(X，Y)的联合概率密度为求：(1)常数A；(2)X，Y的边缘概率密度；(3)44.设随机变量(X，Y)的联合概率密度为PXY.y联合概率密度及边缘概率密度.0x206G0,other.0,other.X3Y13Y147.设(X，Y)的联合概率密度为1求X与Y中至少有一个小于的概率.2XX－114444PP求二维随机变量(X，Y)的联合分布律.解由独立性，计算如下表XX-113Y3/409/406/203/201/203/83/4-349.设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为X123Y 2abc(1)求常数a，b，c应满足的条件；(2)设随机变量X与Y相互独立，求常数a，b，c.解由联合分布律的性质，有：11112+++a+b+c=1,即a+b+c=1=691833又，X,Y相互独立，可得a:b:c6918121从而可以得到：a=,b=,c=9950.设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为xyYxY51.设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为求边缘概率密度f(x)与f(y)，并判断随机变量X与Y是否相互独立.XY解先计算f(x),当x<1时,f(x)=0XXX1x3x31x3X1x3x31x3YYY1x3x21Y1x3x21可见,f(x,y)=f(x)f(y),所以随机变量X,Y相互独立XY52.设二维随机变量(X，Y)的联合分布函数为XYXXX0202X0202YYY02Y02立53.设二维随机变量X(，Y)的联合分布函数为求随机变量Z＝X－2Y的分布密度.解先求Z的分布函数F(z)_z0200223xx23x-wZX-wXYXZ56.设(X，Y)的联合分布律为X021X02Y0001求：(1)Z＝X＋Y的分布律；(2)U＝max(X，Y)的分布律；(3)V＝min(X，Y)的分布律.P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=0P(Z=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)=P(Z=2)=P(X=2,Y=0)+P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=P(Z=3)=P(X=3,Y=0)+P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=P(Z=4)=P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=1)=P(Z=5)=P(X=3,Y=2)=112345Zp00UU0123pp0V012p特征X－101212P131616114解E(X)=11+01+11+11+21=1612433626124333kxdx-的03EX，E(e-2x).-的06.对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间[a，b]上，求球的体积的数学期望.32EX2)/6=91/612121212121212.将n只球(1~n号)随机地放进n只盒子(1~n号)中去，一只盒子装一解(1)直接求X的分布律有些困难，我们引进新的随机变量Xk(1,第k只球装入第k号盒子kkknkn(2)XX服从0-1分布，则有kjD(XY)=E((XY)2)(E(XY))2=1l21l2=1l26918(1)a≤E(X)≤b；06P(XE(X)7.5)=.率根据切比雪夫不等式,有abf(x)，证明：(2)D(X)(ba2).又D(X)=E(X2)(E(X))2解法(二),由于18.设二维随机变量(X，Y)的分布律为X01Y12Y11111covXYEXYEXE(Y)=×=19.设二维随机变量(X，Y)的分布律为XXY00011解由于888888但由于P(X=0)P(Y=0)==0=P(X=0,Y=0),881620.设二维随机变量(X，Y)的密度函数为Y解f(x)=j+f(x,y)dy=j21(x+y)dy=1(x+1)X084X4036DXD(Y)=25，cov(X,Y)＝12，求(X,Y)的密度函数.解由题意,p==解由题意,p===D(X)D(Y)205E((X＋Y)2).DXYcov(X,Y))+D(X)+D(Y)=24+25+36=85vXYcovXYDXY)=2(cov(X,Y))+D(X)+D(Y)=24+25+36=37.定理iXPX1250iiii=1由中心极限定理随机变量Xn=X500.02=X1近似服从标准正态分布n500.02计算至少一个终端被使用的概率.Xi=1,2,…,10.由于X,X,…,X相互独i1210立,且E(X)=2,D(X)=,根据独立同分布中心极限定理，随机变量ii110(X2)=1(X20)近似地服从标准正态分布.于是0.05nk=1k0.1584.计算机在进行加法时，对每个加数取整(取为最接近于它的整数)，设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在,上服从均匀分布.iiii服从标准正态分布.于是(3)nXi.X由独立同分布的中心极限定理，随机变量1n(nXi.X近似地服从标准正态分布.则X10X10=P(X10)P(10X10)P=,(删除)6.一个复杂系统由10000个相互独立的部件组成，在系统运行期间，每个部件损坏的概率为，又知为使系统正常运行，至少有89％的部件工作.(1)求系统的可靠度(系统正常运行的概率)；(2)上述系统由n个相互独立的部件组成，而且要求至少有87％的部件工作，才能使系统正常运行，问n至少为多在时，才能保证系统X~N(9000,900),则查表得=2.0,n=400,每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线才解设X为某时刻需要使用外线的户数(分机数)，显然X~(200,，E(X)=np=10,D(X)=np(n-p)=.nn明nnnnn19.现有一大批种子，其中良种占，今在其中任选4000粒，试问在这些种子41中，良种所占比例与之差小于1％的概率是多少？466ppp斯定理，有2.575600015解得p=66=0.0124之间的概率.解由题意，由定理1(1),X=X52~N(0,1)Q/n6.3/36Q1+131+1nn1015121解X=(4.5+2.0+1.0+1.5+3.4+4.5+6.5+5.0+3.5+4.0)=3.59n为x和样本方差为S2，作变换y=xai，得到y,y,…y，它的平均值为xic12nyxy证明由y=1(xa),所以x=cy+a,iciiinini=1yn1ii=12310．iiyx440444556430380420500430420384420404424340424412388472360476376396428444366436364440330426序号序号组(t,频数频率序号组(t,频数频率i-1i-1ii1(329,26(444,00352]467]2(352,37(467,2375]490]3(375,58(490,1398]513]4(398,59(513,00421]536]5(421,1110(536,1444]559]1序号序号组(t,频数频率序号组(t,频数频率i-1i-1ii126223713581455444]534值可求出经验分布函数F(x).01210ii解由于X是来自N(0,的样本，则X-0k~N(0,1)，k=1,2,…,10，所以有k0,3(2)F(10,9).(1)F(10,9);0.0513.已知X~t(n)，求证X2~F(1,n).X2=T2n方差.kkk12nkkk1234341234,(X_2X)2(X+3X)2即X=125+3410~X2(2)510装2量(2)D(S2). 解因X~N(r,Q2),由定理1(4)X-r~t(n-1),即S/n (X-r) (X-r)12n值和样本方差，又设X~N(r,Q2)，且与X，X，…，X独立，试求统计n+112nnnknnn因而U=n+1~N(0,1)nQ2nQ21n=UVV2试用矩法估计测量值的均值和方差(设仪器无系统误差).ni12i=1i=11法估计总体均值、总体方差以及参数β.nini=1B=1n(XX)2作为总体方差2=D(X)的估计量，则有2nii=12ni6ii=1i=1，，，，，，，.nin2nii=18ndpp1-dpp1-p3nii=1n似然估计量.12n12n12n12ni(i)ni(i)i=1i=1dlnLxi-dlnLxi-|(n-xi)|令dlnL=0则有12n11X，1X12n12n12n12xnxxxnxxk1因此,相应的最大似然估计量为=Xab估计量.12n0,other因为ax,x,xb,所以，当12n12nnminXXX12na2a2a2a2122YaXbX都是的无偏估计，并确定常数a，b，使D(Y)达到最小.12r2立,则1n2n2X,X相互独12n1211nn+n,2 (a2b2)a2 (a2b2)a2n121222122n111112n12当a=n11，b=n21，D(Z)有极小值，最小值为：n+n2n+n21212aa2(Xu2n na2查表可得u=a21an2nn下(单位：小时)(＝).的置信区间.由样本值可计算得，，,，，，，，，，解(1)这里使用样本方差S2作为的无偏估计量.s1n(xx)2=i=1(2)这是未知期望，求方差的置信区间aa2间为力，得数为(单位：牛顿)，572，570，572，596．求折断力均方差的置信区间(＝).均方差的置信区间计算可得2区间为为(单位：欧姆)12112212布，试求两个总体方差比x的置信区间(＝)2221222222a212.10块不施磷肥，所得产量(单位：斤)如下：121212 的置信 的置信222 (2,12(22度为的置信区间.222121222222Sa21222故所求的置信区间为,的电阻有无显着影响(＝) 00000x2.622.64u=0=3.33./n0.06/100020T=X0作为检验统计量，当H为真时，T~t(n-1),这里S/n01a0.025224.某厂生产的铜丝折断力(牛顿)服从N(576，64).某天抽取10根铜丝，572，570，572，596，586，584.00 23.解依题意，检验假设H:≥1600，选择统计量U=X0作为检验统计0/n00.950这台车床是否保持原来的加工精度(α＝)解依题意，这是期望未知时，检验.检验假设H:2，选择统计量00200问经过处理后含脂率(假定含脂率服从正态分布且方差相等)有无显着减少(α＝)设处理前后含脂率的均值分别为,检验假设H:=，备择假设：12