新北师大版2.8方程解的存在性及方程的近似解学案

第八节方程解的存在性及方程的近似解【考试要求】，理解函数零点存在定理，，能够用二分法求相应方程的近似解．1．利用函数性质判定方程解的存在性(1)函数的零点使得f(x0)＝0的数x0称为方程f(x)＝0的解，也称为函数f(x)的零点．f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．(2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在定理若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即f(a)·f(b)＜0，则在开区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即在区间(a，b)内相应的方程f(x)＝0至少有一个解．2．二分法对于一般的函数y＝f(x)，x∈[a，b]，若函数y＝f(x)的图象是一条连续的曲线，f(a)·f(b)＜0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．[常用结论]1．有关函数零点的重要结论(1)若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．2．函数F(x)＝f(x)－g(x)有零点⇔方程F(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有交点．[思考辨析]判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)＜0.()(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×[对点查验]1．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()A根据二分法的概念可知选项A中函数不能用二分法求零点．故选A.2．(多选题)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x1234567f(x)－4－2142－1－3在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A．(1，2) B．(2，3)C．(5，6) D．(5，7)BCD由所给的函数值表知，f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，f(5)f(7)<0，∴f(x)在区间(2，3)，(5，6)，(5，7)内都至少有一个零点．故选BCD.3．(多选题)下列说法中正确的是()A．函数f(x)＝x＋1的零点为(－1，0)B．函数f(x)＝x＋1的零点为－1C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标BD根据函数零点的定义，可知f(x)＝xy＝f(x)的零点，即函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标，因此B，D正确，A，C错误．故选BD.4．函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点所在的区间是()A．(1，2) B．(0，1)C．(2，e) D．(e，3)C因为f(2)＝ln2－2<0，f(e)＝lne＋2e－6>0，且f(x)为增函数，所以f(x)的零点所在的区间为(2，e).故选C.5．函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为．答案0或－eq\f(1,4)解析当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0得x＝－1，故f(x)只有一个零点为－1；当a≠0时，则Δ＝1＋4a＝0，∴a＝－eq\f(1,4).综上有a＝0或－eq\f(1,4).考点一函数零点所在区间的判定1．(2022·新疆三模)函数f(x)＝2x＋lnx－1的零点所在的区间为()A．(1，eq\f(3,2)) B．(eq\f(3,2)，2)C．(0，eq\f(1,2)) D．(eq\f(1,2)，1)D函数f(x)＝2x＋lnx－1为(0，＋∞)上的增函数，由f(1)＝1>0，f(eq\f(1,2))＝eq\r(2)－ln2－1<eq\f(3,2)－ln2－1＝eq\f(1,2)－ln2<eq\f(1,2)－lneq\r(e)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝0，可得函数f(x)的零点所在的区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).故选D.2．(2022·黑龙江双鸭山期末)函数f(x)＝2lnx－eq\f(1,x)－3的零点所在的区间为()(ln2≈0.693，ln3≈1.099，ln5≈)A．(3，4) B．(4，5)C．(5，6) D．(8，9)Bf(x)＝2lnx－eq\f(1,x)－3，由对数函数和幂函数的性质可知，函数在x∈(0，＋∞)时为单调增函数，f(3)＝2ln3－eq\f(1,3)－3≈2×1.099－eq\f(1,3)－3<0，f(4)＝4ln2－eq\f(1,4)－3≈4×－eq\f(1,4)－3＝－0.478<0，f(5)＝2ln5－eq\f(1,5)－3≈2×1.609－eq\f(1,5)－3＝0.018>0，f(6)＝2ln6－eq\f(1,6)－3＝2(ln2＋ln3)≈2×1.792－eq\f(1,6)－3＝0.414>0，因为f(x)在x∈(0，＋∞)内是递增函数，故f(8)>0，f(9)>0，函数是连续函数，由零点判断定理知，f(x)的零点在区间(4，5)内．故选B.3．已知2<a<3<b<4，方程logax＝－x＋b的解x0∈(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝．答案2解析方程logax＝－x＋b的解，即为函数f(x)＝logax＋x－b的零点，∴x0为f(x)＝logax＋x－b的零点，∵2<a<3<b<4，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>0，∴x0∈(2，3)，即n＝2.思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．考点二函数零点个数的判定(1)(2022·烟台市二模)已知函数f(x)是定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2|x－1|，0<x≤2,f（x－2）－1，x>2))，则方程f(x)＋eq\f(1,8)x2＝2根的个数为()A．3 B．4C．5 D．6D要求方程f(x)＋eq\f(1,8)x2＝2根的个数，即为求f(x)与y＝2－eq\f(x2,8)的交点个数，由题设知，在(0，＋∞)上的图象如下图示，∴由图知：有3个交点，又由f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是偶函数，∴在y轴左侧也有3个交点，故共有6个交点．故选D.(2)已知函数f(x)＝|lgx|－kx－2，给出下列四个结论：①若k＝0，则f(x)有两个零点；②∃k<0，使得f(x)有一个零点；③∃k<0，使得f(x)有三个零点；④∃k>0，使得f(x)有三个零点．以上正确结论得序号是．答案①②④解析零点问题，转化成两个函数图象的交点来分析．令f(x)＝|lgx|－kx－2＝0，可转化成两个函数y1＝|lgx|，y2＝kx＋2的图象交点问题．对于①，当k＝0时，|lgx|＝2，两个交点，①正确；对于②，存在k<0，使y1＝|lgx|与y2＝kx＋2相切，②正确；对于③，若k<0，y1＝|lgx|与y2＝kx＋2最多有2个交点，③错误；对于④，当k>0时，过点(0，2)存在函数g(x)＝lgx(x>1)的切线，此时共有两个交点，当直线斜率稍微小于相切时的斜率时，就会有3个交点，故④正确．思维升华函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．对点强化1(1)(2022·江西高三模考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|lnx|－sinx，0<x≤3,f（x－3），x>3))，则f(x)在(0，10)上的零点个数为()A．6 B．7C．8 D．9B由题意，当0<x≤3时，作出函数y＝|lnx|与y＝sinx的图象．由图可知，函数y＝|lnx|与y＝sinx在(0，1)和[1，3]内各有一个交点，所以f(x)在(0，3]上有2个零点．由当x>3时，f(x)＝f(x－3)，由函数周期性的性质可得当3<x≤6时，f(x)上有2个零点，当6<x≤9时，f(x)上有2个零点，当9<x<10时，f(x)上有1个零点，所以f(x)在(0，10)上有7零点个数．故选B.(2)(2022·浙江杭州期末)设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)f（x＋2），x∈（－∞，－2],|x＋1|－1，x∈（－2，＋∞），))则方程16f(x)＋(x2＋x－1)＝0根的个数为()A．2 B．3C．4 D．5C方程16f(x)＋(x2＋x－1)＝0根的个数等价于函数f(x)与函数g(x)＝－eq\f(1,16)(x2＋x－1)的交点个数，画出两个函数的大致图象，如图所示：∵g(0)＝eq\f(1,16)>f(0)＝0，∴在(0，＋∞)内有1个交点，∵g(－5)＝－eq\f(19,16)<f(－5)＝－eq\f(1,4)，g(－3)＝－eq\f(5,16)>f(－3)＝－eq\f(1,2)，g(－2)＝－eq\f(1,16)<f(－2)＝0，g(－1)＝eq\f(1,16)>f(－1)，∴两个函数在(－∞，0)内有3个交点，综上所述，函数f(x)与函数g(x)共有4个交点，所以方程16f(x)＋(x2＋x－1)＝0根的个数是4个．故选C.考点三函数零点的应用命题点1根据函数零点个数求参数(2022·全国模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2，x≤1，,|ln（x－1）|＋2，x>1.))，若关于x的方程f(x)－kx＝0有且只有一个实数根，则实数k的取值范围是．答案{k|0<k<3}∪{－2eq\r(2)}解析方程f(x)－kx＝0⇔f(x)－2－(kx－2)＝0.画出y＝f(x)－2与y＝kx－2的函数图象如图所示：因为直线y＝kx－2过(0，－2)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2,y＝x2))得x2－kx＋2＝0，由Δ＝k2－8＝0，得k＝±2eq\r(2).又过(1，1)与(0，－2)两点的直线的斜率为3，由图知：当直线y＝kx－2过点(1，1)时，为函数y＝x2与y＝kx－2有两个交点的临界点，此时k＝3，由图可知，若关于x的方程f(x)＝kx有且只有一个实数根，则实数k的取值范围为{k|0<k<3}∪{－2eq\r(2)}．命题点2根据函数零点范围求参数(2022·江苏省太湖模拟)(多选题)函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的可能取值是()A．0 B．1C．2 D．3BC因为函数y＝2x、y＝－eq\f(2,x)上单调递增，所以函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，由函数f(x)＝2x－eq\f(2,x)－a的一个零点在区间(1，2)内，得f(1)×f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝(－a)×(3－a)<0，解得0<a<3.故选BC.命题点3数形结合法求解函数零点问题若函数f(x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则()A．mn＝1 B．mn>1C．0<mn<1 D．以上都不对C由题设可得|logax|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)，不妨设a>1，m<n，画出函数y＝|logax|，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的图象如图所示，结合图象可知0<m<1，n>1，且－logam＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(m)，logan＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，以上两式两边相减可得loga(mn)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(m)<0，所以0<mn<1.故选C.思维升华(1)已知函数的零点求参数，主要方法有：①直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；②数形结合；③分离参数，转化为求函数的最值．(2)已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围．(3)函数零点问题一般可以转化为两个函数图象的交点问题，通过画图分析图象的特征、图象间的关系解决问题，提升直观想象核心素养．对点强化2(1)(2022·全国模拟)函数f(x)＝2x－eq\f(3,x)－a的一个零点在区间(1，3)内，则实数a的取值范围是()A．(7，＋∞) B．(－∞，1)C．(－∞，－1)∪(7，＋∞) D．(－1，7)D∵y＝2x和y＝－eq\f(3,x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(x)＝2x－eq\f(3,x)－a在(0，＋∞)上是增函数，∴只需f(1)·f(3)<0即可，即(－1－a)·(7－a)<0，解得－1<aD.(2)(2022·湖南雅礼中学检测)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2|x|，x≤1，,x2－3x＋3，x>1))，若关于x的方程f(x)＝2a(a∈R)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围为