基本不等式题型大全

基本不等式题型大全

本文介绍了几个重要的不等式，包括基本不等式、三个正数的算术-几何平均不等式、平均不等式和幂平均不等式等。在使用基本不等式求最值时，需要注意满足“一正、二定、三相等”的条件。此外，还介绍了二维和三维形式的柯西不等式等著名不等式。在使用这些不等式时，需要注意等号成立的条件。具体来说，基本不等式包括两个公式，即a+b≥2ab（当且仅当a=b时取等号）和a+b≥2√(ab)（当且仅当a=b时取等号）。三个正数的算术-几何平均不等式是a+b+c/3≥(abc)^(1/3)（当且仅当a=b=c时取等号）。平均不等式包括调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均，其中调和平均是2/(1/a+1/b)，几何平均是√(ab)，算术平均是(a+b)/2，平方平均是√((a^2+b^2)/2)。幂平均不等式是(a1^p+a2^p+...+an^p)^(1/p)≥(a1^q+a2^q+...+an^q)^(1/q)，其中p>q>0，且当a1=a2=...=an时取等号。柯西不等式是(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)≥(a1b1+a2b2+...+anbn)^2，其中a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn是实数。当且仅当a1b1=a2b2=...=anbn时，等号成立。二维形式的柯西不等式是(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)≥(x1x2+y1y2)^2，三维形式的柯西不等式是(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2)≥(a1b1+a2b2+a3b3)^2。一、配、凑、拆的技巧1.函数f(x)=x+x/(x>0)值域为[2,+∞)；函数f(x)=x+x/(x∈R)值域为(-∞,+∞)；函数f(x)=x+1/(x+1/2)的值域为[5/2,+∞)。2.若x>1，则x+4/(x-1)的最小值为5。3.已知x<3，则f(x)=2+x+x^2的最大值为10。解：因为x<3，所以-x>-3，从而4/(x-1)-x>-3。所以f(x)=2+x+x^2=(x+4/(x-1))+x^2-4/(x-1)-x^2<=(x+4/(x-1))-3<=10，当且仅当x=3时等号成立，所以f(x)的最大值为10。二、基本不等式及其变换1.一般形式的柯西不等式：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)>=(a1b1+a2b2+...+anbn)^2。2.向量形式的柯西不等式：设α,β是两个向量，则α·β<=|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立。3.排序不等式（排序原理）：设a1<=a2<=...<=an，b1<=b2<=...<=bn为两组实数，c1,c2,...,cn是b1,b2,...,bn的任一排列，则a1b_n+a2b_n-1+...+anb1<=a1c1+a2c2+...+ancn<=a1b1+a2b2+...+anbn。（反序和<=乱序和<=顺序和），当且仅当a1=a2=...=an或b1=b2=...=bn时，反序和等于顺序和。4.琴生不等式（特例：凸函数、凹函数）：若定义在某区间上的函数f(x)，对于定义域中任意两点x1,x2(x1≠x2)，有f((x1+x2)/2)<=(f(x1)+f(x2))/2或f((x1+x2)/2)>=(f(x1)+f(x2))/2，则称f(x)为凸（或凹）函数。1.求函数y=4x-2的最大值。答案：无需求解，因为没有给定定义域。2.求f(x)=12/x+3x(x≠0)的最值，并求取最值时x的值。答案：无需求解，因为没有给定定义域。3.（三星）a,b为实常数，求y=(x-a)2+(x-b)2的最小值。解：方法一：将y展开得到y=2x2-2ax-2bx+a2+b2，再将x的系数提取出来，得到y=2(x-a/2)2+2(b-a/2)2-a2-b2。因为平方项都是非负数，所以当且仅当x=a/2,b=a/2时y取得最小值，最小值为0。方法二：根据平面几何中点公式，y=(x-(a+b)/2)2+(a-b)2/2，因为平方项都是非负数，所以当且仅当x=(a+b)/2时y取得最小值，最小值为(a-b)2/2。4.(1)函数f(x)=x(1-x)(0<x<1)的值域为__________；(2)函数f(x)=x(1-2x)(0<x<1/2)的值域为__________。解：(1)∵0<x<1，∴1-x>0，x(1-x)≤1/4。当x=1/2时，x(1-x)取得最大值1/4，所以f(x)的值域为[0,1/4]。(2)∵0<x<1/2，∴1-2x>0，x(1-2x)≤1/8。当x=1/4时，x(1-2x)取得最大值1/8，所以f(x)的值域为[0,1/8]。5.已知0<x<1，则x(3-3x)取得最大值时x的值为__________。解：由x(3-3x)=3x(1-x)≤3/4，当且仅当1-x=x时，即x=1/2时取得最大值。6.函数y=x/(4x-5)的最大值为__________。解：无法求解，因为没有给定定义域。7.函数y=1-x2的最大值为__________。解：由于y=1-x2在[-1,1]上单调递减，所以最大值为y(-1)=2。8.已知3a2+2b2=5，求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。解：由于3a2+2b2=5，所以a2≤5/3，b2≤5/2。因此，(2a2+1)(b2+2)≤(2×5/3+1)(5/2+2)=49/3，当且仅当a2=5/3，b2=5/2时取得最大值，此时y=49/3。9.函数y=(x+1)/(x2+1)的最小值为__________。解：将y的分子分母同时乘以x2-1，得到y=(x2+1)/(x2+1)+(x+1)(x2-1)/(x2+1)，化简后得到y=2x/(x2+1)+x-1/(x2+1)。因为x2+1>0，所以y的最小值等于2，当且仅当x=1时取得最小值。10.（二星）若x>y且xy=1，求2x+y的最小值。解：由于x>y，所以2x+y=2y+y/x≥2√(2y2)=2√2，当且仅当x=√2,y=1/√2时取得最小值。11.设x，y∈R，且xy≠0，则x2+y2/(x2+4y2)的最小值为__________。解：将分式化简得到x2+y2/(x2+4y2)=1+3y2/(x2+4y2)，所以只需求3y2/(x2+4y2)的最小值即可。由于xy≠0，所以x2+4y2>0，所以3y2/(x2+4y2)≥0，所以x2+y2/(x2+4y2)的最小值为1，当且仅当x=0,y=0时取得最小值。12.已知正数x，y满足x2+2xy-3=0，则2x+y的最小值是__________。解：将x2+2xy-3=0移项得到y=(3-x2)/(2x)，所以2x+y=2x+(3-x2)/(2x)=5/2+x2/(2x)-2x≥5/2-2=1/2，当且仅当x=√3,y=0时取得最小值。已知$x,y\inR^+$且$x^2+y^2=1$，求$x+y$的最大值。解：由平方平均数不等式得：$$\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\ge\frac{x+y}{2}$$即$$\frac{1}{\sqrt{2}}\ge\frac{x+y}{2}$$所以$$x+y\le\sqrt{2}$$当且仅当$x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$时，取等号，故$x+y$的最大值为$\sqrt{2}$。11.（二星）设a>0，b>0，a+b=1，求2a+1+2b+1的最大值。答案：4解：由题意可得2a+2b+2=4，所以2a+1+2b+1=4+1+1=6，故最大值为4。7.（三星）设a,b>0，a+b=5，则a+1+b+3的最大值为_________。答案：9解：因为a,b>0，a+b=5，所以a+1+b+3=9。根据均值不等式可得：(a+1)+(b+3)≤2(a+b+1)=12，所以a+1+b+3的最大值为9。13.（四星）已知实数a，b，c满足a+b+c=1，a²+b²+c²=1，则a的最大值是____________。答案：2/3解：由(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)可得ab+bc+ca=-1/2，因此有b+c≥-2bc，即2(b+c)≥-2bc+b+c，即(b+c)²≥4bc。同理有(a+b)²≥4ab，(a+c)²≥4ac。将三式相加可得2(a²+b²+c²)+2(ab+bc+ca)≥4(ab+bc+ca)，即2≥4(ab+bc+ca)，故ab+bc+ca≤1/2。由(a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)可得a²+b²+c²≥1/3，因此有a≤√(2/3)，即a的最大值为2/3。9.（三星）已知k∈R，点P(a,b)是直线x+y=2k与圆x²+y²=k²-2k+3的公共点，则ab的最大值为（）。答案：9解：将x+y=2k改写为y=2k-x，代入圆的方程可得x²+(2k-x)²=k²-2k+3，即x²-4kx+4k²-2k+3=0。由于圆心坐标为(2k,0)，因此该圆的方程可以写为(x-2k)²+y²=(k-1)²，即(x-2k)²+y²≤(k-1)²。因此x-2k的取值范围为[√2k-1,3-√2k]，由于a和b的取值范围相同，因此ab的最大值为(3-√2k)(√2k-1)=9-3k-2k√2。1.（二星）若x>0，y>0，则(x+y)/(x²+y²)的最小值为_________。答案：2√2/4=√2/2解：由均值不等式可得(x+y)²/2≥xy，即(x+y)/2≥2xy/(x+y)，所以(x+y)/(x²+y²)≥2xy/(x+y)(x²+y²)，即(x+y)/(x²+y²)≥2/(x+y)，因此(x+y)/(x²+y²)的最小值为2/(x+y)。由(x+y)²≤2(x²+y²)可得2/(x+y)≥2√2/(x²+y²)，所以(x+y)/(x²+y²)的最小值为2√2/4=√2/2。5.求函数y=x²(1-5x)(0≤x≤1)的最值。答案：5/1024解：当x=0或x=1时，y=0。当0<x<1/5时，1-5x>0，此时y<0；当1/5≤x≤1时，1-5x≤0，此时y≥0。因此y的最大值只可能出现在x=1/5处。此时y=1/25×4/5×1024/3125=5/1024。6.设θ为锐角，求y=sinθcos²θ的最大值。答案：1/4解：由于-1≤sinθ≤1，0≤cosθ≤1，因此sinθcos²θ≤cos²θ。由cos²θ=1/2(1+cos2θ)可得cos²θ的最大值为1/2，因此sinθcos²θ的最大值为1/4。9.已知$x,y\inR^+$，且$2x+8y-xy=0$，求$x+y$的最小值。解：将$2x+8y-xy=0$移项得$xy=2x+8y$，再用AM-GM不等式可得：$$x+y=\frac{1}{2}(x+2y)+\frac{1}{2}(2x+6y)\geq2\sqrt{(x+2y)(2x+6y)}=2\sqrt{8xy}=8\sqrt{2}$$当且仅当$x=4\sqrt{2},y=\sqrt{2}$时等号成立，故$x+y$的最小值为$8\sqrt{2}$。2.若直线$ax+by=1(a>0,b>0)$过点$(1,1)$，则$a+b$的最小值等于()解：因为直线过点$(1,1)$，所以$a+b=1/(a+b)(ax+by)=1+ax+by\geq1+2\sqrt{ab}$，当且仅当$ax=by$时取等号，此时$a=b=1/\sqrt{2}$，故$a+b=\sqrt{2}$。14.若$\log_4(3a+4b)=\log_2ab$，则$a+b$的最小值是（）解：由题得$3a+4b=ab^2$，将$3a+4b$代入得$ab^2=\log_2(3a+4b)\geq\log_22\sqrt{3ab}=1+\frac{1}{2}\log_23ab$，即$\frac{1}{2}\log_2ab\geq1$，故$ab\geq2$。又因为$3a+4b=ab^2\geq2\sqrt{3ab}$，即$ab\geq12$。当且仅当$ab=12$时取等号，此时$a=\frac{12}{5},b=\frac{10}{3}$，故$a+b=\frac{78}{15}$。1.已知$x,y$都是正数，且$x+y=1$，则$\frac{x^2}{y^2+1}$的最小值是___________。解：由AM-GM不等式可得：$$\frac{x^2}{y^2+1}=\frac{(x^2+y^2)+y^2}{y^2+1}-\frac{y^2}{y^2+1}\geq2\sqrt{\frac{(x^2+y^2)y^2}{(y^2+1)^2}}=\frac{2y}{y^2+1}$$又因为$x+y=1$，所以$y=1-x$，代入得$\frac{x^2}{y^2+1}=\frac{x^2}{2x^2-2x+2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\frac{x^2-x+1}{x^2}}\geq\frac{1}{2}\cdot\frac{2x^2}{x^2-x+1}=\frac{x^2+x^2}{x^2-x+1}=1$。当且仅当$x=1,y=0$时取等号，故$\frac{x^2}{y^2+1}$的最小值为$1$。20.函数$f(x)=\frac{x^2}{x+1}$的最小值为_______。解：由AM-GM不等式可得：$$f(x)=\frac{x^2}{x+1}=x-\frac{x}{x+1}\geqx-\frac{x}{2\sqrt{x}}=\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{x}}{2}$$又因为$f(x)$在$x>0$时单调递减，所以$f(x)$的最小值为$\frac{\sqrt{1/4}}{2}=\frac{1}{4}$。1.已知$a>0$，求函数$y=\frac{x^2+a+1}{2x+a}$的最小值。答案：$\frac{a+1}{2\sqrt{a}}$。2.已知$a>0$，$b>0$且$3ab=a+b+1$，求$ab$的最小值。答案：$\left[1,+\infty\right)$。5.若正实数$x$，$y$满足$2x+y+6=xy$，则$xy$的最小值是$\frac{18}{5}$。解：由$x>0$，$y>0$，$2x+y+6=xy$，得$xy\geq2\cdot2xy+6$（当且仅当$2x=y$时，取“$=$”），即$(xy)^2-2xy-6\geq0$，解得$xy\geq\frac{3+\sqrt{15}}{2}$，即$xy\geq\frac{18}{5}$，取等号时$x=\frac{3+\sqrt{15}}{2}$，$y=\frac{6}{3+\sqrt{15}}$。27.若$x$，$y\in(0,+\infty)$，$x+2y+xy=30$。(1)求$xy$的取值范围；(2)求$x+y$的取值范围。解：(1)$x+2y+xy=30$，即$x=\frac{30-2y}{y+1}$，代入$xy$得$xy=\frac{30y-2y^2}{y+1}$，解得$xy\in\left(0,\frac{225}{8}\right]$。(2)$x+2y+xy=30$，即$(x+1)(y+2)=32$，由调和平均数不小于几何平均数得$x+y\geq\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}}$，又$x+2y+xy=30$，即$(x+2)+(y+1)+xy=33$，由调和平均数不小于算术平均数得$x+2+y+1+xy\geq33\cdot\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}}$，即$x+y\geq\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}}-\frac{3}{2}+\frac{33\cdot4\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}\cdot30}$，化简得$x+y\geq\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt[4]{3}}+\frac{2\sqrt{10}}{3}$。1.首先将每个式子按照数学规律重新排版，得到：$$xy=\frac{x+2}{\frac{64}{x+2}+32}\leq18$$$$x+y=\frac{x+1}{2}+\frac{x+2}{x+2}-3\in[82/3,30)$$2.由已知条件$2x+5y=20$，可以解出$y=4-\frac{2}{5}x$。将$y$代入$\logx+\logy=\log(xy)$中，得到$\logx+\log(4-\frac{2}{5}x)=\log(x(4-\frac{2}{5}x))$。对于$x\in(0,+\infty)$，可以求出函数$f(x)=\log(x(4-\frac{2}{5}x))$的最大值。对$f(x)$求导，得到$f'(x)=\frac{1}{x}+\frac{2}{5(4-\frac{2}{5}x)}-\frac{2}{5}$。令$f'(x)=0$，解得$x=5$。此时$f(x)$取得最大值$\log10$。3.由已知条件$a>1$和$\log_ba=42$，可以解出$b=2^{\frac{1}{42}\loga}$。将$b$代入$\log_2(ab)=\log_2a+\log_2b$中，得到$\log_2(ab)=\frac{1}{42}\loga+1$。对于$a\in(1,+\infty)$，可以求出函数$g(a)=\log_2(ab)$的最小值。对$g(a)$求导，得到$g'(a)=\frac{1}{42a\ln2}$。由于$g'(a)>0$，因此$g(a)$在定义域上单调递增。当$a=10$时，$g(a)=\log_210$，为最小值。4.将$z=x+y$代入$\lgx+\lgy=1$中，得到$\lgx+\lg(z-x)=1$。移项并应用对数运算法则，得到$\lg\frac{z-x}{x}=1-\lgx$。由于$x>0$，因此$1-\lgx>0$，即$\lg\frac{z-x}{x}>0$。对于$z>x$，可以求出函数$h(x)=\lg\frac{z-x}{x}$的最小值。对$h(x)$求导，得到$h'(x)=\frac{1}{x(z-x)\ln10}(z-2x)$。令$h'(x)=0$，解得$x=\frac{z}{2}$。此时$h(x)$取得最小值$-\lg2$。因此$z=x+y\geq2x=2\cdot\frac{z}{2}=z$，当且仅当$x=\frac{z}{2}$时取等号，此时$z$的最小值为$2\cdot10^{-\lg2}=2^{-1}$。2.若a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为多少？解：由a＋log2b≥1得log2(ab)≥1，即ab≥2。因此，3a＋9b＝3a＋32b≥2×3a＋2b^2（当且仅当3a＝32b，即a＝2b时取等号）。又因为a＋2b≥2√(ab)≥4（当且仅当a＝2b时取等号），所以3a＋9b≥2×3a＋2b^2≥2×3√(ab)＝18。因此，当a＝2b时，3a＋9b有最小值18。11.设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝23，则x＋y的最大值为多少？解：由ax＝by＝3，得x＝loga3，y＝logb3。由a>1，b>1知x>0，y>0，因此x＋y＝loga3＋logb3＝logab^3。又因为a＋b＝23，所以b＝23－a，代入logab^3得x＋y＝loga(23－a)^3。令f(a)=loga(23－a)^3，则f'(a)=[3log(23－a)－3loga]/a^2。当f'(a)=0时，a=23/4，此时f(a)取得最大值，即x＋y的最大值为log(23/4)(23－23/4)^3=2log223－3log223/4=2－3log23/4。22.已知a＞0，b＞0，ab＝8，则当a的值为多少时，log2a·log2(2b)取得最大值？解：由ab＝8得b＝8/a，所以log2a·log2(2b)=log2a·log28－log2a=log28·log2a－log2a。令f(a)=log28·log2a－log2a，则f'(a)=log28/a－1=0时，a=8/ln2，此时f(a)取得最大值，即log2a·log2(2b)的最大值为f(8/ln2)=3ln2。6.已知a，b，c＞0，且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2√3，求2a＋b＋c的最小值。解：由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2√3得a^2＋ab＋ac＋bc＝4－2√3。因此，2a＋b＋c=2a＋(a＋b＋c)－a＋b＋c=3a＋(a^2＋ab＋ac＋bc)/(a＋b＋c)，所以2a＋b＋c的最小值为2√(3－2√3)。29.设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝1，则xz/(x＋3z)的最小值是多少？解：由x－2y＋3z＝1得y=(x＋3z－1)/2，代入xz/(x＋3z)得(x＋3z－1)z/(x＋3z)。令f(z)=(x＋3z－1)z/(x＋3z)，则f'(z)=(x－2z＋1)/(x＋3z)^2。当f'(z)=0时，z=(x＋1)/2，此时f(z)取得最小值，即xz/(x＋3z)的最小值为(x＋1)^2/(4(x＋3))。取得最小值3。二、比较大小已知$a>b>1,P=\log_{a}b,Q=\frac{1}{2}(\log_{2}a+\log_{2}b),R=\log_{2}\frac{a+b}{2}$，则$P,Q,R$的大小关系是$P<Q<R$。三、求函数最值8.设$x>-1$，求函数$y=\frac{x^2+7x+10}{x+1}$的最小值。答案：$9$。2.求$f(x)=\frac{x}{4+x}$的最大值。答案：$\frac{4}{e-1}$。16.（全国）已知$a,b,c$分别为$\triangleABC$的三个内角$A,B,C$的对边，$a=2$，且$(2+b)(\sinA-\sinB)=(c-b)\sinC$，则$\triangleABC$面积的最大值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$。1.已知$a,b$均为正实数，且$a+b=1$，求$y=\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+1}$的最小值。解：法一：$y=\frac{a^2+b^2+2ab}{a+b+ab+1}=\frac{(a+b)^2+(a+b-2ab)}{(a+b)+ab+1}=1+\frac{-2ab}{a+b+ab+1}\geq1$，当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$时，$y$取最小值，最小值为$1$。法二：$y=\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{a+b}{ab+a+b+1}\geq2\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a+b}\cdot\frac{a+b}{ab+a+b+1}}=2\sqrt{\frac{(a^2+b^2)(a+b)}{(a+b)^2+(a+b)+ab}}\geq2\sqrt{\frac{(a^2+b^2)(a+b)}{(a+b)^2+(a+b)+\frac{(a+b)^2}{4}}}=2\sqrt{\frac{4ab}{3(a+b)+2ab}}\geq2\sqrt{\frac{4ab}{5\sqrt[5]{a^3b^2}}}=2\sqrt[10]{\frac{16}{5}}>\sqrt[10]{1024}>1$，其中第一个不等式用了均值不等式，第二个不等式用了$\frac{a^2+b^2}{2}\geqab$，第三个不等式用了$a+b\geq2\sqrt{ab}$。当且仅当$a=b=\frac{1}{2}$时，等号成立，即$y$取最小值$1$。1.上升下降性质当t=4时，f(t)取得最小值4，此时a=b=2。当a=b=2时，y取得最小值4。2.求参数范围已知正数x，y满足x+22xy≤λ(x+y)恒成立，则实数λ的最小值为2。已知不等式2x+22≥7在x∈(a，+∞)上恒成立，则实数a的最小值为2。设x>y>z，n∈N，且(x-y)/(y-z)+n/(n+1)≥4/3，则n的最大值为2。对任意锐角θ，有sinθcosθ/(cos²θ+sin²θ)≥-1/2，则实数λ的取值范围为[-1/2,∞)。3.证明不等式已知a>2，则loga(a-1)loga(a+1)<1。设a,b均为正数，且a+b=1，则(1/ab)+(1/(a+b-2ab))≥4和(a/b+b/a)+(1/4)≥2。已知x>0，y>0，z>0，则(∑(yz/x))≥8。4.与其他知识结合圆x²+y²+2x-4y+1关于直线2ax-by+2=0对称，则ab的取值范围为(-∞,-2]∪[2,∞)。解：由题可知，直线$2ax-by+2$过圆心$(-1,2)$，因此可以得到$a+b=1$。又因为$ab\leq\frac{1}{4}$，所以$ab$的取值范围是$\left(-\infty,\frac{1}{4}\right]$。29.（四星）已知$AC$、$BD$为圆$x^2+y^2=4$的两条相互垂直的弦，垂足为$M_1$、$M_2$，则四边形$ABCD$的面积最大值为多少？解：设圆心$O$到$AC$、$BD$的距离分别为$d_1$、$d_2$，则$d_1^2+d_2^2=OM^2=3$。四边形$ABCD$的面积$S=\frac{1}{2}\cdot|AC|\cdot|BD|\leq\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{(2-d_1)(2-d_2)}\leq2\sqrt{2-\frac{d_1^2+d_2^2}{2}}=2\sqrt{2-\frac{3}{2}}=\sqrt{5}$。因此，四边形$ABCD$的面积最大值为$\sqrt{5}$，当且仅当$AC$、$BD$分别垂直于$OM_1$、$OM_2$时取得。3.（四星）设$m\in\mathbb{R}$，过定点$A$的动直线$x+my=$和过定点$B$的动直线$mx-y-m+3=0$交于点$P(x,y)$，则$|PA|\cdot|PB|$的最大值是多少？解：由于$PA\perpPB$，所以$PA+PB=AB=10$。因此，$|PA|\cdot|PB|$的最大值为$\frac{(PA+PB)^2}{4}=25$，当且仅当$PA=PB=5$时取得。4.（三星）如果函数$f(x)=\frac{m}{x^2+2}$在区间$[0,2]$上单调递减，那么$m-2x+n-8x+1(m\geq0,n\geq0)$的最大值为多少？解：对$f(x)$求导可得$f'(x)=-\frac{2mx}{(x^2+2)^2}$，令其等于$0$，得到$x=0$。因为$f(x)$在$[0,2]$上单调递减，所以$f'(x)<0$，即$m>0$。将$x=0$代入$f(x)$可得$f(0)=\frac{m}{2}$，因此$m>0$。将$x=2$代入$f(x)$可得$\frac{m}{6}\leqf(2)=\frac{m}{8}$，因此$m\leq24$。又因为$n-8x+1\geq0$，所以$n\geq8x-1$。因此，$m-2x+n-8x+1\leqm-2x+8x-1=m+6x-1$。当$m=24$时，$f(x)$在$[0,2]$上单调递减，且$m+6x-1$取最大值$47$，因此最大值为$47$。应有2n+m=18(m<2,n>8)，因此m·n=(18-2n)·n<(18-2×8)×8=16，因此最大值为18。选B。另外一种方法是用导数来做，也需要分类。某单位要建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的矩形小房。由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5米。房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5,800元。如果墙高为3米，且不计房屋背面的费用，当侧面的长度为多少时，总造价最低？解：由题意可得，造价y=3(2x×150+x×400)+5,800。则y=900(x+16/x)+5,800(0<x≤5)。因此，y≥900×2x×16/x+5,800=13,000元。当且仅当x=4时取等号。因此，当侧面的长度为4米时，总造价最低。某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元。若每批生产x件，则平均仓储时间为8天，且每件产品每天的仓储费用为1元。为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品多少件？解：设每件产品的平均费用为y元，由题意得800x/y+8x≥2x·8=16x。因此，y≥800。当且仅当x=80时，y=800，因此每批应生产80件产品。为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图所示）。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱的底长为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分别与a、b的乘积成反比，现有制箱材料60平方米。问：当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）？解：设y为流出的水中该杂质的质量分数，k为比例系数，则y=kab。根据题设，有4b+2ab+2a=60（a>0，b>0），解得b=(30-a)/2+a/2（0<a<30）。将b带入y=kab中，得到y=64/(a+2)+34-a/2。因此，y的最小值为64/4+34-15=33（当a=3时取得）。因此，当a=3米，b=9米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。题目中的公式和文字混乱，需要重新排版和修改。34-2已知$a+2=k$，$y=\frac{b}{a}$，且$a,b$均为正整数，求使得$y$最小的$a,b$的值。方法一：由题意可得$b=\frac{18}{a+2}$，因为$a,b$均为正整数，所以当$a=6$时，$b=3$，此时$y=\frac{1}{2}$，为最小值。方法二：根据题意，要求$ab$的值最大，即要求满足$4b+2ab+2a=60$的$a,b$值，且$a,b$均为正整数。化简得$a+2b+ab=30$。因为$a+2b\geq2\sqrt{2ab}$，所以$2ab+ab\leq30$，即$a=2b$时取得最大值。解得$0<ab\leq18$，即当$a=2b$时，$ab$取得最大值，其最大值为$18$。此时$b=3$，$a=6$，$y=\frac{1}{2}$，为最小值。47.甲、乙两地相距$s$千米，一艘船由甲地逆水匀速行驶至乙地，水速