广西专用高考数学一轮复习考点规范练7函数的奇偶性与周期性（含解析）新人教A版（文）

考点规范练7函数的奇偶性与周期性基础巩固1.函数f(x)=1x-x的图象关于(A.y轴对称 B.直线y=-x对称C.坐标原点对称 D.直线y=x对称答案:C解析:∵f(-x)=-1x+x=-1x-x=-f(x),且定义域为(-∞,0)∪∴f(x)为奇函数.∴f(x)的图象关于坐标原点对称.2.下列函数中,既是偶函数,又在区间(-∞,0)内单调递增的是()A.y=x2 B.y=2|x|C.y=log21|x| D.答案:C解析:函数y=x2在区间(-∞,0)内是减函数;函数y=2|x|在区间(-∞,0)内是减函数;函数y=log21|x|=-log2|x|是偶函数,且在区间(-∞,0)内是增函数;函数y=sinx不是偶函数3.(2020重庆九龙坡区模拟)已知奇函数y=f(x)(x∈R)满足:对一切x∈R,f(1+x)=f(1-x),且当x∈[0,1]时,f(x)=ex-1,则f(2020)=()A.1 B.1-e C.0 D.e-1答案:C解析:根据题意,对任意x∈R都有f(1+x)=f(1-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,又函数y=f(x)为奇函数,则函数y=f(x)的图象关于原点对称,则有f(x+2)=f[1+(x+1)]=f[1-(x+1)]=f(-x)=-f(x),故f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),即函数y=f(x)是周期为4的周期函数,则f(2020)=f(0),又当x∈[0,1]时,f(x)=ex-1,所以f(2020)=f(0)=e0-1=0.4.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=()A.1 B.5 C.-1 D.-5答案:B解析:令g(x)=f(x)+x,由题意可得g(-2)=g(2)=f(2)+2=3.又g(-2)=f(-2)-2,故f(-2)=g(-2)+2=5.5.已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为()A.2 B.1 C.-1 D.-2答案:A解析:∵f(x+1)为偶函数,f(x)是奇函数,∴f(-x+1)=f(x+1),f(x)=-f(-x),f(0)=0,∴f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-1),∴f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),则f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2,∴f(4)+f(5)=0+2=2,故选A.6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+2)=f(x).若当x∈[0,1)时,f(x)=2x-2,则f(log124A.0 B.1 C.2 D.-2答案:A解析:因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(log1242)=f(-log2252又f(x+2)=f(x),所以f52=f12=所以f(log12427.已知定义域为R的函数f(x)在区间(8,+∞)内为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则()A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9)C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)答案:D解析:由y=f(x+8)为偶函数,知函数f(x)的图象关于直线x=8对称.又f(x)在区间(8,+∞)内为减函数,故f(x)在区间(-∞,8)内为增函数.可画出f(x)的草图(图略),知f(7)>f(10).8.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)=()A.e-x-1 B.e-x+1C.-e-x-1 D.-e-x+1答案:D解析:∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).当x<0时,-x>0,f(-x)=e-x-1=-f(x),即f(x)=-e-x+1.故选D.9.(2020河南洛阳检测)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,且满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)=.

答案:0解析:因为f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,所以f(-x)=-f(x),且f(0)=0.因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x+2)=f(-x),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数.因为f(1)=2,所以f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,又f(2)=-f(0)=0,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)=505×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0.10.已知定义在R上的奇函数y=f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,且f12=0,则f(x)>0的解集为.答案:x解析:由奇函数y=f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,且f12=0,可知函数y=f(x)在区间(-∞,0)内单调递增,且f-12=0.由f(x)>0,可得x>12或-11.已知f(x)是R上的奇函数,f(1)=2,且对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,则f(2017)=.

答案:2解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.又对任意x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3),所以当x=-3时,有f(3)=f(-3)+f(3)=0,所以f(-3)=0,f(3)=0,所以f(x+6)=f(x),周期为6.故f(2017)=f(1)=2.12.已知奇函数f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上单调递减,则满足f(1-m)+f(1-m2)<0的实数m的取值范围为.

答案:[-1,1)解析:∵f(x)的定义域为[-2,2],∴-2≤1-m≤2,-2≤1-又f(x)为奇函数,且在区间[-2,0]上单调递减,∴f(x)在区间[-2,2]上单调递减,∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1).∴1-m>m2-1,解得-2<m<1.②综上①②可知,-1≤m<1,即实数m的取值范围是[-1,1).能力提升13.已知奇函数f(x)是R上的增函数,g(x)=xf(x),若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a答案:C解析:由f(x)为奇函数,知g(x)=xf(x)为偶函数.因为f(x)在R上单调递增,f(0)=0,所以当x>0时,f(x)>0,所以g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.又a=g(-log25.1)=g(log25.1),b=g(20.8),c=g(3),20.8<2=log24<log25.1<log28=3,所以b<a<c.故选C.14.设函数f(x)=x(ex+e-x),则f(x)是()A.奇函数,且在区间(0,+∞)内是增函数B.偶函数,且在区间(0,+∞)内是增函数C.奇函数,且在区间(0,+∞)内是减函数D.偶函数,且在区间(0,+∞)内是减函数答案:A解析:由题意可知,f(x)的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)(e-x+ex)=-x(ex+e-x)=-f(x),故f(x)为奇函数.f'(x)=ex+e-x+x(ex-e-x),当x>0时,ex>e-x,所以x(ex-e-x)>0,又ex+e-x>0,所以f'(x)>0,所以f(x)在区间(0,+∞)内是增函数.故选A.15.(2020江西九江期末)已知函数f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x-12,则xf(x)≥0的解集为.答案:{x|x≥1或x=0或x≤-1}解析:因为f(x)为R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=2x-12则当x>0时,-x<0,则f(-x)=2-x-12=-f(x所以f(x)=12-12x,又f(0)=可得x>0,12-12x≥0或x=0或x16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=3x.若12<a<34,则关于x的方程ax+3a-f(x)=0在区间[-3,2]上不相等的实数根的个数为答案:5解析:∵f(x+2)=f(x),∴函数f(x)是周期为2的函数.若x∈[-1,0],则-x∈[0,1],此时f(-x)=-3x.由f(x)是偶函数,可知f(x)=f(-x)=-3x.由ax+3a-f(x)=0,得a(x+3)=f(x).设g(x)=a(x+3),分别作出函数f(x),g(x)在区间[-3,2]上的图象,如图所示.因为12<a<34,且当a=12和a=17.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=.

答案:-8解析:∵f(x)为奇函数且f(x-4)=-f(x),∴f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),即f(x)=f(4-x)且f(x-8)=-f(x-4)=f(x),即y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且是周期为8的周期函数.∵f(x)在区间[0,2]上是增函数,∴f(x)在区间[-2,2]上是增函数,在区间[2,6]上是减函数.据此可画出y=f(x)图象的草图(如图):其图象也关于直线x=-6对称,∴x1+x2=-12,x3+x4=4,∴x1+x2+x3+x4=-8.高考预测18.(2020四川南充模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)=2-f(-x),且函数f(x+1)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x