2021年中考数学解答题压轴题每日一题58

2021年中考数学解答题压轴题每日一题

1.综合与探究

如图1,抛物线丫二扇+云-3与x轴交于A(-2,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点N是抛物线上异于点C的动点，若ANAB的面积与△C48的面积相等，求出点N

的坐标；

(3)如图2,当P为OB的中点时，过点尸作尸轴，交抛物线于点£>.连接8。，将

△尸8。沿x轴向左平移机个单位长度(0VmW2),将平移过程中△尸80与AOBC重叠部分

的面积记为S,求S与机的函数关系式.

【分析】(1)把点A、8的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数人，的解析式，通

过解方程组求得它们的值；

(2)由抛物线解析式求得点C的坐标，即OC=3,所以由三角形的面积公式得到点N到x

轴的距离为3,据此列出方程并解答；

(3)如图2,由己知得，QB=m,PQ=2,利用待定系数法确定直线BC的表达式为丫=当

4

-3.根据二次函数图象上点的坐标特征和坐标与图形的性质求得。(2,-3),所以直线

C£>〃x轴.由此求得的长度；过点尸作于点M,构造相似三角形：△MH/s

△MPQ和△CMFS^BQF,根据相似三角形的对应边成比例推知姓=红土设MF=k(2

QFm

-m),QF=km,由三角形的面积公式和图形得到：S—S^PQM-S^EMF—3~"

(2-m)--—nr+—m+—.

822

【解答】解：(1)如图1,把点A(-2,0)、B(4,0)分别代入了=症+法-3(“W0),

得

(4a~2b-3=0

116a+4b~3=0

f3

a友

解得°，

b=N

所以该抛物线的解析式为：y=^-lx-3；

-84

(2)将x=0代入-[x-3,得y=-3,

.,.点C的坐标为(0,-3),

OC=3.

设N(x,y),

,•*SNNAB=SM：AB,

：.\y\=OC=3f

.・・y=±3.

当y=3时，3/-当-3=3,

■84

解得X=±V17+1.

当y=-3时，旦，-斗-3=-3,

84

解得XI=2,X2=O(舍去).

综上所述，点N的坐标是(JF+1，3)或(-JTR1，3)或(2,-3)；

(3)如图2,由已知得，QB=m,PQ=2,

设直线BC的表达式为(ZW0).

•.•直线y="+b经过点B(4,0),C(0,-3),

.fb=-3

l4k+b=0，

[kJ-

解得{*4,

b=-3

/.直线BC的表达式为y=}3.

当0V%W2时，由已知得尸8=2+〃].

,/OP=2-m,

：.E(2-w,-2%-3).

42

由08=4得OP=2,

把x=2代入-泰-3中，得y=-3,

：.D(2,-3),

直线C£>〃x轴.

•.•EP=3〃?+3,MP=3,

42

：.EM=MP-EP=3-3m-3=-置?+&.

4242

过点/作尸于点M,则/MHF=NMPQ=90°.

•:/HMF=NPMQ,

•里=迎

-，PQIQ'

NFCM=ZFBQ,NFMC=ZFQB,

:.丛CMFs丛BQF,

•MF_CM

"OFBQ"

'：CD=2,

：.CM=2-m,

.MF,2-m

QFm

设(2-/n),QF=km,

:,MQ=2k,

・MF=2-m

MQm

•HF2-m

PQm

・・・PQ=2,

：.HF=2-m.

：.S^EMF=—EM*HF=—(-—zn+—)(2