2021年度微分几何练习题库及答案

《微积分几何》复习题本科

第一某些：练习题库及答案

一、填空题(每题背面附有核心词;难易度;答题时长)

第一章

1.己知a=(l,l,—l),b=(l,O,—l),则这两个向量夹角余弦cos8=^

2.己知a=(O,l,—l),b=(l,O,—l),求这两个向量向量积axb=(-l「L-l).

3.过点尸(1,1,1)且与向量a=(1,0,—1)垂直平面方程为在Q

4.求两平面为：x+y+z=0与72：x—y+2z=l交线对称式方程为2F=—=

5.计算lim[(3/+l)i—/j+k]=13i-8j+k.

/->2_________________

6.设f(/)=(sinf)i+(j,g(/)=(t2+l)i+erj,求lim(f(r)・g«))=0

r->0

7.已知r(〃,v)=(〃+匕〃一匕,其中〃=『,v=sinr,则一=(2t+cost,2t-cosr,2vt+ucost)

dt----------------------------------------

8.已知°=r,6=F,则日「(2°)=(-。sin℃os3-2atcos(psin0,-asin°sin6+2atcos9cos仇acos(p)

dt-----------------------------------------------

46

9.已知Jr⑺df=(—l,2,3),jr(r)dr=(-2,l,2),求

24

46

jaxr(r)dr+b-ja-r(/)dr=(3,-9,5),其中a=(2,1,1),b=(l,-l,0)

22

10.已知r'Q)=a(a为常向量)，求r«)=/a+c

11.已知「'(，)=，a,(a为常向量)，求r«)=L?a+c

2

4d

12.已知f⑺=(2+力j+(logr)k,g(r)=(sinr)i-(cosz)j,r>0,则J丁(f-g)df=2-6cos4.

oS

第一早

13.曲线r(f)=(It,t\e')在任意点切向量为(2,3产,/)

14.曲线r«)=(acosht,asinh在t=0点切向量为(0,a,a)

15.曲线rQ)=(qcosr,asin初)在/=0点切向量为(0,a,b)

1

y——

16.设有曲线C:x=e',>=e，z=产，当1=1时切线方程为"=—^=—

e_12

e

17.设有曲线彳=e'cost,y=e'sinf,z=e',当/'=()时切线方程为x-l=y=z—1

第三章

18.设r=r(〃,v)为曲面参数表达，如果r“xr、,wO,则称参数曲面是正则；如果r:Gfr(G)是一一，则称

参数曲面是简朴.

19.如果“-曲线族和丫-曲线族处处不相切，则称相应坐标网为—正规坐标网.(坐标网；易；3分钟)

20.平面r(“,v)=(〃,匕0)第一基本形式为ck?+d、,面积元为dMdu

21.悬链面r(u,v)=(coshucosv,cosh〃5泊匕〃)第一类基本量是£=cosh2u^F-0^_G=cosh2u

2

22.曲面z=axy上坐标曲线x=x0,y=外交角余弦值是一7---"型--------_

5(1+//2)(1+42%2)

23.正螺面!*(〃#)=(ucosv,usinv.hv)第一基本形式是d/+(/+/?2)dv2.

24双曲抛物面r(w,v)=(a(u+v),b(u-v),2wv)第一基本形式是

(4+〃+4y2)d〃2+2aJ〃+4〃y)d〃dv(*2h-42z

25.正螺面r(〃,u)=(〃cosu.〃sinu.bu)平均曲率为0.(正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3分钟)

26.方向(d)=(1〃：8是渐近方向充要条件是勺((1)=0或〃1〃2+2h<1〃(加+凡1/=0

27.两个方向(d)=：du和(6)=3%:3V共较充要条件是II(dr,8r)=0或Ldudu+M(d«8v+dv5w)+7Vdv8v=0

AE-LAF-M

28.函数；l是主曲率充要条件是=0

AF-MAG-N

Edu+FdvLdu+Mdv

29.方向(d)=du:dv是主方向充要条件是

Fdu+GdvMdu+Ndv

30.依照罗德里格定理，如果方向(d)=(d〃：du)是主方向，则dn=-K..dr,其中仁是沿(d)方向法曲率

31.旋转极小曲面是平面或悬链面

第四章

32.高斯方程是工=ZEq+4n-i,/=l,2,魏因加尔吞方程为n,=—i"=l,2

kj.k

33.g“用g”表达为3））=丁置g22―g|2・

det（g］）lg|2g”J

34.测地曲率几何意义是曲面地上曲线（C）在£点测地曲率绝对值等于（C）在£点切平面且上正投影曲线（C*）曲率

35.心勺,“之间关系是*=勺2+勺2.

36.如果曲面上存在直线，则此直线测地曲率为0.

37.测地线方程为燮+£*㈣叱=0«=1,2

d.y2V〃d.s-d,s-

38.高斯-波涅公式为JJ/317+|勺（15+2（万一％）=2〃

GdGi=1

k

39.如果3G是由测地线构成，则高斯-波涅公式为0KdeT+、2（万—%）=2〃.

Gi=l

二、单选题

第一章

40.已知a=b=（l,2,-l）,则这两个向量内积2力为（C）.（内积；易；2分钟）

A2B—1C0D

41.求过点尸（1,1,1）且与向量a=（-1,0,-1）平行直线2方程是（A）.（直线方程；易；2分钟）

X=Zx-\y

AB------=-z+1

y=l23

x=y

Cx+1=y=z+1D

z=1

42.已知a=(1,1,-1),b=(1,0,-1),c=(1,1,1),则混合积为（D）.（混合积：较易：2分钟）

A2B-1CD-2

43.已知r«)=(d/eT),则/(0)为(A）.（导数；易；2分钟）

A(1,0,1)B(-1,0,1)

C(0,1,1)D(1,0,-1)

44.已知r"）=Xr«）,4为常数,则r⑺为(C）.（导数；易；2分钟）

AAraBAaCeAfaDeAa

上述a为常向量.

45.已知r（x,y）=（x,y,孙），求dr（l,2）为（D）.（微分；较易；2分钟）

A(dx,dy,dx+2dy)B(dx+dydr-dy,。)

4第D£T一-----早-T*7-

46.圆柱螺线「=（以”/了!1/,/）切线与2轴（C）.（螺线、切向量、夹角；较易、2分钟）

A平行B垂直

TTrr

c有固定夹角工D有固定夹角工

43

47.设有平面曲线C:r=r（s）,s为自然参数,a,p是曲线基本向量.下列论述错误是（C）.

Aa为单位向量Ba±a

Cd=-/cpD0=-Kd

48.直线曲率为（B）.（曲率；易；2分钟）

A-1B0C1D2

49.关于平面曲线曲率C:r=r（s）不对的是（D）.（伏雷内公式；较易；2分钟）

AK（S）=风S）|BK(S)=|以s)|,(p为a(s)旋转角

CK($)=-a-BDK(S)=|『⑸I

50.对于平面曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”（D）.（曲率；易；2分钟）

A充分不必要条件B必要不充分条件

C既不充分也不必要条件D充要条件

51.下列阐述不对的是（D）.（基本向量；易；2分钟）

Aa,%Y均为单位向量Ba±p

CP±YDa//p

52.对于空间曲线c,“曲率为零”是“曲线是直线”（D）.（曲率；易；2分钟）

A充分不必要条件B必要不充分条件

C既不充分也不必要条件D充要条件

53.对于空间曲线C,“挠率为零”是“曲线是直线”（D）.（挠率：易；2分钟）

A充分不必要条件B必要不充分条件

C既不充分也不必要条件D充要条件

t71

54.x=Q«-sinf),y=a(l-cos/),z=4asin］在点，二万切线与z轴关系为(D).

A垂直B平行

7T

C成一角D成工角

34

第三章

222

55.椭球面与+2+」=1参数表达为（C）.（参数表达；易；2分钟）

a~b-c

A(x,y,z)=(cos^x)s@n，如)(pB(x,y,z)=(«cos^cos0,/?cos^sin0,sin(p)

C(x,y,z)=(acos℃os0,bcos(psinO.csin(p)D(x,y,z)=(acos^?cos0,bsin(pcos0.csin20)

222

56.如下为单叶双曲面：+方-1r=1参数表达是（D）.（参数表达；易：2分钟）

A(x,y,z)=(acosh质iny&osh«os,sinh)uB(x,y,z)=(coshacosv,coshwsinv,sinhw)

C(x,y,z)=(Qsinhucosv,bsinhusinv,ccoshu)D(x,y,z)=(Qcosh“coscosh"sinv,csinhw)

222

57.如下为双叶双曲面3+方-1r=T参数表达是（A）.（参数表达；易；2分钟）

A(x,y,z)=(tzsinh“QOSVZxinhsin,vcosh)uB(x,y,z)=(Qcoshucosv,Z?sinhusinv,ccosh〃)

C(x,y,z)=(acoshucosv,bcoshwsinv,csinhu)D(x,y,z)=(cosh〃cosv,cosh〃sinv,sinhu)

X2y2

58.如下为椭圆抛物面7+$=2z参数表达是（B）.（参数表达：易：2分钟）

A(x,y,z)=(wcosui/siny-4-B(x,y,z)=(ancosv,businv,

2

C(x,y,z)=(aucoshv,businhv,—)D(x,y9z)=(acosv,bsinv,v)

22

Xy

59.如下为双曲抛物面一T2z参数表达是（C）.（参数表达；易；2分钟）

a'

A(x,y,z)=(〃cosh%feinh«)B(x,y,z)=(coshu,sinhu,u)

C(x,y,z)=(a(u+v),h(u—v),2wv)D(x,y,z)=(au,hv,u—v)

60.曲面「（〃一）=（2〃—匕，，2+丫2,1/3一/）在点加（3,5,7）切平面方程为（8）.（切平面方程；易；2分钟）

A21x+3y—5z+20=0B18x+3y-4z-41=0

C7x+5y-6z-18=0D18x+5y-3z+16=0

61.球面r（〃,u）=（尺8$〃以）$匕7?8$〃$巾匕/?$111〃）第一基本形式为（D）.（第一基本形式；中；2分钟）

A/?2(dw24-sin2Av2)BR2(d/+cosh2r/dv2)

CR2(du2+sinh2udv2)DR2(du2+cos2wdv2)

62.正圆柱面r(“,y)=(Rcos%Rsinv,〃)第一基本形式为(C).(第一基本形式；中；2分钟)

Adu2+dv2Bdw2-dv2Cdu2+7?2dv2Ddu2-R2(iv2

63.在第一基本形式为I(d“,du)=d"2+sinh2“d/曲面上，方程为〃=W匕4v＜为)曲线段弧长为(B.)（弧长；中；

2分钟)

Acoshv2-coshv(Bsinhv2-sinh匕

Ccosh匕-coshv2Dsinhv,-sinhv2

64.设M为R'中2维正则曲面，则M参数曲线网为正交曲线网充要条件是(B).

A£=0BF=0CG=0DM=0

65.如下对的是(D).(魏因加尔吞变换；较易；2分钟)

Adn=W(dr)Bdn=W(dr.)

CdnH=W(drr)Ddn=-W(dr)

66.如下对的是(C).(魏因加尔吞变换；较易；2分钟)

AI(dr,W(8r))=-II(di;5r)BI(dr,W(5r))=-I(W(5r),dr)

CI(dr,W(8r))=I(W(dr),5r)DI(dr,W(5r))=11(W(dr),3r)

67.如下对的是(A).(魏因加尔吞变换；较易；2分钟)

AI(dr,W(&•))=W(dr,&)BI(dr,W(8r))=1I(W(dr),5r)

CI(dr,W(Sr))=-I(W(dr),5r)DII(dr,W(5r))=11(W(dr),8r)

68.高斯曲率为常数曲面叫（C）.（高斯曲率；易；2分钟）

A极小曲面B球面C常高斯曲率曲面D平面

第四章

B69.£g"g户=-------.（第一基本形式；易；2分钟）

iJ

A1B2C0D-1

B70.工gk4=——_.（第一基本形式；易；2分钟）

J

Ag©BgHCgkjDg-

A71.rj=.（克氏符号；较易：2分钟）

AZ/(翳+答-答B2疗(答一答一答)

i2ouJdudui2oududu

CZ次条+答+翳)DZ*莞一答+答)

i20〃0〃OLIj20〃OnGit

A72.曲面上直线(如果有话)测地曲率等于.

A0B1C2D3

B73.当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线测地曲率为.(刘维尔定理、测地曲率；中；4分钟)

AJainEB_L^nE

14Edu2y/Gdv

1SlnG1SinE

C----j=------D―j=------

2VEdv2VGdu

A74.如果测地线同步为渐进线，则它必为.(测地曲率、法曲率、曲率；中；2分钟)

A直线B平面曲线C抛物线D圆柱螺线

B75.在伪球面(K三-1)上，任何测地三角形内角之和.(高斯-波涅定理；中；4分钟)

A等于万B不大于万C不不大于；rD不能拟定

三、多选题

第一章

76.若£«)=(%(f),y,(f),z,C)),i=l,2,3为向量函数，则下列阐述对的是(AD).(导数;易；4分钟)

Ar；(f)=(X(f),y；«),z；(t))

Br；(f)=(x；(f),y⑺,Z]«))+(%⑺,x'(f),4(r))+(%Q),%”),z；(f))

CaCQ))，=(r：(f),r；(t),r；(f))

z

Da⑺,弓(f),r3(0)=(r：(f),三口),j⑺)+(r,(t),r；(f),q⑺)+(r,(t),r2(t),r；(f))

E(勺(。/2(力/3(。)'=(章力士⑺士⑺)

77.m,n为常向量，r(f)为向量函数，则下述对的是(ABC).(积分性质；中；4分钟)

bbbb

Ajm-r(/)df=m•Jr(z)drBjmxr(Z)d/=mxjr(r)d/

aa

hhbh

Cj(m,n,r(r))dr=(mxn)Jr(f)ckDj(m,n,r(z))dr=(m•n)ji•⑺由

bb

Ej(m,n,r(Z))dr=(mxn)xJr(r)dr

aa

第二章

78.下列曲线中为正则曲线有(ACDE)。(曲线概念：易；4分钟)

Ar(x)=(x,x3),xe(-oo,+oo)Br(x)=(x2,x3),xe(-oo,+oo)

Cr(x)=(x2,x3),xe(0,+co)Dr(%)=(cosx,x),xe(-oo,+oo)Er(x)=(x,x),xe(-1,2)

79.下列曲线中是正则曲线有(ABCDE),(曲线概念：易；4分钟)

Ar=(cosr,sin/,0，tG(-00,+00)

Br=(sin3z,3/,0),te(-oo,+oo)

Cr=(cosr,cos2r,sint),tG(-00,+oo)

Dr=(cosZ,1-cost-sint,-sint),tG(-00,+00)

Er=(2sin2r,2sin2rtanr,r),tG(-00,+oo)

80.下列式子对的是（ABCE）.（伏雷内公式：中：4分钟）

Ay=ax0By±a

Cp=-ka+ryDy±p

Ey〃».

第三章

81.曲面z=/+y3在点“（1,2,9）（AD）.（切平面、法线；中；4分钟）

A切平面方程为3x+12y—z—18=0

B切平面方程为3x+14y—z+8=0

…、，x—1y—3z—9

C法线方程为——=2-=——

312-1

D法线方程为土」=上2=三心

312-1

E法线方程为主1=）二=二

412-1

82.正螺面r=（〃cosR〃sinR4u）（AC）.（切平面、法线；中；4分钟）

A切平面方程为xasinu-yQcosu+z〃-a〃u=0

B切平面方程为wsin〃一yacos〃+zv-a〃u=0

C切平面方程为xasinu-yacosu—zv-auv=0

、「x-wcosvy-wsinvz-av

D法线方程为---------=2--------=------

asinu-tzcosvu

E法线方程为七上也=匕竺辿=三丝

asinu-acosuv

83.下列二次形式中，（ABD）不能作为曲面第一基本形式.（第一基本形式；易；4分钟）

AI(dw,dv)=dw2+4dwdv+dv2

BI(dw,dv)=dw2+4dwdv+4dv2

CI(dw,dv)=dw2-4dwdv+6dv2

DI(dw,dv)=du2+4di/dv-2dv2

EI(di/,dv)=du2+4dwdv+5dv2

84.普通螺面r（〃#）=（"cos匕〃sin匕/（〃）+〃口）第一类基本量是（BCD）.（第一基本量;;4分钟）

AE=l+（/（〃））2BE=l+（r（〃））2

CF=af'（u）DG=a2+u2

EG=a2—u2

85.下列曲面中，（BCD）是旋转常高斯曲率曲面.（常高斯曲率曲面；易；4分钟）

A正螺面B平面C球面D圆柱面E悬链面

第四章

ABC86.对于曲面上正交坐标网，测地曲率勺=（设曲线切方向与r“夹角为。）.

电一金c°s，+与sin。

A

ds2Ey/G2Gy/E

dd1ainEcos6+[HnGsin。

B

ds2-jG5V2jEdu

dO八.八

C——+K“COS0+KOsmj

ds8ugv

dO.八八

D——+K“Sin夕+K。cos夕

dsg"自

dO八.n

E——+K。COS夕一K。sin夕

dsg"g'

87.曲面上曲线是测地线充分必要条件是ABCD（测地线慨念；中；4分钟）

d2»+"黑震=°曲线

A满足方程

ds2

B满足勺=0曲线

C除了曲率为零点外，曲线主法线重叠于曲面法线

D满足K=0曲线

E满足勺=0曲线

四、论述题

第三章

88.曲面。［解］设G是初等区域，SUR3,如果存在一种持续一一映射r:GfR3使得r(G)=S,则称S是一张曲

面，而r=r(x)叫S参数表达.

89.坐标曲线。【解】曲面S:r=r(〃,),("#)eG,r(〃,%)像叫〃一曲线，r(人,v)像叫丫一曲线，〃一曲线和丫一曲

线都叫坐标曲线.

90.第一基本形式。【解】称二次型I(d",dv)=EdM2+2Riadu+Gdy2(其中E=r“-r“，F=r„rr,G=rv-r.)为

曲面第一基本形式.而E、F、G叫曲面第一类基本量.

91.内蕴量。【解】由曲面第一类基本量所决定量叫曲面内蕴量.

92.第二基本形式。【解】称二次型II(d“,dn)=Ld“2+2MdMdv+Nd/(其中L=r,“-n,M=r,(i,-n,N=rw-n)

为曲面第二基本形式.而L,M,N为曲面第二类基本量.

93.【解】若在P点有LN—"?>(),则称p点为曲面椭圆点.

94.法曲率。【解】给定曲面S上一点P处一种切向量(d)=d〃：du,则P点沿方向(d)法曲率定义为

K“(d)=II(dr,dr)/I(dr,dr).

95.主曲率。【解】使法曲率£,(d)达到极值方向叫曲面在该点主方向，而主方向法曲率叫该点主曲率.

96.高斯曲率。【解】曲面两个主曲率之积K=叫曲面高斯曲率.

97.极小曲面。【解】平均曲率〃=0曲面叫极小曲面.

五、计算题

第二章

98.求旋轮线工=。«一5山)丁=。(1一<：00/)04/42"一段弧长.(弧长；中；5分钟)

［解】旋轮线I•解=一sinr),tz(l-cos£))切向量为r'Q)=(a-acost.asint),则它0WY27r一段弧长为:

2乃2九,

5=j|rz(r)|dr=J0ajl-cosfdf=8a.

00

99.求曲线x=Fsinf,y=/cos，,z=/在原点切向量、主法向量、副法向量.（基本向量；中；10分钟

【解】由题意知r'⑴=(sinl+fcost,cost-tsin+以)，

r'(，)=(2cos，Tsin£,-2sinf—，cost,2el+fd),

在原点时有r'(0)=(0,l,l),r"(0)=(2,0,2)。

又

_匚(r；rV-(r；rV_r'xr〃

"同，Y-ir，xr，,r

因此有

100.圆柱螺线为r（，）=（acos，,Qsin/\Z?f）。（基本向量、曲率、挠率；中；15分钟）

①求基本向量a,0,y；

②求曲率K和挠率z；

【解】①由题意有

r'Q)=(-asint,acost.b),y"Q)=(一。cost,-asint.0),

rf(r',r')r〃—(r'・r〃)r'rxr"一

又由公式。=西平=1看不二|；

lrllrklrxrI广际i

a=/(一。sint,acost,b),

P=(一cost,-sinf,0),

y-.—(Z?sinz,-Z>cost,a).

yla2+b2

l^xrl(r'r"d)ab

②由普通参数曲率公式=及挠率公式「⑺=有K=7=一^

|rfl^xrfa2+h-a'+b2

第三章

101.求正螺面r3,v）=（"cosn,〃sinn,bv）切平面和法线方程.（切平面、法线：中；5分钟）

【解】r(/=(cosv,sinv,0),rv=(-usinv,wcosv,Z7),切平面方程为

x-ucosvy-usinvz-bv

COSVsinv0=0=>bsinv-x-bcosu-y+uz—huv-0,

-wsinv〃cosub

法线方程为七3=匕也z-bv

u

102.求球面r(0,。)=(4cos0cosaacos°sin&4sino)上任一点处切平面与法线方程.

【解】

%=(一。sin夕cos仇-asin(psin0.acoscp),

%-(-acos0sin仇Qcoscpcos仇0),

%e2e3

%xr。=-asin8cos。一asinesin。acos(p

一〃cosesin。acos(pcos00

=a2cos夕(一cos(pcos0,-cosesin一sin°)

二•球面上任意点切平面方程为

(x-acos(pcosO.y-acos*sin8,z-asincp)

•ercose(一cos(pcos-cos(psin。，-sin0)=0,

即cos8cos(p-x+cos°sin6•y+sin0•z—a=0,

法线方程为

(x-acos(pcos0,y-acosesin9,z—asin(p)

=A-a2cos火一cos℃os&-cos°sin8,-sin(/)),

x-acos(pcos0y-acos(psinO_z—asin(p

B|J--------------

COS。COS。cos°singsin。

103.求旋转抛物面Z=a(f+y2)第一基本形式.(第一基本形式：中：5分钟)

【解】参数表达为r(x,y)=(x,y,a(x2+y2)),

rv=(1,0,2ax),rv=(0,1,2ay),

222

E=rv-rv=1+4ax,F=rv-rv=4axy,

G=rv-rv=l+4a2y2,

I(dx,dy)=(l+46z2x2)dr2+8tz2A>,dxd^+(l+46t2>,2)dy2.

104.求正螺面r(〃#)=(“cos匕“sin匕bu)第一基本形式.(第一基本形式；中；5分钟)

【解】rlt=(cosv,sinv,0),rv,=(-usinv,wcosv,h),

22

E=ru-rlt=1,F=rw-rv.=0,G=rv-rv=w+/?,

I（dw,dv）=du2+（〃2+Z?2）dv2.

105.计算正螺面「（〃,口）=（〃以）5%〃$后匕历0第一、第二基本量.（第一基本形式、第二基本形式：中；15分钟）

【解】rlt=(cosv,sinv,0),rv=(-wsinv,ucosv,b),

rMM=(0,0,0),rMl,=(-sinv,cosv,0)，rvv=(-wcosv,-usinv,0),

rMxrv=cosvsinv0=(Z?sinv,-/7cosv,w),

-usinv4cosyb

ruxrv._(/?sinv,-bcosv,w)

n|r„Xr,l扬+“2

22

E=rur„=1,F=r“-r„=0,G=rv-rv=u+b,

b

L=r““-n=0,M=r„v-n=--==,N=r”「n=0・

y/h-+u

106.计算抛物面z=Y+y2高斯曲率和平均曲率.（高斯曲率、平均曲率；中；15分钟）

【解】设抛物面参数表达为r（x,y）=Q,y,f+产）,则

rx=(1,0,2x),rv=(0,1,2y),

=(0,。,2),r,w=r、*=(0,0,0)>r”,=(0,0,2),

ijk

rvxrv=102x=(-2x,-2j,l),

012y

n=r、.xr,.£2x,—2y,l)

Ijxr"，4/+4:/+1'

2「2

E=rvrx-1+4x,F=rry-4xy,G-rv-rv=1+4y,

2

L=r」n=,,M=rvy-n=0,

y]4x+4y-+1

、,

N=rn=.2——>

74/+4/+1

2242——0

“LN-M24X2+4^2+14

K------------2---------------------------------=------2-------------2-j

EG-F(1+4/)(1+4/)_(4孙)2(4%+4/+I)'

„1GL-2FM+EN4x2+4v2+2

H——-------------------------------.

2EG-F2〃2/2

(4x2+4y2+l)2

107.计算正螺面r(〃,u)=(〃cosu,〃sin匕〃v)高斯曲率(高斯曲率;中；15分钟)

【解】直接计算知

E=1,F=07G=ir-\-cr,L=0M=-.a,N=0,

y/u2+a2

“LN-M2a2

*K=--------=----------

-EG-F2(u2+a2)2,

第四章

108.求位于正螺面X=MCOSV,y=“sinn,z=4丫上圆柱螺线1=%85%,=〃(用11丫,2=av(“0=常数)测地曲率.(测

地曲率、刘维尔定理；中：15分)

【解】由于正螺面第一基本形式为I=d〃2+(“2+4)du2,螺旋线是正螺面V-曲线M=〃o,由。=工得㈣=0.由正

2ds

交网坐标曲线测地曲率得

K=G“_=__

22

82G4EM0+a■

六、证明题

第二章

109.证明曲线r=(dcos，,dsinr,())切向量与曲线位置向量成定角.(切向量、夹角；较易；5分钟)

【证】对曲线上任意一点，曲线位置向量为r=(dcos，,dsin1,0),该点切线切向量为：

r'=(d(cos/-sinf),d(sint+cosf),0),则有：

rfe21V2

|r||rr|2

TT

故夹角为工。由所取点任意性可知，该曲线与曲线切向量成定角.

4

110.证明：若r'和r"对一切r线性有关，则曲线是直线.(曲率；中；10分钟)

【证明】若I''和r"对一切线性有关，则存在恒不同步为0/0),g(f)使

/(f)r'(f)+g(f)r"(f)=O。

则r'(f)xr"(t)=0Vfo

k'xr"|

又K(7)=二一，故左(f)=OVf。于是该曲线是直线.

111.证明圆柱螺线1=。(：05人丁=。5皿人2=初主法线和2轴垂直相交.(主法线、夹角：中：10分钟)

【证明】由题意有

r'Q)=(-asint,acost,b),rw(f)=(-acost,-asint,0)。

由0=T'；7；।二""’知1=(一cos一sint,0)。另一方面z轴方向向量为a=(0,0,l),而af=°，故2_10，

|r|-|rxr|

即主法线与z轴垂直.

112.证明曲线x=asin",y=asinfcos^z=acos/所有法平面皆通过坐标原点.(法平面；较易：5分钟)

【证明】由题意可得r'Q)=(qsin2，,4cos2，,-asin，)，则任意点法平面为

2

asin2r0(x-6zsin+acos2t0(y-asmt0cost0)-asint0(z-acosr0)=0将点(0,0,0)代入上述方程有

左边

二々sin2"(()-々sin?Zo)+6fcos2z()(0-tzsinr()cos%)-asin，()(()一〃cos%)=0=右边，故结论成立.

113.证明曲线犬=三,丁=」="=」一为平面曲线，并建立曲线所在平面方程。(挠率；中；10分钟)

1-t1-产i+r

【证明】设A上吆+8」方+C—匚+。=0,整顿比较两边同次项可得

1-z1-r\+t

A—D=0,2A—C=0,A+B+C+D=0,

则有A=D,B=-4O,C=2。，即曲线为直线，且有x-4y+2z+l=0.

第三章

114.求证正螺面上坐标曲线(即〃-曲线族丫-曲线族)互相垂直.(坐标曲线、夹角；5分钟)

【证明】设正螺面参数表达是r(”#)=(“cos%asinv,M0，则

r“=(cosv,sinv,0),rv=(-wsinV,MCOSv,b),

=r(/•rv=(cosv,sinv,0)•(-»sinv,ucosu,b)=0,

故正螺面上坐标曲线互相垂直.

115.证明马鞍面2=盯上所有点都是双曲点.(点分类、第二基本量；中；15分钟)

【证明】参数表达为r(x,y)=(x,y,xy),则

r、.=(l,0,y),rv=(0,l,x),j=(0,0,0),%=(0,0,1),r„,=(0,0,0),

rvxr,_(-y,-x,v)

r*xr

vIjxr"7x2+/+l

L=%.n=0,M=%,n=，，N=%.n=°,

+y+1

1i

・•.LN-M92=OXO---~~--=一--~~--<0,

厂+y+1x+y+1

故马鞍面z=xy上所有点都是双曲点.

116.如果曲面上某点第一与第二基本形式成比例，即U（d“,du）与方向无关,则称该点是曲面脐点；如果曲面上所有

I（dw,dv）

点都是脐点，则称曲面是全脐.试证球面是全脐.（脐点：难；15分钟）

【证明】设球面参数表达为

r(w,v)=(/?cosvcosw,/?cosvsinu./?sinv),贝！J

rM=(-/?cosvsinw,/?cosvcosw,0),

rv=(一Rsinvcosw,-/?sinvsinw,/?cosv),

ruu=(-/?cosvcosu,-Rcosvsinw,0),

ruv=rVM=(/?sinvsinw,-/?sinvcosw,0),

rvv=(-/?cosvcosw,-/?cosvsinw,-/?sinv),

222

E=rltru=Rcosv,F=•r、,=0,G=rv-rv=7?,

L=(尸「，£,“)=—RCOS2C,M='工、-)=o,

y/EG-F2y/EG-F2

N==-R,

[EG-F2

:.(L,M,N)=—L(E,F,G),故球面是全脐.

R

117.证明平面是全脐.(脐点；易；5分钟)

【证明】设平面参数表达为r(x,y)=(x,y,0),则

勺=(1,0,0),rv=(0,1,0),

4=(0,0,0),r=(0,0,0),r»=(0,0,0),

E=rA-rA.=1,F=rx-ry=0,G=rv.rv=1,

L=r3•n=0,A/=r•n=0,N=%,•n=0

,YL,M,N)=0(E,F,G),故平面是全脐.

118.设有曲面z=/(x,y),试证曲面第二基本形式与函数/(x,y)二阶微提成比例.(第二基本形式；较难；10分钟)

【证明】设曲面z=/(x,y)参数表达为r(x,y)=(x,y,/(x,y)),则

勺=。，0,力)，rv=(0,l"：),J=(0,0©,%=(0,0,鬼),r»=(0,0,&),

rrxr,_(一《,一f；,D

10止(5-AD，n=

Kxr"1

01f；

L=&M=r„-n=

一西十"''"f+V+l

A；

N=r»/n=

+尸+1'

1

II