梅涅劳斯定理和塞瓦定理.讲义学生版

梅涅劳斯定理和塞瓦定理.讲义学生版

梅涅劳斯定理和塞瓦定理中考要求学生掌握比例及平行线分线段成比例定理的内容以及其推论，并能够应用这些定理解决相似的问题。一、比例的基本性质比例的基本性质包括七个方面，其中最重要的是反比定理和更比定理。二、平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理是指在平行线l1、l2、l3上取点A、B、C、D、E、F，若AB∥DE∥CF，则有AB/DE=AC/DF=BC/EF。三、梅涅劳斯定理梅涅劳斯定理是平面几何中的一个重要定理，它指出在三角形ABC的三条边上取点X、Y、Z，若它们共线，则有CX/CB×BA/AF×FY/YC=1。四、塞瓦定理塞瓦定理是梅涅劳斯定理的推广，它适用于四边形的情形。在四边形ABCD中，若点E、F、G分别在AB、BC、CD上，点H、I、J分别在AD、DC、CB上，则有EH/HA×AF/FB×BG/GC×CI/ID×DH/HC×CB/BJ=1。以上定理都是解决相似问题的重要工具，掌握它们对于中考数学考试来说是非常重要的。若三点X、Y、Z共线，则它们满足梅涅劳斯定理中的条件，即在三角形中，任意三条割线的交点共线。例如在三角形XBZ和三角形AYC中，它们的交点为点C和点X，因此满足梅涅劳斯定理中的条件。我们可以通过连接直线XZ和线段AC的交点Y'来证明必要性，因为根据已证必要性得：$\frac{XB}{ZA}\cdot\frac{AY'}{Y'C}=1$，又因为$\frac{XB}{ZA}\cdot\frac{AY}{YC}=1$，所以$\frac{AY}{YC}=\frac{AY'}{Y'C}$，因此点Y和点Y'要么在线段AC上，要么在其延长线上，并且它们能分得比值相等，所以点Y和点Y'重合为一点，即X、Y、Z三点共线。塞瓦定理是指从三角形的每个顶点出发作一条塞瓦线，如果这些塞瓦线共点，则它们满足条件$\frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ}{BZ}=1$。我们可以先证明充分性命题，即如果三条塞瓦线AX、BY、CZ共点，则它们满足条件$\frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ}{BZ}=1$。假设CZ与BY相交于点P，过点A作BC边的平行线，分别交BY、CZ的延长线于点B'和点C'，则根据平行截割定理，有$\frac{BX}{AB'}=\frac{XC}{C'Z}$，$\frac{CY}{BC'}=\frac{YA}{A'Z}$，$\frac{AZ}{AC'}=\frac{BZ}{B'C}$。将它们相乘得到$\frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ}{BZ}=1$，因此满足条件。再证明必要性命题，即如果三条塞瓦线AX、BY、CZ满足条件$\frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ}{BZ}=1$，则它们共点。假设AX与BY相交于点P，连接CP交AB于点Z'，则CZ'也是一条过点P的塞瓦线。根据已证充分性命题，有$\frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ'}{BZ'}=1$，因为$\frac{AZ}{BZ}=\frac{AZ'}{BZ'}$，所以点Z'和点Z重合，从而CZ'和CZ重合，因此AX、BY、CZ共点。【例5】证明△ABC的三条中线AX，BY，CZ共点。【例6】证明△ABC的三条内角平分线AX，BY，CZ共点。【例7】证明锐角△ABC的三角高线AX，BY，CZ共点。【例8】在锐角三角形△ABC中，设AD是BC边上的高线，H是线段AD内任一点，BH和CH的延长线分别交AC、AB于E、F，证明∠EDH=∠FDH。【巩固】在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G，证明∠GAC=∠EAC。作业题：1.在△ABC中，三个小三角形的面积分别为40，35，30，求△ABC的面积。2.在△ABC中，设M为内部一点，BM与AC交于E，CM与AM交于F，若AM通过