2020-2021年高考调研数学试题

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高考调研考试

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷的指定位置上.

2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡指定位置

上。写在本试卷上无效.

3.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7},集合M={xlxe3且x任A},贝！=

A.{1,2}B.{3,4}C.{5,6,7}D.{3,4,5,6,7)

2.在复平面内，复数上更对应的点与复数T对应的点的距离是

1-z

A.1B.6C.2D.25

3.设向量。=(-1,2),向量。是与a方向相同的单位向量，则办=

A.(1,-2)B.(一咚,亭)C,(4，|)D.哼一萼)

4.己―2x)6的展开式中的常数项是

x

A.-160B.-80C.80D.160

5.苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑,“门”的造型是东方之门的

立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1,两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接,

在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户,两窗户的水平距离为30m,如图2,则此抛物线顶

端。到连桥A3距离为

图1图2

A.180/T?B.200mC.220加D.240加

7.点A,B,C在球。表面上，A52,BC

为2应，则该球的表面积为二

A.16KB.24KC.36兀D.48K

8.已知数列｛a｝满足。Tog(〃+2)(〃GN*),设T=aa。(左eN*),若TN\称数人为“企

nnk12kk

盼数”，则区间［1,2020］内所有的企盼数的和为

A.2022B.2026C.2044D.2048

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数越小，表明空气质量越好，表1是空

气质量指数与空气质量的对应关系，图1是经整理后的某市2022年2月与2022年2月的空气

质量指数频率分布直方图

表1

空气质量指数(AQI)

优(AQI450)

良(50<AQIW100)

轻度污染(100<AQI4150)

中度污染(150<AQI4200)

重度污染(200<AQI4300)

严重污染(AQI>300)

下列叙述正确的是

A.该市2022年2月份的空气质量为优的天数的频率为0.032

B.该市2022年2月份的空气质量整体上优于2022年2月份的空气质量

C.该市2022年2月份空气质量指数的中位数小于2022年2月份空气质量指数的中位数

D.该市2022年2月份空气质量指数的方差大于2022年2月份空气质量指数的方差

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10.设有一组圆C：（x-Z+l）2+（y-22）2=1,下列说法正确的是

A.这组圆的半径均为1

B.直线2x-y+2=0平分所有的圆C

k

C.存在无穷多条直线/被所有的圆C截得的弦长相等

k

D.存在一个圆C与x轴和y轴均相切

k

11.如右图，正方体A8C3-A8CO的棱长为1,过点A作平面4的垂

11111

线，垂足为点”.则以下命题正确的是

A.点”是△A3。的重心B.A”_L平面C8D

1I1

C.AH延长线经过点CD.直线A4和38所成角为45

II

12.“已知函数/（X）=X2-COSX，对于［-■—9上的任意X9X9若_______,则必有/（X）>f（X）怛

2212।2

成立在横线中填上下列选项中的某个条件，使得上述说法正确的可以是

X

A.\X\>XB.X+X>0C.X2>X2D.—4->1

12I2I2X

2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.2022年初，新冠肺炎疫情爆发，全国人民万众一心，共同抗击疫情.武汉市某医院传染科有

甲、乙、丙、丁、戊五位医生，每位医生从周一至周五轮流安排一个夜班.若丁比乙晚两天，

丙比甲早一天，戊比丙早两天，则周一值夜班的医生是________.

4

14.已知（一，）,且sin则tan（—）的值为

15.如图，从双曲线2-上=1的左焦点尸引圆x2+y2=9的切线，切点为T,延长尸T交双曲

916।।

线右支于P点.设M为线段勺尸的中点，。为坐标原点，则I?I

\M0\\MT\.（本题第一空2分，第二空3分）一

16.拥有“千古第一才女”之称的宋代女词人李清照发明了古代非常流行的游戏“打马”，在她的《打

马赋》中写道“实博弈之上流，乃闺房之雅戏”.“打马”游戏用每轮抛掷三枚完全相同的骰子

决定''马”的行走规则，每一个抛掷结果都有对应走法的名称，如结果由两个2点和一个3点

组成，叫做“夹七”，结果由两个2点和一个4点组成，叫做“夹八”.则在某一轮中，能够抛

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出“夹七”或“夹八”走法的概率是

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)

从①a6，②b2,③cosB上.这三个条件中任选两个，分别补充在下面问题的横线中,

14

回答有关问题.设入A8C的角A、8、C所对的边长分别是八b、c,若，

且满足(2bc)cosAacosC,求△ABC其余各边的长度和△A8C的面积5.

(注：如桌选择不目条件分别解答，按第一个解答计分.)

18.(12分)

已知数列｛a｝的首项a1,且点)(nN*)在函数》=心+1的图象上.

nIwn+1

(I)求数列｛a｝的通顼公式；

n

(II)若数列｛。｝满足b1,b=b+2“”，证明：bb<b2.

n1〃+1nn〃+2

19.（12分）

如图，四棱锥SABCD满足SA।平面ABCD,底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O,

SAAB4,侧棱SC上有一点E满足SE3EC.

(f)证■明：OE।平面SD8;-

(H)求二面角EBDC的余弦值.

20.(12分)

已知椭圆C：—\(ab0)的其中一个焦点与抛物线尹-83的焦点相同，点0(4,3)到

G+"=>>

圆0：》2+户=4上点的最大距离为7,点A,B分别是椭圆C的左右顶点.

(I)求圆。和椭圆C的方程；

(H)如图，已知位于y轴两侧的P,。分别是椭圆C和圆。上的动点，且直线产。与x轴平行,

直线AP,8P分别与y轴交于点M,N,证明：/MQV为定值.

21.(12分)

零部件生产水平，是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一.其中切割加工技术是一项

重要技术.某研究机构自主研发了一种切割设备，经过长期生产经验，可以认为设备正常状态下

切割的零件尺寸服从正态分布N(,2).按照技术标准要求，从该设备切割的一个批次零件中任

意抽取10件作为样本，如果样机分的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值小于0.1(单位：

mm),且所有零件尺寸均在(3,3)范围内，则认定该切割设备的技术标准为A级；如

果样本尺寸的平均值与零件痂卢才精却绝对值大于等于0.1小于0.5,且所有零件尺寸均在

(3,3)范围内，则认定该切割设备的技术标准为B级；如果样本尺寸的平均值与零件

麻思褊案薪绝对值大于等于0.5或存在零件尺寸在(3,3)范围外，则认定该切割设

备的技术标准为C级.

(I)设某零件的标准尺寸为100mm,下面是检验员抽取该设备切割的10个零件尺寸：

100.03100.499.92100.5299.98

100.3599.92100.44100.66100.78

经计算，有士耳100601.8,其中「为抽取的第，个样本的尺寸，i1,2,3,,10,用样

本的平均数?作畲〃的估计值,,用样本的标准差s作为b的估计值,,根据数据判断

该切割设备的技术标准；"。...

(II)生产该种零件的某制造商购买了该切割设备，正常投入生产，公司制定了两种销售方案

(假设每种方案对销售量没有影响)：

方案1：每个零件均按70元定价销售；

方案2：若零件的实际尺寸在(99.7,100.3)范围内，则该零件为I级零件，每个零

件定价100元，否则为H级零件，每个零件定价60元.

哪种销售方案能够给公司带来更多的利润？请说明.

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(附：若随机变量X〜N(,2),则P(X)0.6826,

ucru~(y<<〃+cr=

P(2X2)0.9544)

厂o<<〃+<y=

22.(12分)

已知函数/(x)=〃?lnx.

(I)当加=2coskn(kGN*),分析函数g(x)=此一f(x)的单调性;