2021年专升本高等数学公式全集

专升本高等数学公式(全)常数项级数：等比数列A+c/+q2+…+ =口11一9等差数列1+2+3+…+料=("+1加2调和级数』+]+；丄是发散的23 n级数审敛法:1、正项级数的审敛 根植审敛法(柯西为别法):上<1时，级数收敛设：°=辄皿贝ijJp>ml,级数发散p=1时，不确定2、 比值审敛法：|><1时，级数收敛设：贝Ijjp>in寸，级数发散"TOOU91 p=1H寸>不确定3、 定义法：»=//,+“2+•…+"jlim»存在，则收敛：否则易枚。交错级麴“-“2+心-”4+••(或-+“2一均+…上/!>0)的审敛法 莱布尼兹定理:U„>U...如果交错级数满足^爲；0'那么级数收敛且其和5,其余项渊绝对值Jl-Wn绝对收敛与条件收敛:⑴％+”2+…+"”+…，其中"“为任意实数；(2)|州+|“2|+附+…+|"”|+…如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝対I攵敛级数;如果(2)发散，而(1)收敛，贝IJ称(1)为条件收敛级数。调和级数込+发散，而为字收敛:级数艺十收敛:/p<l时发散>1时收敛祸级数:,I ” /\x\<1时，收敛， 1+X+JC+JT+…+X+…I11 1-X\|x|>1时，发散对丁•级数(3)q)+atx+a2x2+■•■+anxn+…，如果它不是仅在原点I攵敛，也不是在全/|x|<R时收敛数轴上都收敛，则必冇在尺，使I|a-|>R时发散，其中尺称为收敛半径。\卜|=尺时不定/pHOH寸，R=丄求收敛半径的方法：设加|=°其中坷，是(3)的系数，则(；p=0H寸，R=+oo”T爲1 \p=+8时，R=o函数展开成幕级数：函数展开成泰勒级数：f(x)=f(x0)(x-x0)+^^°\x-x0)2+…+_(x-xj+…TOC\o"1-5"\h\z2! n\£(n+l)/>x余项：R”=一 (x-xor\/(x)可以展开成泰勒级数航要条件是dim亿=0(/?+!)! 心00心=011寸即为麦克劳林公式：.f(X)=f(0)+.厂(0)x+ +…+/1丫))対+…2! 77!某些函数展开成胳级数：八、卿, ni(m—1) ■> 加("2-1)…(“2—刃+1).. 彳■(l+x)m=\+mx+ JT+…+ +… (一1vxvl)2!/?!V3*5 r2n-lsinx=x--—+— +(一1)"7— +…(-covxv+8)3! 5! (2,?-!)!可降阶高阶微分方程类型一:y(,,)=fM解法(多次积分法)：令"=厂"=>半=/(x)=>多次积分求/(x)dx类型二：y"=/(x,y')解法：令“=y1=>—=f(x.p)=>—阶微分方程dx类型三：y"=/(y,y‘)解法：令卩=)』=>字=字斗=卩半■n/()，,〃)=>类型二dxdydxay类型四:y+pWy=Q(x)若Q(X)等于0,则通解为y= (一阶齐次线性)。若不等于0,通解)—0)[问)严％+彳(一阶齐次非线性)。一阶齐次非线性方程通解是相应齐次方程通解与它一种特解之和。三、线性微分方程类型一：y"+P(x)y4Q(x)y=0(二阶线性齐次微分方程)解法:找出方程两个任意线性不有关特解：”⑴宀⑴则:yM=C]y](x)+c2y2(x)类型二：y*'+P(x)y'+Q(x)y=/(x)(二阶线性非齐次微分方程)解法：先找出相应齐次微分方程通解：y3(x)=^yM+c2y2(x)再找出非齐次方程任意特解儿⑴，则:yM=儿(x)+cj(x)+C2y2(x)类型三〉，"+/少+§=0(二阶线性常系数齐次微分方程)解法(特性方程法):T+p几+q=0亠入.严一卩±3一側2()△=p2_4@>0=>AHA2=>y=q/y+c2e^x(二)A=O=>/11=/^=A=>y=(c{+c^x)e/x(三)△<()=>&=a+ip.An=a-ip=>y=eax(qcosfix+c2sinJ3x)导数公式:(log3=(log3=1xlna(tgx)f=sec2x(ctgxY=-esc1x(secxY=secxtgx(cscx)"=-cscx・clgx(ax)f=ax\na(arcsinx/=，,x/l-x2(arccosv)1=_,〔=\/l-X2(arctgxY=—1+2(arcctgxY=-—^1+2基本积分表:Jfgxdx=-In|cosx|+CJctgxdx=hi|sinx\+CJsecxdx=In|secx+ +CJcscxdx=In|cscx-ctgx\+CI Xc=—urctg—+vh=+Cx+aInf——=[sec2xdx=tgx+CJcos*x」[=[esc2xdx=-ctgx+CJsi”xJJsecx・tgxdx=secx+C|esex・e/gM:=-cscx+C^shxdx=chx+CIchxdx=shx+Ca-x=arcsin—+Cln(x+>Jx2±a=arcsin—+Cln(x+>Jx2±a2)+C■ M■ MItl=Jsin"xdx=Jcos"xdx=0 0口/1n-2n 2 Jyjx2+a2dx=扌\lx2+a2+牛In(x+yjx2+a2)+C 2 fy)x2-erdx=—\lx2-a2-—Inx+y/x2-a2+CJ 2 2 2|^a~-x2dx=扌\/a2-x2+牛arcsin—+C三角函数有理式积分:某些初等函数: 两个迂要极限:某些初等函数: 两个迂要极限:2•2•和差角公式: •和差化积公式:lini-——-=1lim(1+丄T=0=2.718281828459045...lini-——-=1lim(1+丄T=0=2.718281828459045...2双曲余弦:d+八2双曲正切:〃X=—=chxex+e'arshx=ln(x+J”+1)archx=±ln(x+ylx2一1)arthx=—In2sin(a±0)=sinacos0土cosasin0cos(tz±/7)=cosacos/7+sincrsin卩fg(a±0)=sin(a±0)=sinacos0土cosasin0cos(tz±/7)=cosacos/7+sincrsin卩fg(a±0)=tga土tg卩世g±0)=込込1ctg0土cfgaa+Ba_卩sin<z+sinP=2sin cos 2 2sintz-sin0=2cos^—^sin—―—2 2cca+pa-pCOS6Z+COS0=2cos—cos—^―nc.a+卩.a_卩cosa-cos0=2sin—sin•倍角公式:sin2a=2sintzcos(zcos2a=2cos2a-1=l-2sin2•倍角公式:sin2a=2sintzcos(zcos2a=2cos2a-1=l-2sin2a=cos'a—sin'sin3a=3sina-4sin3a驱2a=空◎2ctgatg2a=2甞l—fgycos3a=4cos*a-3cosal-3/g\z•半角公式:.a,|l-cosasin—=±.| 2\2atl-cosa1-cosasine?

fg—=± = = '2 \1+cosasine? 1+cosa•正弦定理:u_b

sinAsiiiB =2RsinCa,/1+cosacos—=±' 2V2a,|l+cosa1+cosa sinaetg—=±； = = 2 \1-cosasinal-cosa•余弦定理：c2=a2+b2-2ahcosC7Taretgx=—-arcctgx•反三角函数性质：arcsin.v=—-arccosx2中值定理与导数应用:拉格朗日中值定理：/(/?)-/(a)=f《)(b-a)柯西中值定理、当F(x)=x时，柯西中值定理就超立格朗日中值定理＜：空间解析几何和向■代数空间2点的距离：空间2点的距离：d=|A/.M2|=yj(x2-xl)2+(y2-yi)2+(z2-zi)2Prj；(%+a2)=Prjax+Prja2(i-b=^i\-bcos0=axhx+a、.b、.+«./?.,是一个数量，—亠l亠——亠宀 "r*+a、"+a.b.两向量之间的夹角cos8=t1Ai j k -c=axb=axaya.,|c|=|«|-|/?|sin0.例：线速度：v=wxr.bxb、bz向量的混合积[ahc]=(axb)-c=bxC向量的混合积[ahc]=(axb)-c=bxCx代表平行六面体的体积byb：=〃xZ?|・|可cosa,a为锐角时,平面的方程：1、 点法式：A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo)=O,其中n={A,B,C},M0(x0,^0,z0)2、 一般方程：Ax+By+Cz+D=O3、 截距世方程^+^-+-=1abc平面外任意一点到该畅的距离：〃」込「也+込岀y]A2+B2+C2x=x()+mt空间直线的方程= = =其中“伽”〃}渗数方程』)，=儿+加mnpZ=ZQ+pt二次曲面：1、 椭球面:二r+—+d=lab"c・2、 抛物面:二+2i=z,(/“同号)2p2q3、 双曲面：单叶双曲面4+4-^=iXL双叶双曲面4-4+^=i(马鞍面)trlrl多元函数微分法及应用全微分：⑴更如更dy 血=翌如殂心+理衣dxdyr dxdy'oz全微分的近似计算:=fx(x,y)Ax+/v(x,y)Ay多元复合函数的求导法dzdzdud乙dvz=/[“(/)*("] = • — • dtdudtdvdtz=/[“(/)*("]dz.dzdudzdv—=—•—+—•—dxdudxdvdx当u=r(x,y),v=v(x,y)时,dv^dv^dx+^dydxdyau=——ax+—dydx dyr隐函数的求导公式：隐函数F(x,y)=0,d勿空=_工心隐函数F(x,y)=0,d勿空=_工心=2dxF「dx1dxdydx隐函数F(x,”z)=0,dz_Fx 空=_冬dx F: dyF:微分法在几何上应用:x=(p(t)空间曲线尸刃)在点M(x°,儿,z°)处的切线方程¥1=与也=二三=如) 0仇)0仏)血仏)在点M处的法平面方程:必0)(兀-Xo)+ )(y->'<))+e'(G)(Z-Zo)=0Fg,z)=0,则切向量亍={G(x,”z)=0Fg,z)=0,则切向量亍={G(x,”z)=0曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,>'o，%)，贝9：1、 过此点的法向量"={行(心九也0)£(心治％),巴(心治20)}2、 过此点的切平面方程Fr(xo,yo,zo)(x-xo)+F/xo,yo,zo)(y-yo)+f；(xo,yo,zo)(z-zo)=O尤一不)_ _z-Zu若空间曲线方程为,FyF；G、GJ©3、过此点的法线方程，£((珀)」0,5)Fy(-^Q»Vq,z0)F.(a0,儿,Z(j)方向导数与梯度：函数z=/(X,y)在一点p(x,y)沿任一方向/的方向导数为E=—cos(p+—sin(pdlox 6其中0为X轴到方向/的转角。函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gracV'(^y)=—^+―7oxdy它与方向导数的关系是—=grad/(x,y)e9其中e=cos<pi+sin^-J,为/方向上的dl单位向量。•••卑是gradf(x,y)在/上的投影。ol多元函数极值及其求法：歎（心儿）=力（Xo，y°）=O,令：人（SXJ=A,几％yJ=B,fyy（xQ9y0）=CABAB2-ACAA贝ij』B2-AC>0lM,<0,(x()Oo)为极大值>o,(mj为极小值无极值g2-AC=（M,柱面坐标和球面坐标:曲线积分:

第一类曲线积分(对弧长的曲线积分):特殊情况!X=t卜=0