2021年北京各区中考一模分类汇编-18几何综合

初三一模几何综合分类整理

共5题(典型、倍长、标记猜、截长补短、无度数自己构造)

1.(2021•朝阳一模)如图，在等腰三角形ABC中，ZBAC<60°,AB=AC,D为BC

边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60。得到线段AE,连接8E交AD于点F。

(1)依题意补全图形；

(2)求NAFE的度数；

(3)用等式表示线段AF,BF,EF之间的数量关系，并证明。

2.(2021•通州一模)已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°,得

到线段AC；再将线段6尸终点8逆时针旋转120°,得到线段80；连接AD,取AD中点

M,连接

(1)如图L当点P在线段CM上时，求证：PM//BD-,

(2)如图2,当点P不在线段CM上，写出线段9与CM的数量关系与位置关系，并

证明.

3.（2021•燕山一模）如图，在正方形ABC。中，CD=3,P是CO边上一动点（不与。点

重合），连接AP,点。于点E关于AP所在的直线对称，连接AE,PE,延长CB到点R

使得BF=DP,连接EF,AFo

（1）依题意补全图形1;

（2）若。P=l,求线段EF的长；

（3）当点P在边上运动时，能使尸为等腰三角形，直接写出此时的面积。

图1

4.(2021•石景山一模)在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a(0°<a<90),点E是AABC

内一动点，连接AE,CE,将aAEC绕点A顺时针旋转a,使AC边与AB重合，得到

延长CE与射线BO交于点M（点M与点。不重合）。

（1）依题意补全图形1;

（2）探究ZADM与ZAEM的数量关系为；

（3）如图2,若。E平分/AO8,用等式表示线段MC,AE,之间的数量关系，并证明。

B

5.(2021•大兴一模)如图，等边△A8C中，点P是BC边上的一点，作点C关于直线AP

的对称点D，连接CD,BD,作AE_L8D于点£。

(1)若N%C=1O°,依题意补全图形1,并直接写出/BCD的度数；

(2)如图2,若NFAC=a((T<a<30),

求证：ZBCD=ZBAE-,

用等式表示线段BD,CD,AE之间的线段关系并加以证明.

★K字图共2题

6.(2021•延庆一模)在正方形ABCD中，点E在射线8c上(不与点8、C重合)，连接OB,

DE,将£>£绕点E逆时针旋转90。得到EF,连接BF.

(1)如图1,点E在BC边上.

①依题意补全图1;

②若AB=6,EC=2,求8尸的长；

(2)如图2,点E在8c边的延长线上，用等式表示线段3。，BE,8尸之间的数量关

系，并证明.

7.（2021•房山一模）已知：在△ABC中，NA=45°,ZABC=a,以BC为斜边作等腰

RtZ\BDC,使得A,。两点在直线BC的同侧，过点。作DELAB于点E。

（1）如图1,当1=20。时，

求/CDE的度数；

判断线段AE与BE的数量关系；

（2）若45°<a<90,线段AE与BE的数量关系是否保持不变？依题意补全图2,并证明。

★角含半角共1题

8.（2021•丰台一模）如图，在△ABC中，NAC8=90'，CA=CB,点P在线段AB上，

作射线CP（00<ZACP<45°）,将射线CP绕点C逆时针旋转45°,得到射线CQ,过

点A作AOLCP于点。，交CQ于点E,连接8E.

（1）依题意补全图形；

（2）用等式表示线段AO,DE,BE之间的数量关系，并证明.

AB

9.(2021•门头沟一模)在正方形A8CD中，将边AD绕点A逆时针旋转。(0。<。<90°)

得到线段AE，AE与C。延长线相交于点F,过8作8G〃AF交CF于点G,连接BE.

(1)如图1,求证：ZBGC=2ZAEB；

(2)当450<a<90°时，依题意补全图2,用等式表示线段AH,EF,DG之间的数量关系，

并证明.

10.12021•东城一模】已知N/VMN=3O。，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一

个动点(不与点A,8重合)，点P关于直线AN的对称点为点Q,连接AQ,8Q.点

A关于直线BQ的对称点为点C,连接PQ,CP.

(1)如图1,若点P为线段A8的中点.

①直接写出NAQB的度数；

②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；

(2)如图2,若线段CP与8Q交于点D.

①设N8QP=a,求NCPQ的大小(用含a的式子表示)；

②用等式表示线段OC,DQ,OP之间的数量关系，并证明.

★猜造构全等共3题（标记的重要性）

11.（2021•西城一模）如图，在△ABC中，AB=AC,ZBA0900,。是AABC内一点，

ZADC=ZBAC1,过点B作BE//CD交AD的延长线于点E。

（1）依题意补全图形：

（2）求证：ZCAD=ZABE；

（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CO相等的线段并加

以证明。

12.（2021•顺义一模）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,于点。，NA=<z.

（1）求出NOCB的大小（用含a的式子表示）；

（2）延长CD至点E,使CE=4C,连接4E并延长交CB的延长线于点E

①依题意补全图形；

②用等式表示线段EF与BC之间的数量关系，并证明。

RC

13.（2021•海淀一模）如图，在△ABC中，AB=AC,ABAC=40°,作射线CM,

ZACM=80°.O在射线CM上，连接A。，E是4）的中点，C关于点E的对称点为

F,连接£）尸.

（1）依题意补全图形；

（2）判断AB与止的数量关系并证明；

（3）平面内一点G,使得DG=QC,FG=FB,求NCDG的值.

14.(2021•平谷一模)在AABC中，ZACB=9O°,AC=BC,。是直线A3上一点

(点D不与点A、B重合)，连接DC并延长到E,使得CE=CD,过点E作EE_L直线5C,交

直线BC于点尸.

(1)如图1,当点D为线段的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关

系，并证明；

(2)如图2,当点D为线段的延长线上一点时，依题意补全图2,猜想线段EF、CF、

AC的数量关系是否发生改变，并证明；

初三一模几何综合分类整理

共5题(典型、倍长、标记猜、截长补短、无度数自己构造)

1.(2021•朝阳一模)如图，在等腰三角形A8C中，ZBAC<60°,AB^AC，。为8c

边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60。得到线段AE,连接BE交AD于点F。

(1)依题意补全图形；

(2)求NAFE的度数；

(3)用等式表示线段AF,BF,EF之间的数量关系，并证明。

(1)解：依题意补全图形，如图.

2分

(2)解:

：.ZBAD=-ZBAC.

2

•••线段AC绕点A逆时针旋转60。得到线段

：.AB=AE,ZCAE=60°.

：.NABE=NE.

在△ABE中，ZABE+ZE+ZBAC=180°-ZCAE=120a,

-(ZABE+ZE+ZBAC)=60°.

2

^iZABE+ZBAD=60°.

/.ZAFE=ZABE+ZBAD=60"....................................4分

(3)AF+BF=EF.

【法1】

FM=AF.BDC

:.AF+BF=EF.6分

【法2】在EF上截取点M,使EM=BF,连接AM、CF

【法3】在DA的延长线上截取FM=EF,连接ME,在ME上截取MN=AM,连接AN

2.(2021•通州一模)已知点P为线段A8上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°,得

到线段AC；再将线段成终点8逆时针旋转120°,得到线段BO；连接A。，取AO中点

M,连接

⑴如图L当点P在线段CM上时，求证：PM//BD-,

(2)如图2,当点P不在线段CM上，写出线段及0与CM的数量关系与位置关系，并

证明.

c

c

.证明,

(1)•.•点P在线段CM上1分

.•.△APC为等边三角形

,-.ZCPA=60°

...ZAPM=1202分

又•.•NAB。=120’

/.PM||BD3分

(2)证法一:

延长至点F,使得，MF=MB,AF,BC,FC,PC

猜想：CM1MB,CM=也MB4分

证明;

AM=MD,FM=BM

四边形AFBD为平行四边形

/.AF=BD,AF\\BD

NBAF=180-ZABD=60°

.-.ZC4F=120,

•.•△A尸。是等边三角形，

：.AC=CP,ZCPB=l20n

•;PB=DB=AF

：.^CAF三ACPB................................................6分

；.CF=CB,N1=N2

NFCB=60°

.•.△CBb是等边三角形...............................................7分

又•；FM=BM

CM±MB,CM=6MB.........................................8分

证法二：

诳迎二.

立碑在。机轴延为然上和

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8AA

―队.

3.(2021•燕山一模)如图，在正方形A8CD中，8=3,P是CD边上一动点(不与。点

重合)，连接AP,点。于点E关于AP所在的直线对称，连接AE,PE,延长CB到点F,

使得BF=DP,连接EF,AF.

(1)依题意补全图形1;

(2)若。P=l,求线段E尸的长；

(3)当点尸在8边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时AD4P的面积。

.解：(1)补全图形如图1所示.--2分

(2)如图2,连接BP.

•.•点。与点E关于AP所在的直线对称，

：.AE^AD,NPAD=NPAE.

..,四边形ABCD是正方形，

：.AD^AB,/D=NABF=90°.

又DP=BF,：.△ADPg/\ABF.-------3分

：.AF^AP,ZFAB=ZPAD.：.ZFAB^ZPAE.

：.ZFAB+ZBAE=ZPAE+ZBAE.：.NFAE=/PAB.

：./\FAE^/\PAB(SAS).-------4分

：.EF=BP.

•..四边形ABCD是正方形，，BC=CD=AB=3.'：DP=1,：.CP=2.

EF=屈.一5分

.•.在Rt回8cp中，BP=图2

(3)当点P在C。边上运动时，若使MEF为等腰三角形，则

?Q或？9

MAP的面积是247分

(3)问解题思路：1.因为4ABF为直角△,所以AF>AB,即AF>AE,只有AF=EF或AE=EF

时成立

2.用方程的思想求解:设DP=x，则PC=3-x,

.•.EF=BP二二」衣6--*6计，

AF=AP=厢十甲=山环

①当AF=EF时，;■

解得x=3/2即DP=3/2.,6△DAP=l/2xADxDP=l/2x3x3/2=9/4

②当AE=EF时，3=屿就十町｛或者：：AE=AD=3,，EF=3

解得x=3DP=3（即P与C重合）；.SZ\DAP=1/2XADXDP=1/2X3X3=9/2

29或？Q

综上，△DAP的面积是24.

4.（2021•石景山一模）在△ABC中，AB=AC,ZBAC=a（0<a<90）,点E是△ABC

内一动点，连接AE,CE,将△4EC绕点4顺时针旋转a，使AC边与AB重合,得至必4。8,

延长CE与射线8。交于点M（点M与点。不重合）。

（1）依题意补全图形1;

（2）探究与NAEM的数量关系为；

（3）如图2,若OE平分NAO3,用等式表示线段MC,AE,8。之间的数量关系，并证明。

.解：（1）补全图形如图所示（两种情况画出一种即可）.............2分

（2）ZADM=NAEM或ZADM+ZAEM=180°.....................4分

(3)线段MC,AE,6。之间的数量关系是：儿1C=AE+BD.........5分

证明：由作图可知人45。0/VICE.

/.ZADB=ZA£C,AD=AE,BD=CE.A

1

,/DE平分NADB,

・•.ZADE=NBDE.

E

BC

,/AD=AE,

・•.ZADE=ZAED.

/.ZBDE=ZAED.

/.AE//BM.

ZDAE=ZADM,.

又•・,ZAEM=/ADM,

・•.ZDAE=ZAEM,ZADM=ZM.

/.OE=OAfOM=OD.

・•.OE+OM=OA+OD

/.EM=AD=AEt

・.・MC=EM+CE,

/.MC=AE+BD.............................7分

5.(2021•大兴一模)如图，等边△A8C中，点P是BC边上的一点，作点C关于直线AP

的对称点D,连接CD,8D,作AELBD于点E。

(1)若NPAC=1O°,依题意补全图形1,并直接写出/8C。的度数；

(2)如图2,若NPAC=a((T<a<30'),

求证：ZBCD=ZBAE；

用等式表示线段BD,CD,AE之间的线段关系并加以证明。

解：(1)如图所示,

NBCD的度数是20。

(2)法1：

①证明：如图，连接AD

A

根据题意，得：APLCD.

,：ZPAC=a,

：.ZACD=90°-a.

VAABC是等边三角形，

・・・ZACB=60°.

ZBCD=ZACD-ZACB

=90°-a-60°

=30°-a

又TAB=AC=AO,AE1,BD,

：.ZBAE=ZDAE=-ZBAD

2

=1(ZBAC-ZCAD)

2

=_1(60。-2。)

2

=30°-a

:・NBCD=NBAE

②用等式表示线段B£>,CD,AE之间的数量关系是AE=CD+也BD

2

在AE上截取AF=C£),连接BE

•「△ABC是等边二角形,

：.AB=AC.

又*：4BCD=/BAE,

•••△84金△BCD

：・NABF=NCBD,BF=BD.

：.ZFBE=ZABC=60°.

：.EF=BFsin60°=—BF=—BD.

22

h

：.AE=AF+EF=CD+—BD.

2

(2)①法2：

证明：如图

丁点C,。是关于直线AP的对称点

/.AC=AD.

*.*/\ABC是等边三角形

，AB=AC=BC=AD

:.B、D、。在以A为圆心的圆上

：.ZBCD=-ZBAD

2

AD,AELBD,

:・/BAE=/DAE=L/BAD

2

:./BCD=/BAE

②法2：

用等式表示线段BD,CD,AE之间的数量关系是AE=CD+是BD

2

过点B作CD的垂线BF,交.CD的延长线于点尸,

A

20。

Bc

\ID

'.'△ABC是等边三角形,

:・AB=BC.

9

\AE±BD,BF±CFf

：.ZA£B=90°,ZCFB=90°,

・•・NAEB=NCFB

：.△ABE/XCBF.

：.BE=BF,NABE=/CBF,AE=CF

即ZABC+ZCBD=ZCBD+ZDBF

又「ZABC=60°

：.ZDBF=ZABC=60°

在RtADBF中，

：.DF=BDsin600=—BD.

2

・；CF=CD+DF

：.CF=CD+—BD.

2

又・；CF=AE,

・・・AE=CD+—BD.

2

★K字图共2题

6.（2021•延庆一模）在正方形A8CZ）中，点E在射线BC上（不与点8、C重合），连接DB,

DE,将CE绕点E逆时针旋转90。得到EF,连接BF.

（1）如图1,点E在BC边上.

①依题意补全图1:

②若A8=6,EC=2,求8尸的长；

（2）如图2,点E在8C边的延长线上，用等式表示线段8D,BE,B尸之间的数量关

系，并证明.

答案.（1）①

.....2分

②解法一：作FMLCB延长线于M

：./FMB=90。

正方形ABCD

：.ZDCE=90°

,JDELEF

：.NMEF+NDCE=90°

：.NMEF=NEDC

VZDC£=ZFMB=90°,EF=DE

:ZEMgXEDC.....3分

:.EC=FM=2,DC=ME=6

:.MB=2

中，BF=2近.....4分

(2)解法一：或BE=BD+BF.....5分

证明：作于M

可证△FEM9KEDC

\CE=MF,ME=DC

：.ME=BC

：.BM=CE=MF

在RtABMF和RtABCD中，由勾股定理得

BC=器V2,CE=BM=窄V2

•；BE=BC+CE

・RR_BDBF

:.aBE=BD+BF...........7分

②、解法二：在CD上截取CG=CE=2,则在RtZ\ECG声，GE=2近.

•.,正方形ABC。

ZDC£=90°,ZGDE+ZDEC=90°

'：DELEF

NBEF+NDEC=9。。

•.,正方形ABCD

：.BC=CD

BC-CE=CD-CG,即BE=GD

,:EF=DE

：./\FE^LEDG

：.BF=GE

：.BF=2近

解法三：以点E为圆心,EB长为半径画弧，交BD于

点G,过点G作GH±CD于点H,则EG=EB,△GHD为等腰

直角三角形。

•.,正方形ABCD

二ZBGE=45°,ZG£B=90°,Z//C£=90°

'JDHA.CD

：.ZGHC=90°

：.四边形ECHG为矩形

CE=GH=2,DG=2V2,ZGEB=90°

■:DELEF

：.NOE尸=90°

AZDEF-ZGEF=ZG£B-,ZGEF,即N£)EG=NFEB

VDE=FE,GE=BE,

.,.△FEB^ADEG

：.BF=GD=2V2

(2)解法二：V2BE=BD+BF

证明：连接DE,过点E作CE的垂线交BD延长线于

的延长线于点G

可证△GDE9XBFE

：.BF=DG,BE=GE

在RSBEG中，由勾股定理得：

\[2BE=BG

"：BG=BD+DG

:.近BE=BD+BF

4G

7.(2021•房山一模)已知：在aABC中，NA=45°,ZABC=a,以BC为斜边作等腰

《△BDC,使得A,。两点在直线BC的同侧，过点。作DELAB于点£。

(1)如图1,当a=20"时，

求/CDE的度数；

判断线段AE与BE的数量关系；

(3)若45<a<9(?,线段AE与BE的数量关系是否保持不变？依题意补全图2,并

证明。

解(1)：ABDC是等腰直角三角形ZBDC=45°/CDB=90。

VZABC=a=20°AZABD=25°

VDE1ABZBDE=90°-ZABD=65°,

ZCDB=9O0,.-.NCDE=900-NBDE=25°

(2)AE=BE

证法(一)如图1延长DE,与AC的延长线交于点F,过点C作CG_LDF于G

；DE1AB,NA=45°/.ZF=ZA=45°,AE=FEVCG//AEZFCG=450=ZF.，.CG=FG

ABDC是等腰直角三角形，二DC=DB,Z2+Z3=9O0,Zl+Z3=90°Z1=Z2

在ADCG和ABDE中，由于NCGD=NDEB=90°Z2=Z1,DC=DB/.ADCG=ABDE

CG=DE=FG,DG=BEFE=DGAE=BE

证法（二）作CG1AB于G,过D点作DF_LCG交CG的延长线于F,

；NEGF=NF=NGED=900/.四边形GFDE是矩形

•/ABDC是等腰直角三角形二DC=DBB

NCDB=NCGH=90°

,/ZCHG=ZDHBAZ1=Z3

在ACFD和ABED中VZ1=Z3，ZF=ZDEB=90°DC=DB

：.ACFD=ABEDCF=BEDF=DE,矩形GFDE是正方形

.-.GE=GFZA=45°CG1ABZACG=ZA=45°AG=CG

AG+GE=CG+FGAE=CF=BE/.AE=BE

证法（三）取BC的中点F,连接DF交AB于H,在AB上截取BG=DE

•JABDC是等腰直角三角形DFJ_BCDF=^BC=BF

2

•JNDEH=NBFH=90。，ZEHD=ZFHBZEDF=ZGBF

在ADEF和ABGF中VDE=BG,ZEDF=ZGBF,DF=BF

ADEF=ABGF/.FE=FGZEFD=ZGFB

•••/DEB=90°NEFG=90°,/.ZFEH=45°

c,,BFBE,

•/ZA=45°NA=/FEB/.EF//AC一=——=1,AE=BE

CFAE

（2）

证法（一）过点C作CG1DE,交ED的延长线于G,EG交AC于H

•/ABDC是等腰三角形DC=DB,ZCDB=90°

故NCDG+NBDE=90°

•/DE1AB.­.ZDBE+ZBDE=90°AZCDG=ZBDE

在ACDG、ADBE中，由于ZCDG=ZBDE,ZCGD=ZBED=90°DC=DB

ACGD=ADEB从而DG=BE,CG=DE

•/ZA=45°,GE1ABZAHE=ZA=45°AE=HE

ZCHG=ZAHE=45°=ZGCHGH=GC=ED;.GD=EH:.AE=BE

证法（二）:作CF_LAB于F,由法一得ACGD=ADEB.-.CG=DE,DG=BE

设CG=m=DE,DG=n=BE•/ZCGE=ZGEB=ZCFE=90°

矩形GEFC,CF=GE=m+nEF=CG=m,

•/ZA=45°CF1AB

ZACF=ZA=45°，AF=CF=m+nzBF=BE-EF=n-m

/.AB=AF+BF=m+n+n-m=2nAE=AB-BE=2n-n=n故有AE=BE

证法（三）：过点C作CF1AB于F,过点D作DIVLLCF于M

•JDE1ABZDEF=ZEFM=ZDHF=90°/.四边形DEFM是矩形NEDM=90。

•/ABDC是等腰直角三角形/.CD=BDZCDB=90°ZCDM=ZBDE

在ACDM和ABDE中，NDMC=NDEB=90°/CDM=NBDECD=BD

ACDM=ABDECM=BEDM=DE/.矩形DEFM是正方形MF=EF

•JZA=45°CF1ABNACF=NA=45°/.AF=CF；AE=CM=BEAE=BE

证法（四）以点D为圆心，DC长为半径作圆D

VABDC是等腰直角三角形

/.DC=DB,ZCDB=900.•.点B在圆D上

假设点A在圆D内，延长BA交圆D于A',

连接CA',VZCA，B=-ZBDC=45°

2

NBAC=/BA'C+/A'CA=45。故A与A'重合，点A在圆D上;

同理，点A也不能在圆D外，DA=DBVDE1ABAE=BE

证法（五）

取BC中点F,连接DF、EF,在AB延长线上截取BG=DE,连接FG.

•••△BDC是等腰直角三角形，DF1BC,DF=-BC=BF

2

•/DE1AB,ZDEB=90°,ZDEB+ZDFB=180°

•/ZEDF+ZEBF=180°ZFBG+ZEBF=180°ZEDF=ZGBF

在AEDF和AGBF中，

VDE=BG,ZEDF=ZGBF,DF=BFAEDF=AGBF

/.EF=GF,NDFE=NBFG

•//DFB=90°/./EFG=90°/./FEG=45°

AECF

•・•ZA=45°/.ZA=ZFEG,tEF//AC/.--=——=1/.AE=BE

BEBF

★角含半角共1题

8.（2021•丰台一模）如图，在△ABC中，NAC8=90,CA=CB,点P在线段AB上,

作射线CPCO<ZACP<45。），将射线CP绕点C逆时针旋转45°,得到射线CQ,过

点A作AOLCP于点。，交CQ于点E,连接8E.

（1）依题意补全图形；

（2）用等式表示线段A£>,DE,BE之间的数量关系，并证明.

解：（1）如图所示:

C

（2）AD+BE=DE.

法1：证明：延长D4至尸，使。尸=OE,连接CF.

'：ADLCP,DF=DE,

：.CE=CF,

：.NDCF=NDCE=45。,

,：/ACB=90°,

/.NACD+NECB=45°,

ZDCA+ZACF=ZDCF=45°,

：.ZFCA=ZECB.

在△人。尸和45CE中，

CA=CB

<NACF=NBCE

CF=CE

：.△ACF^ABCE.

：.AF=BEt

：.AD+BE=DE.

法2：证明：在。E上截取。尸，使得Z)F=AO,连接CF.

•；ADLCP,DF=AD,

：.CA=CFfZACD=ZFCD

■:CA二CB,

：.CF=CB

VZACB=90°,ZDCE=45°,

AZACD+ZECB=45°,ZFCD+ZFC£=45°,

・•・ZFCE=ZECB

在^FCE^IABCE中，

CF=CB

<ZFCE=ZBCE

CE=CE

:•△FCE^ABCE.

：.FE=BE,

：・AD+BE=DF+FE=DE.

9.(2021•门头沟一模)在正方形48CD中，将边AD绕点A逆时针旋转。(0。＜。＜90°)

得到线段AE,AE与C。延长线相交于点F,过8作BG〃AF交C尸于点G,连接BE.

(1)如图1,求证：NBGC=2ZAEB；

(2)当45。＜。＜90。时，依题意补全图2,用等式表示线段AH,EF,DG之间的数量关系，

并证明.

(1)证明：•.•四边形488是正方形,

：.AB//CD,

•\ZABG=ZBGC............................1分

"：BG//AF,AB=AD=AE,

:.NAEB=NGBE,ZAEB=ZABE,...........................2分

ZABG=2ZGBE,

AZBGC=2ZGBE............................3分

(2)依题意补全图形，线段AH,EF,DG之间的数量关系是

证法一：在DC上截取DM3H,连接AM交8E与N............................4分图1

\"AD=AB,ZADM=ZBAH=90°,DM=AH,

：.△ADM丝△BAH,

.,.Z1=Z2.

VZl+Z3=ZB4H=90o,...........................5分

.,.Z3+Z2=9O°,即/AN8=90°,

又：AE=A8,

：.ZBAM=ZEAM.

'JBG//AF,

:.NBAM=NAMF,

：.ZEAM=^AMF,........

：.FM=AF.

VBG//AF,AB//CD,

，FG=A8=AE.

：.EF^GM,即EF=AH+DG.

M

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〕、/上二NHBC

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.\左ET2：尸二々D+Dc+OA

'：分Jr二43:{>□"J二CM

）、EF二&1）十书小

I

10.【2021•东城一模】已知/MAN=3O。，点B为动AM上一个定点，点P为线段AB上一

个动点(不与点A,B重合)，点P关于直线AN的对称点为点Q,连接AQ,BQ.点A关

于直线BQ的对称点为点C,连接PQ,CP.

(1)如图1,若点P为线段A8的中点.

①直接写出NAQ8的度数；

②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；

(2)如图2,若线段CP与BQ交于点D.

①设NBQP=a,求/CPQ的大小(用含a的式子表示)；

②用等式表示线段。C,DQ,DP之间的数量关系，并证明.

(1)解：①NAQB=9O°；

②补全图形，如图1，CP=^3AP.

3分

(2)①解：如图2,连接CQ,

・・,点R点Q关于直线//V对称，点4点。关于直线8Q对称,

AP=AQ=CQ,ZPAN=NQ/W,NCQB=ZAQB.

-.-ZMAN=30°,

ZPAQ=60°.

・・・△/。。为等边三角形.

：.AAQP=6Q°,PQ=AQ.

■■■CQ=PQ.

：.LC-/-CPQ.

MBPA

ZBQP=a,

Z.CQB=60°+a.

:.ZCQP=60°+2a.

ZCPQ=O)o-a......................................................5分

②结论：DC=DP+DQ.

【法1】证明：«DQ=NCPQ+NBQP,

ZCDQ=60°.

在。。上截取。连接F。

△。州为等边三角形.

■■.QE=QD.

ZDEQ=ZEDQ=6Q°.

:.ZCEQ=ZPDQ=\20°.

•;NC=NCPQ,CQ=PQ,

/\CEQ^APZ)2(AAS).

;.EC=DP.

DC=EC+DE=DP+DQ..........................................7分

【法2】

MBPA

★猜造构全等共3题（标记的重要性）

11.（2021•西城一模）如图，在△ABC中，AB=AC,N8AC9O。，。是△川（：内一点，

ZADC=ZBACo过点B作BE//CD交AD的延长线于点E。

（1）依题意补全图形；

（2）求证：ZCAD^ZABE；

（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CZ）相等的线段并加

以证明。

图解（略解）：

⑴问

（3）问略证:

截取8G=AD,黄绿△8GO三粉红△ADC（SAS）：

设NABG=NADC=（z;N8AG=NACD=/?,则NAGE=a+£;NC£>E=a+夕（三角形外角

等于不相邻内角和）；

BE//CD=>ZCDE=ZAEG=a+j3（两直线平行，内错角相等）

故CD=AG=A£

标准答案（详解）：

图5

27.（本小题满分7分）

（1）解：补全图形如图6所示.

1分

(2)证明：如图7,延长BE至点F.

V8E〃CQ,点尸在BE的延长线上，

:.ZADC=Z\.

VN4DC=NBAC,

：.Z\=ZBAC.

•・•N1是△/BE的外角，

:.Z\=ZABE+ZBAE.

:.ZABE=N1-/BAE.

又丁ZCAD=ABAC-ZBAE,

:./CAD=AABE................................................................................................3分

(3)AE.4分

证明：如图8,延长BE至前F,在BE上截取BG=AD,连接AG.

由(2)得=

又丫AB=AC,

:.△ABGW4CAD.

：.4G=CD,/BGA=NADC.

VZADC=Z\,

JZ\=ZBGA.

•:4GE+/5G4=180o,Z2+Z1=18O°,

图8

:.4GE=N2.

:.AE=AG.

：.AE=CD.....................................................................7分

12.（2021•顺义一模）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,C£>_LAB于点力，ZA=cz.

（1）求出/OCB的大小（用含a的式子表示）；

（2）延长CO至点E,使CE=AC,连接4E并延长交CB的延长线于点F.

①依题意补全图形；

②用等式表示线段EF与8c之间的数量关系，并证明。

A

⑴解：:AB=AC,

・•.LABC=LACB

AA=a,

・•・LABC=LACB=^-^-=90°--.

22

\'CD±AB,

2分

：.ZDCB=900-Z4BC=90°-(90°—a/2)=a/2.

(2)①

②、解法一：线段EF与BC之间的数量关系为BC=夜EF.

证明：过点分别作AN_LCF,EM1.CF于MM两点.

/.ZEMC=ZANC=90°.

：AB=AC=CE,

.\zi=Z2=pCA/=|BC,NAEC=NEAC,

.,.△CEM^A4CA/,

：.EM=CN=^BC.

'：ZAEC=ZF+Z2,

ZEAC=ZFAN+Z1,

：.ZF=ZFAN=45°,AZ3=45°./

F

：.FM=EM=CN=^BC,

在RtAEFM中,EF=y/2EM,

7分

E,

②、解法二：线段EF与BC之间的数量关系为BC=\[2EF

证明：作点E关于CF的对称点M,连接FM,EM,CM.

根据对称可知：ACE&ACMF,

CM=CE,/ECM=a.

"：CB=CA=CE=CM,ZBAC=ZECM=a,

：./\BAC^/\ECM,

：.EM=BC

,/在RtZXCDA中，ZCAD=a,

NACD=90°-a