2021版《5年高考3年模拟》A版理科数学：8 .3 直线、平面平行的判定与性质

8.3直线、平面平行的判定与性质

探考情悟真题

【考情探究】

5年考情预测热

考点内容解读

考题示例考向关联考点度

（1）以立体几何的有关直绩口平面平±

2018江苏,15,14分LAA、……面面垂直的判定

定义、公理和定理为出仃的利XE

1.直线与平发点，认识和理解空间直线和平面平线线垂直的判定、

2017江苏,15,14分

面平行的判中线面平行、囿卸平行行的判定面面垂直的性质★★★

定与性质的有关性质与判定定直线和平面平“Ra

线面角、线面垂直

理，并能够证明相关性2016课标11,14,5分行的判定和性g3

华的性质az

质定理.质

（2）能运用线面平行、

2.平面与平

面面平行的判定及性质面面平行的判

面平行的判2019课标口,7,5分断充要条件

定理证明空间图形的平断

定与性质

行关系

分析解读从近5年高考情况来看,本节内容一直是高考的热点，主要考查直线与平面及平面与平面平行的判

定和性质.常设置在解答题中的第（1）问.难度中等，通过线面平行的判定与性质考查考生的直观想象、逻辑推理的

核心素养.

破考点练考向

【考点集训】

考点一直线与平面平行的判定与性质

1.（2019河南洛阳尖子生4月联考,4）设l,m是两条不同的直线,aQ是两个不同的平面.且lca,mud下列结论正确

的是（）

A.若a_L0，则1_L。B.若l_Lm,则a_L。

C.若a〃。,则1〃。D.若l〃m,则a〃0

答案C

2.（2020届江西抚州一调.9）如图所示，在棱长为a的正方体ABCD-A|B|CQ|中,E是棱DDI的中点,F是侧面

CDDiC,上的动点，且BF〃面ARE,则F在侧面CDDQ上的轨迹的长度是（）

A.aC.V2aD号

答案D

3.（2019皖南八校三联.18）如图，在四棱锥P-ABCD中,PC_L平面ABCD.点M为PB的中点，底面ABCD为梯

形.AB//CD,AD±CD,AD=CD=PC=1AB.

⑴证明:CM〃平面PAD;

（2）求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小.

解析⑴证明:取PA的中点E,连接DE,ME.

因为M是PB的中点,

所以ME〃AB,ME=：AB.（2分）

又AB〃CD,CD弓AB,

所以ME〃CD,ME=CD.（3分）

所以四边形CDEM为平行四边形,

所以DE〃CM.

因为DEc平面PAD,CMC平面PAD,

所以CM〃平面PAD.（5分）

⑵取AB的中点N,连接CN.易知四边形ADCN为正方形，又PC平面ABCD故可以以C为原点CD,CN,CP所

在直线分别为x轴,y轴，/轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设AD=CD=PC=1AB=1,则C(O,O,O),P(O,0,1),A(1,1,0),D(1,0,0),B(-1,1,0),(7分)

则两=(□"),万=(0,-1,0),设平面PAD的法向量为m=(x,y,z).则有可•m=0,而•m=0,令x=l,得m=(1,0,1).(9分)

同理可求得平面PBC的一个法向量为n=（l,l,0）,（10分）

所以cos<m,n>彳啜="即平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为*（12分）

|向|闺23

考点二平面与平面平行的判定与性质

1.（2018安徽黄山二模.4）下列说法中，错误的是（）

A.若平面a〃平面0,平面an平面尸1,平面pA平面y=m,则\//m

B.若平面aJ■平面以平面an平面p=l,mca,m_Ll,则m±p

C.若直线1，平面a,平面a_L平面。，贝Ul//p

D.若直线1〃平面a,平面al~l平面B=m,直线1c平面氏则l//m

答案C

2.（2019内蒙古呼和浩特模拟.6）如图.在正方体ABCD-ABCD中,0为底面ABCD的中心,P是DD|的中点设Q

是CG上的点，当点Q在位置时，平面D|BQ〃平面PAO.（）

A.Q与C重合B.Q与G重合

C.Q为CC的三等分点D.Q为CG的中点

答案D

炼技法提能力

【方法集训】

方法1证明直线与平面平行的方法

1.（2019广西柳州一模.19）如图.已知AB_L平面ACD.DE〃AB,AD=AC=DE=2AB=2,且F是CD的中点,AF=V5.

⑴求证:AF〃平面BCE;

（2）求证:平面BCE_L平面CDE.

证明(l)WCE中点P,连接FP、BP,；.PF〃DE,且FP=1,又AB〃DE,且AB=1,；.AB〃FP,且AB=FP,...四边形

ABPF为平行四边形,，AF〃BP.又,.•AFG平面BCE.BPc平面BCE「.AF〃平面BCE.

(2)AD=AC=2,F是CD的中点,AF=VX

AACD为正三角形,AF_LCD,

；AB_L平面ACD,DE〃AB,

...DEJ_平面ACD,又AFc平面ACD,：.DE_LAF,

又AF_LCD,CDCDE=D,；.AFJ_平面CDE,

又BP〃AF:.BP_L平面CDE,

又：BPu平面BCE,...平面BCE1平面CDE.

2.（2020届山西大同调研.17）如图，已知菱形ABCD的边长为6,ZBAD=60°,ACnBD=O,^AABC沿对角线AC

折起，使面15八（2_1面ACD.得到三棱锥B-ACD,点M是棱BC的中点.

⑴求证:OM〃平面ABD;

（2）求证:平面ABCJ_平面MDO.

证明(1)由题意知,0为AC的中点，

；M为BC的中点,0M〃AB.

又：0Ma平面ABD.ABc平面ABD,

.•.0M〃平面ABD.

(2)T四边形ABCD是菱形,.OD_LAC,

又将4ABC沿对角线AC折起，使面BAC±®ACD.且面BACA面ACD=AC,

.•.OD_L平面ABC,

VODc平面MDO,

平面ABC_L平面MDO.

3.(2019内蒙古包头二模,19)如图三棱锥P-ABC中点C在以AB为直径的圆。上.平面PACJ_平面ACB,点D

在线段AB上，且BD=2AD,CP=CA=3,PA=2,BC=4点G为4PBC的重心.点Q为PA的中点.

⑴求证:DG〃平面PAC;

(2)求点C到平面QBA的距离.

解析（1）证明:连接BG并延长交PC于E,连接AE,

VG8APBC的重心,.IBG=2EG,

又BD=2AD,

...DG〃AE.又DGG平面PAC.AEc平面PAC,

；.DG〃平面PAC.

(2)连接CQ,•.•点C在以AB为直径的圆0上.

.•.AC_LBC,又平面PACJ■平面ACB.平面PACC平面ACB=AC,

BCJ•平面PAC.

••,CP=CA=3,PA=2,Q为PA的中点，

ACQ±PA,CQ=^AC2-AQ2=2V2,

VB.PAC=JSAPAC"BC=1x：x2x2V5x4=竽,

又PB=VPC2+BC2=5,AB=VAC2+BC2=5,

PB=AB,:.PA±BQ,ABQ=AB2-AQ2=2-/6,

SAPAB=|XPAXBQ=2V6,

设C到平面PAB的距离为d.

贝！JVC.PAB=|SZIPAB,d=^d,

.••笠考.解得d卷.

•••点C到平面QBA的距离为竽.

方法2证明平面与平面平行的方法

1.（2018安徽合肥一中模拟J8）如图,四边形ABCD与ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB.AD.EF的中点.

⑴求证:BE〃平面DMF;

⑵求证:平面BDE〃平面MNG.

证明⑴如图，连接AE,则AE必过DF与GN的交点O.

连接MO,则MO为4ABE的中位线,所以BE〃MO.

又BE6平面DMF,MOu平面DMF,所以BE〃平面DMF.

（2）因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点

所以DE〃GN.

又DE6平面MNG.GNc平面MNG,所以DE〃平面MNG.

因为N为AD的中点,M为AB的中点，所以MN为4ABD的中位线，所以BD〃MN,

又BDG平面MNG,MNc平面MNG,所以BD〃平面MNG,

又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，

所以平面BDE〃平面MNG.

2.（2019安徽蚌埠二模』8）如图所示，菱形ABCD的边长为2,ND=60。,点H为DC的中点，现以线段AH为折痕将

菱形折起.使点D到达点P的位置且平面PHAL平面ABCH,点E,F分别为AB,AP的中点.

⑴求证:平面PBC〃平面EFH;

（2）求平面PAH与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

解析（1）证明:菱形ABCD中,E,H分别为AB.CD的中点，

所以BECH,所以四边形BCHE为平行四边形，则BC〃EH,

又EH6平面PBC,

所以EH〃平面PBC.（3分）

因为点E,F分别为AB.AP的中点，所以EF〃BP,

又EFG平面PBC,

所以EF〃平面PBC.又EFCEH=E,

所以平面PBC〃平面EFH.(6分)

(2旌接AC,菱形ABCD中,ND=60。,则4ACD为正三角形，又H为DC的中点，菱形边长为2.

AH±CD,AH=V3,DH=PH=CH=1.

折叠后，PH_LAH,

又平面PHAJ_平面ABCH,平面PHAC平面ABCH=AH,

.•.PH_L平面ABCH.

又•••AH_LCD,HA.HC.HP三条直线两两垂直.

以前.近百?的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，

则P(O,O,1),C(0,1,0),B(V5,2,0),而=(V5,1,0),#=(0,-1,1),(9分)

设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),

则•亘=0,即作x+y=0,

(m,CP=0,l-y+z=0,

令y=-V5,得x=l,z=-V3,

.,.m=(l,-V3,-V3).

..•平面PAH的一个法向量n=(0,l,0),

・・cos<m,n>=--^==--—,

设平面PAH与平面PBC所成锐二面角为a,

则cos(1=手.(12分)

【五年高考】

A组统一命题•课标卷题组

1.(2019课标II,7,5分)设af为两个平面，则a〃。的充要条件是()

A.a内有无数条直线与p平行

B.a内有两条相交直线与p平行

C.a,p平行于同一条直线

D.a,。垂直于同一平面

答案B

2.（2016课标11.14,5分）a,。是两个平面,m.n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m_Ln.m_La,n〃p,那么

②如果m_La,n〃a用口么m±n.

③如果a〃0,mua.那么m〃囚

④如果01〃4”/以那么m与a所成的角和n与0所成的角相等.

其中正确的命题有.（填写所有正确命题的编号）

答案②③④

B组自主命题•省（区、市）卷题组

1.（2018浙江6,4分）已知平面a,直线m,n满足mQa,nua,则“m〃n"是"m〃a"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

2.（2019江苏』6,14分）如图，在直三棱柱ABC-A,BCi中,D,E分别为BC,AC的中点.AB=BC.

求证:（1）AB〃平面DEG;

（2）BE_LC|E.

证明本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识.考查空间想象能力和推理论证能力.

⑴因为D,E分别为BC,AC的中点，所以ED〃AB.

在直三棱柱ABC-ABG中,AB〃AB，所以A向〃ED.

又因为EDc平面DECiABN平面DEC"

所以A|B|〃平面DEC1.

⑵因为AB=BC,E为AC的中点.所以BE1AC.

因为三棱柱ABC-AIBCI是直棱柱.所以GC_L平面ABC.

又因为BEc平面ABC,所以GC_LBE.

因为CiCc平面AIACCHACC平面A|ACC|,GCnAC=C,

所以BE_L平面AiACG.

因为GEu平面A|ACG,所以BE1C,E.

3.（2019天津,17,13分）如图,AE_L平面ABCD,CF//AE,AD//BC.AD±AB,AB=AD=1,AE=BC=2.

⑴求证:BF〃平面ADE;

⑵求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；

（3）若二面角E-BD-F的余弦值为右求线段CF的长

解析本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识,考查用空间向量解决立体几

何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.重点考查的核心素养是逻辑推理、直观想象

与数学运算.

依题意，可以建立以A为原点，分别以荏，而，荏的方向为x轴.y轴.z轴正方向的空间直角坐标系（如图），

可得A(O,O,O),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).

设CF=h(h>0),则F(l,2,h).

⑴证明:依题意，布=(1,0,0)是平面ADE的法向量，又前=(0,2,h),可得段•AB=0,

又因为直线BFC平面ADE.所以BF〃平面ADE.

⑵依题意，丽=(-1,1,0),丽=(-1,0,2),

C£=(-l,-2,2).

设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量.

则卜•巴二°，即卜+y=0,不妨令z=l,

(n,BE=0,(-x+2z=0,

可得n=(2,2,l),因此有cos<盘,n>=嵩手春

所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为:

⑶设m=(x,y,z)为平面BDF的法向量,

则卜•四=0,即#?=0

•BF=0,(2y+hz=0,

不妨令y=l,可得-；).

由题意.有.搞与，解得鸟经检睑符合题意.所以,线段CF的长为*

。思路分析从已知条件线面垂直、线线垂直、线线平行入手，建立空间直角坐标系.将立体几何中的位置关系

转化为向量坐标关系，从而进行坐标运算，再将向量运算结果转化为立体几何中的位置关系或长度.

。方法总结利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤：

①观察图形.建立恰当的空间直角坐标系:②写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;③设出相应平面的法

向量，利用两直线垂直.其相应方向向量数量积为零列出方程组求出法向量;④将空间位置关系转化为向量关

系;⑤根据定理结论求出相应的角或距离.

4.（2018江苏,15,14分）在平行六面体ABCD-A|B|GD|中,AA1=AB,AB|_LB|C|.

求证:⑴AB〃平面A,B|C;

⑵平面ABB|AiJ_平面A|BC.

证明本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系.考查空间想象能力和推理论证能力.

⑴在平行六面体ABCD-ABCD中,AB〃AB.

因为ABQ平面A|BQ,A|B|U平面ABC,

所以AB〃平面A|B|C.

(2)在平行六面体ABCD-A|B|C|D|中,四边形ABB|A|为平行四边形.

又因为AA|=AB,所以四边形ABB|A|为菱形.所以AB]±A|B.

因为AB|_LBC,BC〃B|C1,所以AB」BC.

又因为A]BCBC=B,A|Bu平面A]BC,BCu平面A,BC,

所以AB」平面A|BC,

又因为AB|U平面ABBIAI,

所以平面ABB|A1_L平面A|BC.

5.(2016四川,18,12分)如图在四棱锥P-ABCD中,AD//BC,ZADC=ZPAB=90o,BC=CD=1AD,E为棱AD的中点,

异面直线PA与CD所成的角为90。.

⑴在平面PAB内找一点M.使得直线CM〃平面PBE,并说明理由：

(2)若二面角P-CD-A的大小为45。,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

解析（1）在梯形ABCD中,AB与CD不平行.

延长AB,DC.相交于点M（Md平面PAB）,点M即为所求的一个点.

理由如下：

由已知,BC〃ED,且BC=ED.

所以四边形BCDE是平行四边形.

从而CM〃EB.又EBc平面PBE,CM«平面PBE,

所以CM〃平面PBE.

（说明:延长AP至点N,使得AP=PN,则所找的点可以是直线MN上任意一点）

（2）解法一:由已知,CD_LPA,CD±AD.PACIAD=A,

所以CD工平面PAD.从而CD±PD.

所以/PDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以NPDA=45。.

设BC=I,则在RtAPAD中,PA=AD=2.

过点A作AH_LCE,交CE的延长线于点H,连接PH.

易知PA1平面ABCD.又CEu平面ABCD,

从而PA_LCE.于是CE_L平面PAH.

所以平面PCEJ_平面PAH.

过A作AQ_LPH于Q,则AQ_L平面PCE.

所以NAPH是PA与平面PCE所成的角.

在RlAAEHtf,ZAEH=45°,AE=1,FJflUAH=y.

在RtAPAH中,PH=gz+AH?考,

所以sinZAPH=^=1.

解法二:由已知,CD±PA,CD±AD,PAnAD=A,

所以CDJ_平面PAD.于是CD1PD.

从而NPDA是二面角P-CD-A的平面角.

所以NPDA=45。.

由PA_LAB,可得PA_L平面ABCD.

设BC=1,则在RtAPAD中,PA=AD=2.

作ARAD以A为原点，以同，而的方向分别为x轴,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

则A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,l,0),E(1,0,0),

所以屋=(1,0,-2),沅=(1,1,0),方=(0,0,2).

设平面PCE的法向量为n=(x,y,z),

由卜•西=0得%z=0

(n•EC=0,(x+y=0,

设x=2.解得n=(2,-2,l).

设直线PA与平面PCE所成角为a,

贝Usina---|n'—-2-=-

人」|n|•|AP|2X722+(-2)2+123'

所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为:

。思路分析对⑴，延长AB,DC相交于一点M厕M在平面PAB内.由已知易知CM〃EB,从而CM〃平面PBE.

对(2),有两种解法:解法一是传统几何方法.作出PA与面PCE所成的角，然后通过解三角形求值;解法二是向量法,

建立空间直角坐标系，求出面PCE的f法向量n,利用sina哈噜求值.

|n|•|AP|

C组教师专用题组

1.(2016浙江25分)已知互相垂直的平面a,p交于直线1.若直线m,n满足mZ/a,n±pJ!l()

A.m〃lB.m〃nC.n±lD.m_Ln

答案c

2.(2015安徽,5,5分)已知m,n是两条不同直线.af是两个不同平面，则下列命题正确的是()

A.若a,p垂直于同一平面，则a与0平行

B.若m,n平行于同一平面，则m与n平行

C.若a,0不平行，则在a内不存在与P平行的直线

D.若m.n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

答案D

3.(2017江苏.15,14分)如图，在三棱锥A-BCD中.AB_LAD.BC_LBD,平面ABD_L平面BCD点E,F(E与A,D不重

合)分别在棱AD.BD上，且EF±AD.

求证:(1)EF〃平面ABC;

(2)AD±AC.

证明(1)在平面ABD内,因为AB_LAD,EF_LAD,所以EF//AB.

又因为EFQ平面ABC.ABc平面ABC,所以EF〃平面ABC.

(2)因为平面ABD_L平面BCD,平面ABDC1平面BCD=BD,

BCc平面BCD,BCJ_BD,所以BC1平面ABD.

因为ADc平面ABD,所以BC±AD.

又AB_LAD,BCCAB=B,ABu平面ABC.BCc平面ABC,

所以ADJ_平面ABC.

又因为ACc平面ABC,所以AD±AC.

。方法总结立体几何中证明线线垂直的T殳思路：

(1)利用两平行直线垂直于同一条直线(a〃b,a_Lc=b_Lc);

(2)线面垂直的性质(a_La,bua=a_Lb).

4.(2016江苏.16,14分)如图.在直三棱柱ABC-ABG中,D,E分别为AB,BC的中点，点F在侧棱B|B上.且

B।D_LA]F,A]C]JLA|B|.

求证：(I)直线DE〃平面AQF;

⑵平面BQE_L平面AQF.

证明(1)在直三棱柱ABC-ABG中AC|〃AC.

在4ABC中，因为D,E分别为AB.BC的中点，

所以DE〃AC.于是DE〃AC.

又因为DEC平面A|CF,A|C|U平面AQF,

所以直线DE〃平面A|C|F.

(2)在直三棱柱ABC-A|B|G中,A|A_L平面A^.Cp

因为A|C|C平面A|B|C|,所以A|AJ.A|C|.

又因为A|Ci_LAiB|,AiAu平面ABB|Ai,AiBiU平面ABB|A|,A|ACAiB尸Ai,

所以AQ|_L平面ABB.A,.

因为B.Dc平面ABBiAi,所以AiCilB.D.

又因为B|D_LAF，AiGu平面A|GF,A|FU平面AQEACiAA|F=A|,所以BQ，平面AQF.

因为直线B|Du平面B|DE,所以平面BiDEJ■平面A|C|F.

5.(2015江苏.16,14分)如图，在直三棱柱ABC-ABG中，已知AC_LBC,BC=CG,设AB|的中点为D.BQnBC尸E.

求证:(1)DE〃平面AA|C(C;

(2)BC,1AB,.

证明（1）由题意知.E为BC的中点，

又D为AB|的中点因此DE〃AC.

又因为DEC平面AA|C|C,ACu平面AAQC,

所以DE〃平面AAQC.

（2）因为棱柱ABC-A山iG是直三棱柱，

所以CC|_L平面ABC.

因为ACc平面ABC,所以ACICCj.

又因为AC_LBC,CGu平面BCC|B,,BCc平面BCC）B,,

BCCCCi=C，所以ACJ_平面BCC|B|.

又因为BC|C平面BCCB.所以BC,±AC.

因为BC=CG,所以矩形BCCB是正方形，

因此BC|_LB|C.

因为AC,B,Cc平面BiAC.ACnB|C=C,

所以BC」平面B,AC.

又因为AB|C平面B।AC,所以BC|_LAB）.

6.（2015山东,17,12分）如图.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点.

⑴求证:BD〃平面FGH;

⑵若CF_L平面ABC,AB_LBC,CF=DE,NBAC=45。,求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小.

解析⑴连接DG.CD,设CDnGF=O,连接OH.

在三棱台DEF-ABC中.AB=2DE,G为AC的中点，可得DF〃GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形.

则O为CD的中点，又H为BC的中点，所以OH〃BD,

又OHu平面FGH,BDC平面FGH,所以BD〃平面FGH.

（2）设AB=2,则CF=1.

在三棱台DEF-ABC中.G为AC的中点.由DF=：AC=GC,可得四边形DGCF为平行四边形.因此DG〃FC.

又FCJ_平面ABC,所以DG_L平面ABC.

在4ABC中，由AB_LBC,ZBAC=45°,G是AC中点得AB=BC,GB1GC.因此GB,GC,GD两两垂直.

以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.

所以G(0,0,0),B(V2,0,0),C(0,V2,0),D(0,0,1).

可得H俘,弓,0）尸（0,企,1）,

故而=（今日,0），於=（0,⑸）.

设n=（x,y,z）是平面FGH的法向量,

则由卜

可得平面FGH的一个法向量n=(l,-I,V2).

因为旗是平面ACFD的T法向量，旗=(々,0,0),

所以cos(福n>=i§^j=然.

所以平面FGH与平面ACFD所成角(锐角)的大小为60°.

7.(2015天津.17,13分)如图，在四棱柱ABCD-ABCD中，侧棱AIA_L底面

ABCD,AB_LAC,AB=1,AC=AA|=2,AD=CD=V5,且点M和N分别为BQ和DQ的中点.

(1)求证:1^〃平面ABCD;

(2)求二面角D「AC-BI的正弦值；

(3)设E为棱A|B1上的点.若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为求线段A.E的长.

解析如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A|(0,0,2),B|(0,1,2),G(2,0,2),D|(1,-2,2).

又因为M,N分别为B|C和DQ的中点得M(l,i,l),N(l,-2,l).

⑴证明:依题意.可得n=(0,0,l)为平面ABCD的一个法向量.而=(0,-|,0).由此可得而•n=0,又因为直线MNC

平面ABCD,所以MN〃平面ABCD.

⑵福=(1,-2,2),前=(2,0,0).

设n1=(x,y,z)为平面ACD|的法向量，

则加•竺1=&即件2y+2z=0,

(九1•AC=0,(2%=0.

不妨设z=l,可得ni=(0,l,l).

设m=(x,y,z)为平面ACBi的法向量，则卜2•.=°，

(n2•AC=0,

又福=(0』,2)得卷窑=°，

不妨设/=】,可得n2=(0,-2,l).

因此有cos<mm>=品学-噂，

于是sin<ni,n2>=^^.

所以,二面角D「AC-B|的正弦值为甯.

⑶依题意,可设砧=京7瓦1，其中人口0,1],则E(0入2),从而近=(-1,入+2,1).又n=(0,0,l)为平面ABCD的T法向量,

由已知得cos<福n>=^44=।14,整理得X+4入-3=0,又因为入GO,1],所以X=V7-2.

|Nh|,|n|J(-l)2+(A+2)2+l2

所以，线段AIE的长为b2

龊匿3本题主要考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决

立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.

8.(2015安徽」9,13分)如图所示,在多面体ABD|DCBA中.四边形AABB,ADD|A|,ABCD均为正方形,E为

BQi的中点，过AhD,E的平面交C»于F.

(1)证明:EF〃B|C;

(2)求二面角E-AQ-Bi的余弦值.

解析⑴证明:由正方形的性质可知AB〃AB〃DC,且A|B尸AB=DC,所以四边形ABCD为平行四边形，从而

BQ〃A[D,又A]Dc面A|DE,B|CG面AQE.于是B|C〃面AQE.又BQu面B|CD|,面A|DEC面B|CD】=EF,所

以EF〃B|C.

(2)因为四边形AAiBiB,ADD|Ai.ABCD均为正方形，所以AA|_LAB,AA|_LAD,ABJ_AD且AA尸AB=AD,以A为

原点，分别以前，而，标为x轴,y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系,可得点的坐标

A(O,O,O),B(1,0,O),D(O,1,0),A|(O,0,1)B(1,0,1).D|(0,1,1),而E点为B孙的中点,所以E点的坐标为(050.5,1).

设面AQE的法向量ni=(n,S|,ti),而该面上向量砧=(0.5,050),石5=(0』,-1),由小,碓四,石亍得口舟山应满足

的方程组［°，?*产1=1,11)为其一组解.

isi-ti=0,

所以可取n,=(-l,l,l).

设面A|B|CD的法向量1)2=&尚即),而该面上向量晒=(1,0,0),砸=(0,1,-1),由此同理可得吸=(0,1,1).所以结合图

形知二面角E-AQB的余弦值为然瞿=34

龊理本题考查直线与直线的平行关系以及二面角的求解，考查空间想象能力、逻辑推理能力以及运算求解能

力.正确求解各点坐标以及平面法向量是解决问题的关键.

9.(2014课标11,18,12分)如图.四棱锥P-ABCD中底面ABCD为矩形,PA_L平面ABCD,E为PD的中点

(1)证明甲8〃平面AEC;

⑵设二面角D-AE-C为6(T,AP=1.AD=V5.求三棱锥E-ACD的体积.

解析(1)证明:连接BD交AC于点O,连接EO.

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点

又E为PD的中点，所以EO//PB.

又EOc平面AEC,PB4平面AEC,所以PB〃平面AEC.

(2)因为PAJ_平面ABCD.ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直如图，以A为坐标原点，荏的方向为x轴的正

方向,1羽为单位长,建立空间直角坐标系A-xyz,则D(O,VXO),E(O,今3,荏=(0弓,D

设B(m,0,0)(m>0卜则C(m,V3,0),^C=(m,V3,0).

设m=(x,y,z)为平面ACE的一个法向量.

•AC=0，(^+V3y=0百、

则《一即sn/1可取口=(一,-143).

Ui•AE=0,ey+]=0,Im)

又廿(1,0,0)为平面DAE的一个法向量.

由题设得|cos<ni,n2>l=*即HW，解得m=|.

2V3+4m422

因为E为PD的中点.所以三棱锥E-ACD的高为：

三棱锥E-ACD的体积V=VxV3x|x|=^.

O思路分析(1)在平面AEC内找出与PB平行的直线，分析题意可通过作三角形的中位线进行证明;(2)要求三棱

锥E-ACD的体积，易知三棱锥的高,又已知底面直角三角形的一直角边AD的长.故只需求出另一直角边CD的长.

可建立空间直角坐标系，利用向量法列方程(组)求解.

。易错警示对于第(2)问，二面角的平面角与两个半平面的法向量夹角相等或互补.部分同学容易错误认为仅相

等.另外，计算法向量时可能出错.

【三年模拟】

一.选择题(每小题5分，共20分)

1.(2019四川泸州质检,7)已知直线1和两个不同的平面a,。,则下列命题中，是真命题的是()

A.若l〃a,且1〃0,则a//pB.若l±a,fi1_1_仇则a〃p

C.若lua,且a±p,5!!jl±pD.若l〃a,且a〃伏则1〃。

答案B

2.（2019内蒙古赤峰4月模拟,6）已知a和［3是两个不同平面.anp=l,l|,12是与1不同的两条直线，且

hua,l2<=0,h〃b.那么下列命题正确的是（）

A.1与15都不相交

B.1与都相交

C.1恰与U?中的一条相交

D.1至少与1/中的一条相交

答案A

3.（2019河南郑州一模,10）已知直三棱柱ABC-AiBiC,的底面为等腰直角三角形,ABLAC,点M,N分别为

AB1,A|C上的动点,若直线MN〃平面BCGB1,Q为线段MN的中点，则点Q的轨迹是（）

A.双曲线的一支（一部分）B.圆弧（一部分）

C.线段（去掉一个端点）D.抛物线的一部分

答案C

4.（2020届吉林长春9月联考,10）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A|B|GD|中,E,F,G分别是棱AB,BC,CG的中

点,P是底面ABCD内一动点,若直线DP与平面EFG不存在公共点厕三角形PBBi的面积的最小值为（）

ATB.lC,V2D.2

答案C

二、填空题（共5分）

5.（2019豫北名校4月联考,14）在斜三棱柱ABC-A山iG中，点D,D।分别为AC,AQi上的点，若平面BC।D〃平面

ABR,则梦.

答案1

三、解答题（共60分）

6.（2018江西南昌二中月考,19）在直三棱柱ABC-ABC中,NBAC=9（T,AB=AC=VI,AA=1,点M,N分别为A'B和

BC的中点.

⑴证明加根平面A'ACC';

（2）求三棱锥A'-MNC的体积.

解析⑴证法一:连接AB1AC1,

因为三棱柱ABC-ABC为直三棱柱.所以M为AB，的中点.

又因为N为BC的中点，所以MN〃AC；

又MNG平面A'ACC',AC'c平面A'ACC,

所以MN〃平面A'ACC'.

证法二:取AB的中点P,连接MP,NP.

又因为M,N分别为A'B和BC的中点，

所以MP〃BB；NP〃AC，易知AA，〃BB；所以MP〃AA：

因为MPC平面A'ACC',AA'c平面A'ACC',

所以MP〃平面AACC；同理.NP〃平面A'ACC'.

又MPC1NP=P.因此平面MPN〃平面A'ACC.

又MNu平面MPN.因此MN〃平面A'ACC'.

⑵连接BN,由题意知A，N_LBC,因为平面ABC'A平面B，BCC=BC,平面ABC」平面B'BCC,

所以AN_L平面NBC.又AN争C'=l,

故VA、MNC=VN-AMC=|VNWBCWVA-NBCV

7.(2020届山西太原五中第二次诊断,18)已知三棱锥P-ABC中,△ABC为等腰直角三角形.AB=AC=1,PB=PC=>^,

设点E为PA的中点，点D为AC的中点，点F为PB上一点.且PF=2FB.

(1)证明:BD〃平面CEF;

⑵若PA_LAC.求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

解析本题考查线面平行的判定以及线面角的求解.考查的核心素养是逻辑推理和数学运算.

⑴证明:连接PD交CE于G点，连接FG,•点E为PA的中点点D为AC的中点,，点G为APAC的重

心二.PG=2GD,VPF=2FB,:.FG〃BD.

又,/FGc平面CEF.BDC平面CEF,二BD//平面CEF.

(2)•/AB=AC,PB=PC,PA=PA,:.△PAB注△PAC,：PA±AC,APAJ_AB,可得PA=2,又VAB±AC,:.AB.AC.AP两

两垂直，以A为坐标原点,AB、AC、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz,

则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),E(0,0,1),BC=(-1,l,0),BP=(-lA2),CE=(0,-l,l).

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),

则•匣=r+y=0,取Z=L得n=(2,2,i).

(n,BP=—x+2z=0,

设直线CE与平面PBC所成角为0,则sinA|cos<n,荏>|=需邛.

A直线CE与平面PBC所成角的正弦值为

8.（2018云南曲靖一中4月月考,19）如图，在四棱锥P-ABCD中底面ABCD为正方形,PD_LDA.PDJ_DC.

⑴若E是PA的中点，求证:PC//平面BED;

⑵若PD=AD,PE=2AE,求直线PB与平面BED所成角的正弦值.

解析⑴证明:连接AC,交BD于G,连接EG,在三角形ACP中.中位线EG〃PC,又EGc平面BED,PCG平面

BED,；.PC〃平面BED.

⑵设CD=2,则AB=BC=AD=PD=2,且PE^PA以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐

标系，则D(0,0,0),A(2,0,0),Eg,0,|),C(0,2,0),B(2,2,0),P(0,0,2),

二DB=(2,2,0),DE=g,0,1),PB=(2,2,-2).

.DR-n(2%+2y=0,

设平面BED的法向量为Ex"),则:.号二+殳=°令x"则y=g,X