椭圆专题训练卷(含解析)

椭圆专题训练卷(含解析)

1.在椭圆上，设点P与两个焦点F1、F2的距离之和为2516，则求P点坐标的问题。2.判断“|x|≤4且|y|≤3”是否是“x^2/9+y^2/16≤1”的充分必要条件。3.已知椭圆x^2/a^2+y^2=1的焦点在y轴上，且焦距为4，则求椭圆的参数m。4.已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左顶点为A，上顶点为B，且OA=3OB（O为坐标原点），则求椭圆的离心率。5.已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1经过点(1,b)，且离心率为1/2，则求椭圆的方程。6.已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0），F为左焦点，A、B为左、右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴。过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。若直线BM经过OE的中点，则求椭圆C的离心率。7.已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0），焦距为2c，直线y=2x与椭圆C相交于A、B两点，且AB=2c，则求椭圆C的离心率。8.已知椭圆x^2/a^2+y^2=1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在椭圆上，且在y轴的左侧过点F2作∠F1MF2的角平分线的垂线，垂足为N，若ON=2，则求MF2-MF1的值。1B1B2是正方形2、修改后的文章：9.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左、右焦点分别为$F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$，点$N(c,\sqrt{3}a)$在椭圆的外部，点$M$是椭圆上的动点，满足$MF_1+MN<F_1F_2$恒成立，则椭圆离心率$e$的取值范围是（）解析：设点$M$为$(a,b)$，则由椭圆的性质知$MF_1=\sqrt{(a+c)^2+b^2}$，$MN=\sqrt{(a-c)^2+(b-\sqrt{3}a)^2}$，$F_1F_2=2c$，代入不等式得：$$\sqrt{(a+c)^2+b^2}+\sqrt{(a-c)^2+(b-\sqrt{3}a)^2}<2c$$整理得：$$\sqrt{4a^2+b^2+2ac}+\sqrt{4a^2+b^2-2ac-2\sqrt{3}ab+3a^2}<4c$$平方得：$$8a^2+2b^2+2ac+2\sqrt{(4a^2+b^2+2ac)(4a^2+b^2-2ac-2\sqrt{3}ab+3a^2)}+6a^2-2ac-2\sqrt{3}ab<16c^2$$整理得：$$\sqrt{(4a^2+b^2+2ac)(4a^2+b^2-2ac-2\sqrt{3}ab+3a^2)}<c^2-(a^2-ab+b^2)$$由于$c^2=a^2+b^2$，代入得：$$\sqrt{(4a^2+b^2+2ac)(4a^2+b^2-2ac-2\sqrt{3}ab+3a^2)}<2ab$$平方得：$$(4a^2+b^2+2ac)(4a^2+b^2-2ac-2\sqrt{3}ab+3a^2)<4a^2b^2$$整理得：$$16a^4+20a^2b^2+4b^4-8a^2c^2-8b^2c^2<0$$代入$c^2=a^2+b^2$得：$$16a^4+20a^2b^2+4b^4-8a^4-8b^4<0$$化简得：$$4a^4+6a^2b^2+b^4<0$$显然不成立，因此不存在这样的点$M$，即任意点$P$都不满足题目条件，故选项为$\boxed{\text{(D)}}$。11.已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左焦点$F$，焦距为$2$，过点$F$的弦长最小值不小于$2$，则该椭圆的离心率可以是()解析：设椭圆的右焦点为$F'$，则离心率为$e=\frac{FF'}{2a}$。由于过点$F$的弦长最小值不小于$2$，故过点$F$的弦长为$2$的弦与椭圆相切，即过点$F$的切线为椭圆的主轴，又由于$F$为左焦点，故椭圆的右焦点$F'$在$x$轴的负半轴上。设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，则过点$F$的切线方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，令$x=0$得$y=b$，即切点为$(0,b)$。设点$P(x,y)$在椭圆上，则$PF=\sqrt{(x+1)^2+y^2}$，$PF'=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$，代入离心率公式得：$$e=\frac{\sqrt{(x+1)^2+y^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2}}{2a}$$由于过点$F$的弦长最小值不小于$2$，故过点$F$的弦长为$2$的弦与椭圆相切，即切点为$(0,b)$，代入得：$$e=\frac{\sqrt{b^2+(x-1)^2}+\sqrt{b^2+(x+1)^2}}{2a}$$令$\sqrt{b^2+(x-1)^2}=y$，$\sqrt{b^2+(x+1)^2}=z$，则$y^2-x^2=2x-1$，$z^2-x^2=2x+1$，解得：$$x=\frac{1}{2}(y+z)$$代入得：$$e=\frac{y+z}{2a}=\frac{\sqrt{b^2+(x-1)^2}+\sqrt{b^2+(x+1)^2}}{4ab}$$化简得：$$e=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2b}$$由于$a>b$，故$\frac{\sqrt{5}-1}{2}<e<1$，故选项为$\boxed{\text{(B,C)}}$。12.椭圆$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$的右焦点为$F$，点$P$是椭圆$C$上的动点，则$|PF|$的值可能是（）解析：设椭圆的左焦点为$F'$，则离心率为$e=\frac{FF'}{2}$。设点$P$的坐标为$(x,y)$，则$PF=\sqrt{(x-2)^2+y^2}$，代入离心率公式得：$$e=\frac{\sqrt{(x-2)^2+y^2}}{2}$$由于椭圆的右焦点为$(2,0)$，故$x\geqslant2$，代入得：$$e=\frac{\sqrt{(x-2)^2+y^2}}{2}\geqslant\frac{x-2}{2}$$又由于$e\leqslant1$，故$\frac{x-2}{2}\leqslant1$，解得$x\leqslant4$。因此$|PF|$的取值范围为$[0,2\sqrt{5}]$，故选项为$\boxed{\text{(A,B,C,D)}}$。13.设椭圆$C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左、右焦点分别为$F_1$，$F_2$，点$P$为椭圆$C$上一动点，则下列说法中正确的是（）解析：设椭圆的左、右半轴分别为$a$，$b$，离心率为$e$，则$b=\sqrt{3}$，$a=2$，$e=\frac{\sqrt{3}}{2}$。设点$P$的坐标为$(x,y)$，则$PF_1=\sqrt{(x-\sqrt{3})^2+y^2}$，$PF_2=\sqrt{(x+\sqrt{3})^2+y^2}$，$F_1F_2=2a=4$，代入等式得：$$\sqrt{(x-\sqrt{3})^2+y^2}\cdot\sqrt{(x+\sqrt{3})^2+y^2}=4e^2=3$$平方得：$$(x-\sqrt{3})^2y^2+(x+\sqrt{3})^2y^2+x^2y^2=3$$化简得：$$x^2+y^2=1$$因此点$P$在单位圆上，故选项为$\boxed{\text{(C)}}$。14.我们通常称离心率为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$的椭圆为“黄金椭圆”。已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，$A_1$，$A_2$，$B_1$，$B_2$为顶点，$F_1$，$F_2$为焦点，$P$为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆$C$为“黄金椭圆”的有（）解析：根据“黄金椭圆”的定义，离心率为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，即$\frac{F_1F_2}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，代入得：$$\frac{2\sqrt{a^2-b^2}}{2a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$化简得：$$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}b$$设$A_1$，$A_2$，$B_1$，$B_2$的坐标分别为$(-a,0)$，$(a,0)$，$(0,b)$，$(0,-b)$，则由于$F_1$，$F_2$在$x$轴上，故$P$也在$x$轴上，设$P$的坐标为$(x,0)$，则代入等式得：$$\sqrt{(x+a)^2}+\sqrt{(x-a)^2}=\sqrt{5}a$$整理得：$$x^2-a^2=\frac{a^2}{4}(5-\sqrt{5})$$代入$a=\frac{\sqrt{5}+1}{2}b$得：$$x^2-\frac{3+\sqrt{5}}{2}b^2=\frac{b^2}{4}(5-\sqrt{5})$$设$b=1$，则$x^2-\frac{3+\sqrt{5}}{2}=\frac{1}{4}(5-\sqrt{5})$，解得$x=\pm\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。因此$P$的坐标为$\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2},0\right)$或$\left(-\frac{\sqrt{5}-1}{2},0\right)$，故选项为$\boxed{\text{(A,B,D)}}$。2.2.将文章中的格式错误删除，小幅度改写每段话。B1.椭圆的内切圆过焦点F1,F2。2.单空题：15.若椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，且此椭圆的焦距为4，则实数a=10/(a^2-4)。16.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，若C的短轴长为46，且两个焦点恰好为长轴的2个相邻的五等分点，则此椭圆的标准方程为x^2/2116+y^2/1849=1。17.已知A、F分别是椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0）的下顶ab/3点和左焦点，过A且倾斜角为60°的直线l分别交x轴和椭圆C于M，N两点，且N点的纵坐标为b，若FMN的周长为6，则FAN的面积为3/4ab。3.双空题：18.椭圆x^2/4+y^2/3=1的离心率是√(1-3/4)=1/2，焦距长是2√(3)。19.椭圆x^2/9+y^2/4=1的焦点为F1(0,2√(5))，F2(0,-2√(5))，点P在椭圆上，若PF1=4，PF2=2，则∠F1PF2的大小为60°。20.若方程x^2/(m+2)+y^2/(m-1)=1表示椭圆，则实数m的取值范围是(-∞,-2)∪(1,∞)，当m=-1时，x^2/3+y^2/2=1表示椭圆，椭圆的焦点坐标为(0,±√(2))。21.已知椭圆C:x^2/16+y^2/9=1的焦点是F1(0,2)和F2(0,-2)，A,B是C上（不在长轴上）的两点，且F1A//F2BM为AB的中垂线，则M的轨迹所在的曲线是x^2/16+y^2/4=1，离心率为1/2。4.解答题：22.已知椭圆的中心在原点，焦距为6，且经过点（0,4）。设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则有a^2-b^2=6^2/4=9。又因为点（0,4）在椭圆上，代入椭圆的标准方程得16/b^2+0=1，即b=4/√3。代入a^2-b^2=9可得a^2=25/3。因此，椭圆的标准方程为3x^2/25+y^2/16=1。23.焦点在x轴上的椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，点P(2,1)在椭圆上。（1）由点P在椭圆上可得4/a^2+1/b^2=1，代入椭圆的焦距公式可得6=2a√(1-b^2/a^2)，化简得a^2=25/3，代入4/a^2+1/b^2=1可得b^2=7/3，因此m=b^2/a^2=7/25。（2）长轴长为2a=2√(25/3)，短轴长为2b=2√(7/3)，焦距为2√(a^2-b^2)=4，离心率为c/a=√(a^2-b^2)/a=2/√(3)。24.设点P(x,y)是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上一动点。（1）点P到椭圆的两个焦点F1(c,0)和F2(-c,0)的距离之和为2a，即PF1+PF2=2a。代入坐标得√((x-c)^2+y^2)+√((x+c)^2+y^2)=2a，化简得x^2/a^2+y^2/b^2=1，即椭圆的方程为x^2/16+y^2/9=1。（2）点P到直线y=kx的距离为|kx-y|/√(k^2+1)，代入椭圆的方程可得|kx-y|=√(16-k^2x^2)，化简得k^2x^2-y^2/k^2=16/(k^2+1)，即y^2=k^2(16/(k^2+1)-x^2)。由于点P在椭圆上，代入椭圆的方程可得x^2/a^2+(k^2(16/(k^2+1)-x^2))/b^2=1，化简得x^4+(a^2b^2-k^2a^2x^2-k^2b^2x^2)/(k^2+1)=0。由于点P在椭圆上，所以该方程有实数解，即判别式大于等于0，解得k^2<=a^2/(a^2+b^2)，即k的取值范围为[-√(3)/4,√(3)/4]。当k=-√(3)/4或k=√(3)/4时，点P到直线的距离最大，为3/2√(3)。25.已知椭圆的两焦点为F1(0,2)和F2(0,-2)。（1）椭圆的中心为原点，长轴长为2a=4，焦距为2c=4，因此椭圆的方程为x^2/4+y^2/3=1。（2）离心率为c/a=1/√(3)，长轴长为2a=4，短轴长为2b=2√(3)，焦点坐标为F1(0,2)和F2(0,-2√(3))。$\frac{3}{4}$C．$\frac{4}{5}$D．$\frac{5}{6}$【答案】C【解析】设椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，则$2c=2a$，即$c=a$，代入椭圆方程得：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$由题可知，直线$l:y=2x$与椭圆相交于$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$，且$AB=2c=2a$，则有：$$\begin{cases}\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{(2x_1)^2}{b^2}=1\\\frac{x_2^2}{a^2}+\frac{(2x_2)^2}{b^2}=1\\(x_1-x_2)^2+y_1^2=(2a)^2\end{cases}$$将第一、二个方程相减，消去$b$，得到：$$\frac{x_1^2-x_2^2}{\frac{a^2}{4}}=1$$即$x_1^2-x_2^2=\frac{a^2}{4}$，将其代入第三个方程，得到：$$(x_1-x_2)^2+y_1^2=4a^2$$即$(x_1-x_2)^2+(b^2-\frac{x_1^2}{a^2})=4a^2$，整理得：$$x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+\frac{b^2}{a^2}=\frac{3}{4}a^2$$注意到$x_1+x_2=0$，则有$x_1=-\frac{a}{2}$，$x_2=\frac{a}{2}$，代入上式得到：$$\frac{b^2}{a^2}=\frac{5}{16}$$因此，椭圆的离心率为：$$e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\frac{5}{16}}=\frac{3}{4}$$故选C。，F2，则F1F2的长度为（）A．2aB．2bC．abD．3a【答案】A【解析】由椭圆的标准方程可知，2a为椭圆长轴长度，2b为椭圆短轴长度，而F1,F2分别为长轴上离心率为e的点和-e的点，所以F1F2的长度为2ae，即2a。故选A。2的中垂线为x轴，故当点P不在x轴上时，$\trianglePF_1F_2$的周长为$2\sqrt{(PF_1)^2+(PF_2)^2}=2\sqrt{(2a)^2+(2c)^2}=2\sqrt{16+4}=6$，故选A。$\because$椭圆的面积为$\piab=\pi\times2\times3=6\pi$，$\therefore$当点P不在x轴上时，$\trianglePF_1F_2$的面积最大值为$\dfrac{1}{2}\times2a\times2c=2ac=2\times2\times1=4<3\sqrt{3}$，故选B错误。由椭圆定义可知，对于任意点P，PF1+PF2=2a=4，故PF1的取值范围是[PF1+PF2-2c,PF1+PF2]=[0,6]，故选D错误。综上，选项A、B、D正确，故选ABD。已知椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，其中$A_1(-a,0),A_2(a,0),B_1(0,b),B_2(0,-b)$为顶点，$F_1(-c,0),F_2(c,0)$为焦点，$P$为椭圆上一点，满足条件：$ab=\frac{1}{\sqrt{5}}a^2$，则椭圆C为“黄金椭圆”的有（）A.$|A_1F_1|,|F_1F_2|,|F_2A_2|$为等比数列B.$\angleF_1B_1A_2=90^\circ$C.$PF_1\perpx$轴，且$PO\parallelA_2B_1$D.四边形$A_1B_2A_2B_1$的内切圆过焦点$F_1,F_2$解析：对于A：$|A_1F_1|,|F_1F_2|,|F_2A_2|$为等比数列，则$|A_2F_2|\cdot|F_1A_1|=|F_1F_2|$。$\because(a-c)^2=4c^2$$\thereforea-c=2c$$\thereforee=\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$\therefore|A_2F_2|=a+c=\frac{2a}{\sqrt{5}},|F_1A_1|=a-c=\frac{a}{\sqrt{5}},|F_1F_2|=\frac{2a}{\sqrt{5}}$$\therefore$不满足条件，故A错误；对于B：$\angleF_1B_1A_2=90^\circ$$\becauseA_2F_2=B_1F_1$$\therefore\angleF_1B_1A_2=90^\circ$$\therefore$B正确；对于C：$PF_1\perpx$轴，且$PO\parallelA_2B_1$$\becausePF_1\perpx$轴$\therefore$$P$在$x$轴上的投影为$P(x,0)$$\becausePO\parallelA_2B_1$$\therefore\frac{y}{b}=\frac{x}{a}$$\thereforex=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$$\thereforePF_1=\sqrt{(x+c)^2+y^2}=\sqrt{\frac{a^2}{a^2+b^2}(a+c)^2+b^2}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot\sqrt{a^2+2ac}$$\becauseab=\frac{1}{\sqrt{5}}a^2$$\thereforePF_1=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot\sqrt{a^2+2\sqrt{5}ab}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot\sqrt{3a^2}$$\thereforePF_1=\sqrt{3}\cdota$$\therefore$C错误；对于D：四边形$A_1B_2A_2B_1$的内切圆过焦点$F_1,F_2$$\because\angleA_1F_1B_2=\angleB_2F_2A_1=90^\circ$$\therefore$四边形$A_1B_2A_2B_1$的内切圆过$F_1,F_2$。$\therefore$D正确；综上，选BD。1.剔除格式错误和有问题的段落后，文章变为：1.或e=（舍去）满足条件2.b2P-c,akPOb2=kA2B1即ab解得b=c=-c-aa2=b2+c2e=cc2不满足题意，故C错误；=a22c对于D：四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1,F2即四边形A1B2A2B1的内切圆的半径为c，ab=ca2+b2c4-3a2c2+a4=e4-3e2+1=解得e2=5-123-53+5（舍去）或e2=22e=故D正确故选：BD2.改写后的文章：或e=（舍去）满足条件。根据公式P=(-c,k)和PO=b^2/k，其中O为椭圆的中心，解得ab=b(c+a)，即b=c-a。代入公式a^2=b^2+c^2，解得e=cc2/a22c。因为不满足题意，所以C错误；而对于D，四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1,F2，即其内切圆的半径为c，而根据公式ab=ca^2+b^2，解得c^4-3a^2c^2+a^4=0，进一步解得e^4-3e^2+1=0，即e^2=（5-√5）/2或（5+√5）/2。舍去负根号，得到e=√[(5-1)/2]或√[(5+1)/2]，即e=φ或√5/2。因此，选项BD正确。【答案】（1）椭圆方程为9x^2+4y^2=36；（2）直线AB的斜率为-3/4。【解析】（1）由题意可知，点P(-2,1)在椭圆上，代入椭圆标准方程得：9(-2)^2+4(1)^2=36化简得椭圆方程为9x^2+4y^2=36。（2）设椭圆的焦点为F，直线AB的斜率为k，由题意可知，直线OP经过弦AB的中点，因此弦AB的中点为椭圆的中心点O。设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则椭圆的中心点为原点O(0,0)，焦距为c，有：c^2=a^2-b^2又由题意可知，直线AB不经过原点O，因此直线AB的方程为y=kx+d，代入椭圆方程得：9x^2+4(kx+d)^2=36化简得：(4k^2+9)x^2+8kd+4d^2-36=0由于A、B都在椭圆上，因此方程有两个解，即有两个不同的x坐标，设为x1和x2，则有：x1+x2=0由于直线OP经过弦AB的中点，因此弦AB的中点坐标为(-k/2,(k/2)d)，代入椭圆方程得：9(-k/2)^2+4((k/2)d)^2=36化简得：k^2+4d^2=16联立以上两个方程，解得：k=-3/4,d=3/2因此，直线AB的斜率为-3/4。27.（2018·西藏拉萨中学高二期末（理））椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，右焦点F的坐标为（2，0），且点F到短轴的一个端点的距离是6。（1）求椭圆C的方程；（2）过点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A、B两点，若OA×OB>-4，求k的取值范围。解（1）：由已知，椭圆C的中心在坐标原点，故椭圆C的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中a和b分别为椭圆C的长轴和短轴。又因为焦点在x轴上，故c=a，其中c为椭圆C的焦距。点F到短轴的一个端点的距离是6，即b=6。点F的坐标为（2，0），故c=2。代入焦距公式c^2=a^2-b^2，得a^2=c^2+b^2=40。因此，椭圆C的方程为x^2/40+y^2/36=1。解（2）：过点F作斜率为k的直线l，设该直线方程为y=kx。直线l与椭圆C交于A、B两点，设点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2）。根据椭圆方程，得到以下方程组：x1^2/40+y1^2/36=1，x2^2/40+y2^2/36=1，y1=kx1，y2=kx2。将y1和y2代入方程组中，消去y1和y2，得到以下方程组：x1^2+40k^2x1^2/9=40，x2^2+40k^2x2^2/9=40。由于椭圆C的中心在坐标原点，故点O的坐标为（0，0）。根据题意，OA×OB>-4，即（x1^2+y1^2）×（x2^2+y2^2）>-4。代入x1=kx2，y1=kx1，y2=kx2，得到以下不等式：(k^2+1)(x1^2+x2^2)>4/9。根据椭圆方程，得到以下不等式：x1^2/40+y1^2/36≤1，x2^2/40+y2^2/36≤1。代入y1=kx1，y2=kx2，得到以下不等式：k^2x1^2/36+x1^2/40≤1，k^2x2^2/36+x2^2/40≤1。将不等式左右两边都乘以9/4，得到以下不等式：k^2x1^2/10+9x1^2/40≤9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