2021-2022学年山西省太原市英才中学高三数学文联考试卷含解析

2021-2022学年山西省太原市英才中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=，若关于x的方程f[f（x）]=0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0）∪（0，1） C．（0，1） D．（0，1）∪（1，+∞）参考答案：B【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用换元法设f（x）=t，则方程等价为f（t）=0，根据指数函数和对数函数图象和性质求出t=1，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：令f（x）=t，则方程f[f（x）]=0等价为f（t）=0，由选项知a≠0，当a＞0时，当x≤0，f（x）=a?2x＞0，当x＞0时，由f（x）=log2x=0得x=1，即t=1，作出f（x）的图象如图：若a＜0，则t=1与y=f（x）只有一个交点，恒满足条件，若a＞0，要使t=1与y=f（x）只有一个交点，则只需要当x≤0，t=1与f（x）=a?2x，没有交点，即此时f（x）=a?2x＜1，即f（0）＜1，即a?20＜1，解得0＜a＜1，综上0＜a＜1或a＜0，即实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1），故选：B．2.有下列四种变换方式：①向左平移,再将横坐标变为原来的;②横坐标变为原来的,再向左平移;③横坐标变为原来的,再向左平移;④向左平移,再将横坐标变为原来的;其中能将正弦曲线的图像变为的图像的是（

）A.①③

B.①②

C.②④

D.①②④参考答案：B3.

已知函数(a>0,a≠1)的图象如图所示，则a,b满足的关系是

(

）A．0<a<b<1

B．0<b<a<1

C．0<a<1<b

D．0<b<1<a参考答案：A4.已知函数是R上的偶函数,其图象过点,又f(x)的图象关于点对称,且在区间上是减函数，则=(A).

(B)

(C)

(D)参考答案：C5.抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体，在此旋转体内水平放入一个正方体，使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐，则此正方体的棱长是（A）1

（B）2

（C）

（D）参考答案：B，做出轴截面，设正方体的边长为，则，为面的对角线，所以，所以，代入得。所以，即，解得，所以正方体的体积为。选B.【答案】略6.割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现。下图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法。在△ABC内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据题意可得该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，即可得解.【详解】由题得.所以“盈”的区域的面积等于“虚”的区域的面积.而“虚”的区域占矩形区域的面积的四分之一，所以该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，故该点落在标记“盈”的区域的概率为，故选：．【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，考查了数学文化知识，属于基础题7.已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x=(

) A． B． C． D．参考答案：D考点：二倍角的正切．专题：计算题．分析：由cosx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，进而求出tanx的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即可求出值．解答： 解：由cosx=，x∈（﹣，0），得到sinx=﹣，所以tanx=﹣，则tan2x===﹣．故选D点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx和tanx时注意利用x的范围判定其符合．8.等比数列{an}中，前n项的和为Sn，已知a3=，则S6等于(

) A． B．9或 C． D．9或参考答案：B考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：分类讨论：当q=1时S6=9；当q≠1时可得a1和q的方程组，解方程组代入求和公式可得．解答： 解：设等比数列{an}的公比为q，当q=1时，显然满足a3=，此时S6=6×=9；当q≠1时，可得a1q2=a3=，a1+a1q+a1q2=S3=，解得a1=6，q=，∴S6==综上可得S6等于9或故选：B点评：本题考查等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属基础题．9.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），过点A作准线l的垂线，垂足为E，若∠AFE=60°，则△AFE的面积为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质，利用夹角公式，求出A的坐标，即可计算三角形的面积．【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1．设E（﹣1，2a），则A（a2，2a），∴kAF=，kEF=﹣a，∴tan60°=，∴a=，∴A（3，2），∴△AFE的面积为=4故选：A．10.定义在区间[a，b]（b＞a）上的函数的值域是，则b﹣a的最大值M和最小值m分别是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】利用两角差的正弦化简得，f（x）=sin（），由函数f（x）在上的值域为，不妨设，可得b﹣∈[]，由此可得b﹣a的最大值M和最小值m的值．【解答】解：=sin（），∵x∈[a，b]（b＞a），∴，由函数f（x）在上的值域为，不妨设，则b﹣∈[]，∴b﹣a的最大值M=；最小值m=．故选：D．【点评】本题考查两角差的正弦，考查了三角函数的值是基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{}的前几项为：用观察法写出满足数列的一个通项公式＝＿＿＿参考答案：，或12.若(n为正偶数)的展开式中第5项的二项式系数最大，则第5项是

．参考答案：x613.已知向量的夹角为，且，，则

．参考答案：2根据向量的点积运算得到，向量的夹角为，，故，计算得到.故答案为2.

14.对于任意恒成立，则实数a的取值范围______.参考答案：15.直线与曲线的交点为，过点作轴的垂线，这条垂线与曲线的交点为，则线段的长度为

．参考答案：16.设满足条件的点构成的平面区域的面积为，满足条件的点构成的平面区域的面积为（其中，分别表示不大于x，y的最大整数，例如，），给出下列结论：①点在直线左上方的区域内；②点在直线左下方的区域内；③；④．其中所有正确结论的序号是___________．参考答案：①③；17.设x，y满足约束条件则z=x﹣3y的取值范围为．参考答案：[﹣2，4]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（，），联立，解得B（4，0），由图可知，当目标函数z=x﹣3y过A时，z有最小值为﹣2；当目标函数z=x﹣3y过B时，z有最大值为：4．故答案为：[﹣2，4]．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设a∈R，函数f(x)＝lnx－ax.（1）讨论函数f(x)的单调区间和极值；（2）已知（e为自然对数的底数）和x2是函数f(x)的两个不同的零点，求a的值并证明：x2＞e.参考答案：解：（1）函数f(x)的定义域为（0，＋∞）.求导数，得f′(x)＝－a＝.①若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)是（0，＋∞）上的增函数，无极值；②若a＞0，令f′(x)＝0，得x＝.当x∈（0，）时，f′(x)＞0，f(x)是增函数；当x∈（，＋∞）时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.所以当x＝时，f(x)有极大值，极大值为f()＝ln－1＝－lna－1.综上所述，当a≤0时，f(x)的递增区间为（0，＋∞），无极值；当a＞0时，f(x)的递增区间为（0，），递减区间为（，＋∞），极大值为－lna－1.…（6分）（2）因为x1＝是函数f(x)的零点，所以f()＝0，即－a＝0，解得a＝.所以f(x)＝lnx－.因为f(e)＝－＞0，f(e)＝－＜0，所以f(e)f(e)＜0.由（1）知，函数f(x)在（2，＋∞）上单调递减，所以函数f(x)在区间（e，e）上有唯一零点，因此x2＞e.………………（12分）19.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲若实数a，b满足ab>0，且a2b=4，若a+b≥m恒成立．(Ⅰ)求m的最大值；(Ⅱ)若2|x-1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，求实数x的取值范围．

参考答案：(Ⅰ)解：由题设可得b=>0，∴a>0．∴a+b=a+=≥3，当a=2，b=1时，a+b取得最小值3，∴m的最大值为3．···········································5分(Ⅱ)解：要使2|x-1|+|x|≤a+b对任意的a，b恒成立，须且只须2|x-1|+|x|≤3．用零点区分法求得实数x的取值范围是-≤x≤．········································10分20.（本小题满分12分）已知函数在（0，1）上是增函数，（Ⅰ）实数m的取值集合为A，当m取集合A中的最小值时，定义数列满足且，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若,数列的前n项和为，求证：.参考答案：（1）由题意得f′（x）=﹣3x2+m，∵f（x）=﹣x3+mx在（0，1）上是增函数，∴f′（x）=﹣3x2+m≥0在（0，1）上恒成立，即m≥3x2，得m≥3，-----------------------------2分故所求的集合A为[3，+∞）；所以m=3，∴f′（x）=﹣3x2+3，∵，＞0，∴=3，即=3，∴数列{}是以3为首项和公比的等比数列，故；-------------------------------6分（2）由（1）得，bn=nan=，∴Sn=1?3+2?32+3?33+…+n?3n

①

3Sn=1?32+2?33+3?34+…+n?3n+1

②①﹣②得，﹣2Sn=3+32+33+…+3n﹣n?3n+1=﹣化简得，Sn=＞．----------------------------12分21.（本小题满分14分）正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．（1）求证：A1B∥平面AFC；（2）求证：平面A1B1CD平面AFC．参考答案：证明：（1）连接BD交AC于点O，连接FO，则点O是BD的中点．∵点F为A1D的中点，∴A1B∥FO．……4分

又平面AFC，平面AFC，∴A1B∥平面AFC．………………7分

（2）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，连接B1D．∵AC⊥BD，AC⊥BB1，∴AC⊥平面B1BD，AC⊥B1D．…………9分又∵CD⊥平面A1ADD1，平面A1ADD1，∴CD⊥AF．又∵AF⊥A1D，∴AF⊥平面A1B1CD．……………

…………12分∵AC⊥B1D，∴B1D⊥平面AFC．而B1D平面A1B1CD，∴平面A1B1CD平面AFC．……………14分22.为了引导居民合理用水，某市决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价，具体划分标准如表：阶梯级别第一阶梯水量第二阶梯水量第三阶梯水量月用水量范围（单位：立方米）（0，10]（10，15]（15，+∞）从本市随机抽取了10户家庭，统计了同一个月的用水量，得到如图所示的茎叶图．（1）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯水量的户数的分布列和均值；（2）用抽到的10户家庭作为样本估计全市的居民用水情况，从全市依次随机抽取10户，若抽到n户月用水量为第二阶梯水量的可能性最大，求出n的值．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由茎叶图可知：抽取的10户中用水量为一阶的有2户，二阶的有6户，三阶的有2户．取到第二阶梯水量的户数X的取值可能为0，1，2，3．利用P（X=k）=，可得X的概率分布列及其数学期望．（2）设从全市依次随机抽取10户，抽到Y户月用水量为第二阶梯水量，则Y～B．P（Y=k）=（k=0，1，2，…，10）．设t==．由t＞1，可得k＜6.6，P（Y=k﹣1）＜P（Y=k﹣1）．由t＜1，则k＞6.6，P（Y=k﹣1）＞P（Y=k﹣1），即可得出．【解答】解：（1）由茎叶图可知：抽