2022-2023学年广西壮族自治区桂林市西山中学高三数学理模拟试题含解析

2022-2023学年广西壮族自治区桂林市西山中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集U=R，集合，则（）A.[0,1] B.(0,1] C.[0,1) D.(－∞,1]参考答案：A【分析】求出集合M和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可．【详解】，，则，故选：A．【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题．2.若数列满足，则称数列为调和数列。已知数列为调和数列，且，则（

）A10

B20

C30

D40参考答案：B3.若曲线的所有切线中，只有一条与直线垂直，则实数的值等于

（

）A．0

B．2

C．0或2

D．3参考答案：B略4.已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数的图像如右图所示,则该函数的图像是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C5.如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0<a<12)、4m，不考虑树的粗细.现在想用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的最大面积为S，若将这棵树围在花圃内，则函数（单位m2）的图象大致是（

）

A

B.

C.

D.参考答案：C6.已知集合，其中ai∈且a3≠0，则A中所有元素之和等于(

)A．3240

B．3120

C．2997

D．2889参考答案：D略7.（文）已知函数＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是．A．(－1，2)

B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)C．(－3，6)

D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)参考答案：B8.已知圆的半径为2，椭圆的左焦点为，若垂直于x轴且经过F点的直线与圆M相切，则a的值为

A．

B．1

C．2

D．4参考答案：C9.函数图像的一条对称轴为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.若则A.a＜b＜c

B.a＜c＜b

C.c＜a＜b

D.b＜c＜a参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若一个球的体积是36π，则它的表面积是______参考答案：36π设铁球的半径为,则，解得；则该铁球的表面积为.考点：球的表面积与体积公式.12.已知向量，，若向量、互相平行，则=____________.参考答案：13.设不等式表示的平面区域为M，若直线y=kx﹣2上存在M内的点，则实数k的取值范围是

．参考答案：[2，5]【考点】简单线性规划．【分析】由题意，做出不等式组对应的可行域，由于函数y=kx+1的图象是过点A（0，﹣2），斜率为k的直线l，故由图即可得出其范围．．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，如图．因为函数y=kx﹣2的图象是过点A（0，﹣2），且斜率为k的直线l，由图知，当直线l过点B（1，3）时，k取最大值=5，当直线l过点C（2，2）时，k取最小值=2，故实数k的取值范围是[2，5]．故答案为：[2，5]．【点评】本题考查简单线性规划，利用线性规划的知识用图象法求出斜率的最大值与最小值．这是一道灵活的线性规划问题，还考查了数形结合的思想，属中档题．14.设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为．参考答案：1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：=．∵复数为纯虚数，∴，即a=1．故答案为：1．15.已知函数f（x）满足，则f（x）的最小值为

．参考答案：略16.（5分）展开式中的常数项为．参考答案：80【考点】：二项式系数的性质．【专题】：计算题；二项式定理．【分析】：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．

解：的展开式的通项公式为Tr+1=令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式中的常数项为80，故答案为：80．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数．17.已知数列{an}中，a1=1，an=an﹣1+（n≥2），则数列{an}的前9项和等于．参考答案：27【考点】数列递推式．【分析】通过an=an﹣1+（n≥2）可得公差，进而由求和公式即得结论．【解答】解：∵an=an﹣1+（n≥2），∴an﹣an﹣1=（n≥2），∴数列{an}的公差d=，又a1=1，∴an=1+（n﹣1）=，∴S9=9a1+?d=9+36×=27，故答案为：27．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数在处取得极值.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在上的最小值；（Ⅲ）求证：对任意，都有.参考答案：（Ⅰ） ……………1分由已知得即

……………2分解得：

…………3分当时，在处函数取得极小值，所以（Ⅱ），

.所以函数在递减，在递增.

……4分当时，在单调递增，.………5分当时，在单调递减，在单调递增，.…………6分当时，，在单调递减，…………7分综上

在上的最小值………8分（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

.令得因为所以

……………11分所以，对任意，都有………13分

略19.设双曲线Γ的方程为x2﹣=1，过其右焦点F且斜率不为零的直线l1与双曲线交于A、B两点，直线l2的方程为x=t，A、B在直线l2上的射影分别为C、D．（1）当l1垂直于x轴，t=﹣2时，求四边形ABDC的面积；（2）当t=0，l1的斜率为正实数，A在第一象限，B在第四象限时，试比较和1的大小，并说明理由；（3）是否存在实数t∈（﹣1，1），使得对满足题意的任意直线l1，直线AD和直线BC的交点总在x轴上，若存在，求出所有的t的值和此时直线AD与BC交点的位置；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】（1）由双曲线Γ的方程为x2﹣=1，可得c==2，可得右焦点F（2，0）．当l1垂直于x轴，t=﹣2时，由双曲线的对称性可得：四边形ABDC为矩形．即可得出面积．（2）作出右准线MN：x=．e==2．分别作AC⊥MN，垂足为M；BD⊥MN，垂足为N．利用双曲线的第二定义可得：=，==．（3）存在实数t∈（﹣1，1），t=时，定点．下面给出证明分析：设直线AB的方程为：y=k（x﹣2），A（x1，k（x1﹣2）），B（x2，k（x2﹣2））．则C（t，k（x1﹣2）），D（t，k（x2﹣2））．直线方程与双曲线方程联立化为：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，分别得出：直线AD与BC的方程，进而得出．【解答】解：（1）由双曲线Γ的方程为x2﹣=1，可得c==2，可得右焦点F（2，0）．当l1垂直于x轴，t=﹣2时，由双曲线的对称性可得：四边形ABDC为矩形．代入双曲线可得：22﹣=1，焦点y=±3．∴四边形ABDC的面积S=4×6=24．（2）作出右准线MN：x=．e==2．分别作AC⊥MN，垂足为M；BD⊥MN，垂足为N．则==+．===．∵|AF|＞|FB|，∴＜．∴＜1．（3）存在实数t∈（﹣1，1），t=时，定点．下面给出证明：设直线AB的方程为：y=k（x﹣2），A（x1，k（x1﹣2）），B（x2，k（x2﹣2））．则C（t，k（x1﹣2）），D（t，k（x2﹣2））．联立，化为：（3﹣k2）x2+4k2x﹣4k2﹣3=0，可得x1+x2=，x1?x2=．直线AD的方程为：y﹣k（x1﹣2）=（x﹣x1），令y=0，解得x=．直线BC的方程为：y﹣k（x2﹣2）=（x﹣x2），令y=0，解得x=．由=，可得：（2+t）（x1+x2）﹣2x1?x2﹣4t=0．∴（2+t）?﹣2?﹣4t=0．化为：t=，不妨取k=1，则2x2+4x﹣7=0，解得x=．不妨取x1=，x2=．定点的横坐标x===．∴定点坐标．【点评】本题考查了双曲线的第二定义、直线与双曲线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、直线过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.已知函数（）（1）求函数的最大值，并指出取到最大值时对应的的值；（2）若，且，计算的值.参考答案：略21.设函数，其中为常数．（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；（2）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点参考答案：解

当时，，函数在定义域上单调递增．

（2）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．

②时，有两个相同的解，时，时，函数在上无极值点．

③当时，有两个不同解，时，，,此时，随在定义域上的变化情况如下表：由此表可知：时，有惟一极小值点，

当时，0<<1此时，，随的变化情况如下表：由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；

综上所述：当且仅当时有极值点;当时，有惟一极小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点略22.已知函数．（Ⅰ）当x∈（0，1）时，求f（x）的单调性；（Ⅱ）若h（x）=（x2﹣x）?f（x），且方程h（x）=m有两个不相等的实数根x1，x2．求证：x1+x2＞1．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先求导，再构造函数，根据导数和函数的单调性的关系即可判断f（x）在（0，1）上的单调性，（Ⅱ）先求导，设h'（x0）=0，则x0∈（0，1），则h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，由（Ⅰ）知，即可证明x1+x2＞1．【解答】解：（Ⅰ），设g（x）=x﹣1﹣lnx，则，∴当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，∴g（x）＞g（1）=0，∴f'（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上单调递增．

（Ⅱ）h（x）=x2lnx﹣ax2+ax（a＜0），∴h'（x）=2xlnx+x﹣2ax+a，∴h''（x）=2lnx﹣2a+3