三角形内角和定理-获奖课件

5三角形内角和定理第2课时1.了解三角形外角的概念.2.掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明.3.引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形的角作全面的思考，体会几何中简单不等关系的证明.1.证明命题的一般步骤:(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);(2)根据题意,画出图形;(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;(4)分析题意,探索证明思路(由“因”导“果”,执“果”索“因”.);(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;(6)检查表达过程是否正确,完善.2.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.∠A+∠B+∠C=180°的几种变形:∠A=180°–(∠B+∠C).∠B=180°–(∠A+∠C).∠C=180°–(∠A+∠B).∠A+∠B=180°-∠C.∠B+∠C=180°-∠A.∠A+∠C=180°-∠B.这里的结论,以后可以直接运用.ABC如图.∠1是△ABC的一个外角,∠1与图中的其他角有什么关系?∠1+∠4=180°；∠1>∠2；∠1>∠3；∠1=∠2+∠3.ABCD1234证明:∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理),∠1+∠4=180°(平角的定义),∴∠1=∠2+∠3.(等量代换).∴∠1>∠2,∠1>∠3(和大于部分).用文字表述为:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.在这里,我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个基本事实或定理直接推出的定理,叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.三角形内角和定理的推论:定理:

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.定理:

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.ABCD1234ABCD1234△ABC中:

∠1=∠2+∠3;∠1>∠2,∠1>∠3.这个结论以后可以直接运用.例1已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求证:AD∥BC.分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.证明:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C(已知),∴∠C=∠EAC(等式的性质).∵AD平分∠EAC(已知).∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义).∴∠DAC=∠C(等量代换).∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行).ACDBE例题是运用了定理“内错角相等,两直线平行”得到了证实.【例题】例1已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B=∠C.求证:AD∥BC.分析:要证明AD∥BC,只需要证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.证明:推理可得:∠DAC=∠C(已证),∵∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理).∴∠BAC+∠B+∠DAC=180°(等量代换).∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).总结这里是运用了定理“同旁内角互补,两直线平行”得到了证实.ACDBE例2已知:如图,在△ABC中,∠1是它的一个外角,E为边AC上一点,延长BC到D,连接DE.求证:∠1>∠2.CABF1345ED2【例题】证明:∵∠1是△ABC的一个外角(已知),∴∠1>∠3(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵∠3是△CDE的一个外角(外角定义).∴∠3>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∴∠1>∠2(不等式的性质).把你所悟到的证明一个真命题的方法,步骤,书写格式以及注意事项转化为一种方法.ABCD1.已知:如图所示,在△ABC中,外角∠DCA=100°,∠A=45°.求:∠B和∠ACB的大小.【跟踪训练】【解析】∵∠DCA是△ABC的一个外角(已知),∠DCA=100°(已知),∠A=45°(已知),∴∠B=100°-45°=55°.(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠DCA+∠BCA=180°(平角定义).∴∠ACB=80°(等式的性质).2.已知:国旗上的正五角星形如图所示.求:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.分析:设法利用外角把这五个角“凑”到一个三角形中,运用三角形内角和定理来求解.ABCDEF1H2【解析】∵∠1是△BDF的一个外角(外角的定义),∴∠1=∠B+∠D(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠2是△EHC的一个外角(外角的定义),∴∠2=∠C+∠E(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠A+∠1+∠2=180°(三角形内角和定理).∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°(等式的性质).3.已知:如图所示.求证:∠BDC>∠A.证明:(1)∵∠BDC是△DCE的一个外角(外角定义),∴∠BDC>∠CED(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).∵∠DEC是△ABE的一个外角(外角定义),∴∠DEC>∠A(三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角).∴∠BDC>∠A.（不等式的性质）BCADE1.（河北·中考）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于()A.60°B.70°C.80°D.90°【解析】选C.根据三角形外角的性质可得，∠ACD=∠B+∠A，所以∠A=∠ACD-∠B=120°-40°=80°.2.如图，AB∥CD，则下列说法正确的是()A.∠3=2∠1+∠2B.∠3=2∠1-∠2C.∠3=∠1+∠2D.∠3=180°-∠1-∠2【解析】选C.∵AB∥CD，∴∠1=∠BCD，∠3是△COD的外角，∴∠3=∠2+∠BCD=∠2+∠1.3.如图，直线a∥b,则∠ACB=_______.【解析】延长BC交直线a于点D，∵直线a∥b,∴∠ADC=∠B=50°.∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB=∠A+∠ADC=28°+50°=78°.答案：78°4.如图，已知CE为△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，求证：∠BAC＞∠B.【证明】∵CE平分∠ACD∴∠1=∠2∵∠BAC＞∠1∴∠BAC＞∠2∵∠2＞∠B∴∠BAC＞∠B理解几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项.三角形内角和定理.

三角形三个内角的和等于180°.△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°.推论1:

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2:

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.要做一个善于辞令的人，只有一种办法，就是学会听人家说话。——莫里斯1认识二元一次方程组第五章二元一次方程组1.了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.2.通过讨论和练习，进一步培养学生观察、比较、分析的能力.3.通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识.1.什么叫方程？含有未知数的等式叫做方程.2.什么叫一元一次方程？

在一个方程中，只含有一个未知数，且未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.如：2x+3=5,

x+y=8.如：2x+3=5,

y+6=8.3.解下列方程：（1）3x＋2＝14

(2)2x-4=14-x累死我了！你还累?这么大的个，才比我多驮了2个.哼，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！真的?！它们各驮了多少包裹呢?你还累?这么大的个，才比我多驮了2个.我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！【解析】设老牛驮了x个包裹,小马驮了y个包裹.老牛的包裹数比小马的多2个,由此你能得到怎样的方程呢?若老牛从小马的背上拿来1个包裹,这时它们各有几个包裹?由此你又能得到怎样的方程呢?x－y＝2x＋1＝2(y－1)昨天，我们8个人去看电影买电影票花了34元每张成人票5

元，每张儿童票3

元，他们到底去了几个成人，几个儿童呢?设他们中有x个成人,y个儿童.你能得到怎样的方程?【解析】8个人去看电影每张成人票5元每张儿童票3元买票花了34元x＋y＝85x＋3y＝34上面所列方程各含有几个未知数?含有未知数的项的次数是多少?答：2个未知数答：次数是1

含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.x－y＝2x＋y＝8x＋1＝2(y－1)5x＋3y＝34

定义：下列方程中哪些是二元一次方程(1)x+y+z=9(2)x=6(3)2x+6y=14(4)xy+y=7(5)7x+6y+4=16(6)x²+y=6√√【跟踪训练】x,y所代表的对象分别相同,因而x,y必须同时满足方程x＋y＝8和5x＋3y＝34,把它们联立起来,得:

像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量.x＋y＝85x＋3y＝34下列哪些是二元一次方程组xy－x＝4x＋y＝5(1)(3)x+y+z＝93x-2y＝6(2)x-y＝2x+1＝2(y-1)√【跟踪训练】（1）x＝6,y＝2适合方程x＋y＝8吗?x＝5,y＝3呢?x＝4,y＝4呢?

你还能找到其他x,y的值适合方程x＋y＝8吗?(2)x＝5,y＝3适合方程5x＋3y＝34吗?x＝2,y＝8呢?

适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.例如:x＝6,y＝2是方程x＋y＝8的一个解,记作x＝6y＝2x＝5,y＝3是否为方程x＋y＝8的一个解?x＝5,y＝3是否为方程5x＋3y＝34的一个解?二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.x＋y＝85x＋3y＝34

的解｛就是二元一次方程组x＝5y＝3例如｛【例】检验下列各对数是不是方程组的解.(1)(2)(3)

解:(1)把x=2,y=1分别代入方程①,②,发现不满足②,所以不是原方程组的解;(2)把x=3，y=-1代入方程①,②,发现不满足①,所以不是原方程组的解；【例题】(3)把x=4，代入方程①,②,发现能使方程①,②左右两边相等，所以是原方程组的解.

把下列方程组的解和相应的方程组用线段连起来：x=1，y=2.x=3，y=-2.x=2，y=1.y=3-x，3x+2y=8.y=2x，x+y=3.y=1-x，3x+2y=5.【跟踪训练】D.x=４y=３x=3y=６x=２y=４x=４y=2A.B.C.1.二元一次方程组

的解是()x+2y=10y=2xC2.下列各式是二元一次方程的是()A.x=3y B.2x+y=3zC.x²+x-y=0 D.3X+2=5Ax+=1y+x=23.下列不是二元一次方程组的是(

)A.x+y=3x-y=1B.C.x=1y=1D.6x+4y=9y=3x+4B4.（嘉兴·中考）根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是（）哦……我忘了！只记得先后买了两次，第一次买了5支笔和10本笔记本花了42元钱，第二次买了10支笔和5本笔记本花了30元钱．小红，你上周买的笔和笔记本的价格是多少啊？DA.0.8元/支，2.6元/本B.0.8元/支，3.6元/本C.1.2元/支，2.6元/本D.1.2元/支，3.6元/本5.已知2x+3y=4，当x=y时，x，y的值为_____，当x+y=0时,x=_____，y=______.6.已知是方程2x-4y+2a=3的一个解，则a=______.7.若方程2x2m+3+3y3n-7=0是关于x,y的二元一次方程，则m=______，n=______.-44x=-3y=-2-19.下列4组数值中,哪些是二元一次方程2x+y=10的解?(4)x=-2y=6x=3y=4x=4y=3x=6y=-2(1)(2)(3)8.已知二元一次方程3x-2y=5,若y=0,则x=

.答案：√√1.含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．2.共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.3.适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．4.二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解．

数学，科学的女皇；数论，数学的女皇.——C•F•高斯1认识二元一次方程组第五章二元一次方程组1.了解二元一次方程、二元一次方程组及其解等有关概念，并会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解.2.通过讨论和练习，进一步培养学生观察、比较、分析的能力.3.通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生良好的数学应用意识.1.什么叫方程？含有未知数的等式叫做方程.2.什么叫一元一次方程？

在一个方程中，只含有一个未知数，且未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.如：2x+3=5,

x+y=8.如：2x+3=5,

y+6=8.3.解下列方程：（1）3x＋2＝14

(2)2x-4=14-x累死我了！你还累?这么大的个，才比我多驮了2个.哼，我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！真的?！它们各驮了多少包裹呢?你还累?这么大的个，才比我多驮了2个.我从你背上拿来1个，我的包裹数就是你的2倍！【解析】设老牛驮了x个包裹,小马驮了y个包裹.老牛的包裹数比小马的多2个,由此你能得到怎样的方程呢?若老牛从小马的背上拿来1个包裹,这时它们各有几个包裹?由此你又能得到怎样的方程呢?x－y＝2x＋1＝2(y－1)昨天，我们8个人去看电影买电影票花了34元每张成人票5

元，每张儿童票3

元，他们到底去了几个成人，几个儿童呢?设他们中有x个成人,y个儿童.你能得到怎样的方程?【解析】8个人去看电影每张成人票5元每张儿童票3元买票花了34元x＋y＝85x＋3y＝34上面所列方程各含有几个未知数?含有未知数的项的次数是多少?答：2个未知数答：次数是1

含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.x－y＝2x＋y＝8x＋1＝2(y－1)5x＋3y＝34

定义：下列方程中哪些是二元一次方程(1)x+y+z=9(2)x=6(3)2x+6y=14(4)xy+y=7(5)7x+6y+4=16(6)x²+y=6√√【跟踪训练】x,y所代表的对象分别相同,因而x,y必须同时满足方程x＋y＝8和5x＋3y＝34,把它们联立起来,得:

像这样共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.注意：方程组各方程中同一字母必须代表同一个量.x＋y＝85x＋3y＝34下列哪些是二元一次方程组xy－x＝4x＋y＝5(1)(3)x+y+z＝93x-2y＝6(2)x-y＝2x+1＝2(y-1)√【跟踪训练】（1）x＝6,y＝2适合方程x＋y＝8吗?x＝5,y＝3呢?x＝4,y＝4呢?

你还能找到其他x,y的值适合方程x＋y＝8吗?(2)x＝5,y＝3适合方程5x＋3y＝34吗?x＝2,y＝8呢?

适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.例如:x＝6,y＝2是方程x＋y＝8的一个解,记作x＝6y＝2x＝5,y＝3是否为方程x＋y＝8的一个解?x＝5,y＝3是否为方程5x＋3y＝34的一个解?二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.x＋y＝85x＋3y＝34

的解｛就是二元一次方程组x＝5y＝3例如｛【例】检验下列各对数是不是方程组的解.(1)(2)(3)

解:(1)把x=2,y=1分别代入方程①,②,发现不满足②,所以不是原方程组的解;(2)把x=3，y=-1代入方程①,②,发现不满足①,所以不是原方程组的解；【例题】(3)把x=4，代入方程①,②,发现能使方程①,②左右两边相等，所以是原方程组的解.

把下列方程组的解和相应的方程组用线段连起来：x=1，y=2.x=3，y=-2.x=2，y=1.y=3-x，3x+2y=8.y=2x，x+y=3.y=1-x，3x+2y=5.【跟踪训练】D.x=４y