2021年安徽省铜陵市职业高级中学高三数学理测试题含解析

2021年安徽省铜陵市职业高级中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为

(

)参考答案：【知识点】双曲线及其几何性质H6【答案解析】D

画出示意图：由双曲线得AF=，

由抛物线也可求得AF=p=2c，∴两者相等得到2c=，又c2=a2+b2．即可求得双曲线的离心率+1．故选D．【思路点拨】根据题意:由双曲线得AF的值，由抛物线也可求得AF的值，两者相等得到关于双曲线的离心率的等式，即可求得双曲线的离心率．2.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A（1，3），则2a+b的值等于（）A．2B．﹣1C．1D．﹣2参考答案：C考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：先求出函数的导数，再由导数的几何意义、把切点坐标代入曲线和切线方程，列出方程组进行求解，即可得出结论．解答：解：∵解：由题意得，y′=3x2+a，∴k=3+a

①∵切点为A（1，3），∴3=k+1

②3=1+a+b

③由①②③解得，a=﹣1，b=3，∴2a+b=1，故选C．点评：本题考查直线与曲线相切，考查学生的计算能力，属于基础题．3.已知某几何体的正视图和侧视图均为边长为1的正方形，则这个几何体的体积不可能是(

)A.

B.

C.1

D.

参考答案：D4.已知函数（其中）的部分图象如右图所示，为了得到的图象，则只需将的图象A.向右平移个长度单位

B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位

D.向左平移个长度单位

参考答案：A略5.设是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B6.函数在内既有极大值又有极小值，则的取值范围为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D7.已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足，且，那么实数的值为（

）A.2 B.3 C.4 D.5参考答案：B略8.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是

（

）Ａ．

Ｂ．Ｃ．

Ｄ．

参考答案：B9.已知函数f（x）=2x+x，g（x）=log2x+x，h（x）=log2x﹣2的零点依次为a，b，c，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c参考答案：A【考点】函数的零点．【分析】分别求三个函数的零点，判断零点的范围，从而得到结果．【解答】解：令函数f（x）=2x+x=0，可知x＜0，即a＜0；令g（x）=log2x+x=0，则0＜x＜1，即0＜b＜1；令h（x）=log2x﹣2=0，可知x=4，即c=4．显然a＜b＜c．故选A．10.已知集合，，则A．(0,1)

B．[0,1]

C．[0,+∞)

D．[1,+∞)参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.幂函数的图象过点，则的解析式是

；参考答案：12.在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为．①函数y=2x3+3x﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称；②对?x，y∈R．若x+y≠0，则x≠1或y≠﹣1；③若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为；④若△ABC为锐角三角形，则sinA＜cosB．⑤在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且?=5，则△ABC的形状是直角三角形．参考答案：①②③【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】①根据对称性等函数的性质判断②由对全称量词的否定来判断命题真假，③利用函数的性质数形结合，可以得到正确的结论．④结合三角函数的性质进行判断即可⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，【解答】解：对于①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确；对于②对?x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；对于③若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线的斜率，其最大值为，③正确；对于④若△ABC为锐角三角形，则A，B，π﹣A﹣B都是锐角，即π﹣A﹣B＜，即A+B＞，B＞﹣A，则cosB＜cos（﹣A），即cosB＜sinA，故④不正确．对于⑤在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：则OD⊥BC，GD=AD，∵=|，由则，即则又BC=5则有由余弦定理可得cosC＜0，即有C为钝角．则三角形ABC为钝角三角形；⑤不正确．故答案为：①②③【点评】本题考查向量的数量积的性质和运用、三角函数的性质、命题真假的判断等，使用了数形结合的思想，是数学中的常见思想，要加深体会．难度较大13.不等式的解集为_________________。参考答案：14.已知tan（α+）=2，则tanα=．参考答案：【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题．【分析】根据已知的条件，利用两角和的正切公式可得=2，解方程求得tanα的值．【解答】解：∵已知tan（α+）=2，∴=2，解得tanα=，故答案为：．【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．15.下面给出的四个命题中：

①对任意的上是数列为等差数列的充分不必要条件；②“m=—2”是直线与“直线相互垂直”的必要不充分条件；③设圆与坐标轴有4个交点则有④将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象。

其中是真命题的有

。（填序号）参考答案：①③④16.设函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围是．参考答案：（﹣∞，]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求导函数f'（x），函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数转化成f'（x）≤0在区间（0，4）上恒成立，讨论k的符号，从而求出所求．【解答】解：f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x，∵函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，∴f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x≤0在区间（0，4）上恒成立当k=0时，成立k＞0时，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，即0＜k≤，k＜0时，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，f'（0）≤0，k＜0故k的取值范围是k≤，故答案为：（﹣∞，]．17.随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是____．参考答案：【知识点】概率

K1

解析：分别以三角形的三个顶点为圆心，1为半径作圆，则在三角形的内部且在三圆外部的区域即为与三角形三个顶点距离不小于1的部分，即【思路点拨】根据几何关系先求出各部分的面积，再写出公式.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2．（Ⅰ）设bn=an+1﹣an，证明{bn}是等差数列；（Ⅱ）求{an}的通项公式．参考答案：考点：数列递推式；等差数列的通项公式；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）将an+2=2an+1﹣an+2变形为：an+2﹣an+1=an+1﹣an+2，再由条件得bn+1=bn+2，根据条件求出b1，由等差数列的定义证明{bn}是等差数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出bn，代入bn=an+1﹣an并令n从1开始取值，依次得（n﹣1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{an}的通项公式an．解答： 解：（Ⅰ）由an+2=2an+1﹣an+2得，an+2﹣an+1=an+1﹣an+2，由bn=an+1﹣an得，bn+1=bn+2，即bn+1﹣bn=2，又b1=a2﹣a1=1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1，由bn=an+1﹣an得，an+1﹣an=2n﹣1，则a2﹣a1=1，a3﹣a2=3，a4﹣a3=5，…，an﹣an﹣1=2（n﹣1）﹣1，所以，an﹣a1=1+3+5+…+2（n﹣1）﹣1==（n﹣1）2，又a1=1，所以{an}的通项公式an=（n﹣1）2+1=n2﹣2n+2．点评：本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．19.已知数集A={a1，a2，…，an}（1=a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质P：对任意的k（2≤k≤n），?i，j（1≤i≤j≤n），使得ak=ai+aj成立．（Ⅰ）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）求证：an≤2a1+a2+…+an﹣1（n≥2）；（Ⅲ）若an=72，求数集A中所有元素的和的最小值．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）利用性质P的概念，对数集{1，3，4}与{1，2，3，6}判断即可；（Ⅱ）利用集合A={a1，a2，…，an}具有性质P，可分析得到ai≤ak﹣1，aj≤ak﹣1，从而ak=ai+aj≤2ak﹣1，（k=2，3，…n），将上述不等式相加得a2+…+an﹣1+an≤2（a1+a2+…+an﹣1）即可证得结论；（Ⅲ）首先注意到a1=1，根据性质P，得到a2=2a1=2，构造A={1，2，3，6，9，18，36，72}或者A={1，2，4，5，9，18，36，72}，这两个集合具有性质P，此时元素和为147．再利用反证法证明满足S=ai≤147最小的情况不存在，从而可得最小值为147．【解答】解：（Ⅰ）因为3≠1+1，所以{1，3，4}不具有性质P．因为2=1×2，3=1+2，6=3+3，所以{1，2，3，6}具有性质P

…（Ⅱ）因为集合A={a1，a2，…，an}具有性质P：即对任意的k（2≤k≤n），?i，j（1≤i≤j≤n），使得ak=ai+aj成立，又因为1=a1＜a2＜…＜an，n≥2，所以ai＜ak，aj＜ak所以ai≤ak﹣1，aj≤ak﹣1，所以ak=ai+aj≤2ak﹣1即an﹣1≤2an﹣2，an﹣2≤2an﹣3，…，a3≤2a2，a2≤2a1…将上述不等式相加得a2+…+an﹣1+an≤2（a1+a2+…+an﹣1）所以an≤2a1+a2+…+an﹣1…（Ⅲ）最小值为147．首先注意到a1=1，根据性质P，得到a2=2a1=2所以易知数集A的元素都是整数．构造A={1，2，3，6，9，18，36，72}或者A={1，2，4，5，9，18，36，72}，这两个集合具有性质P，此时元素和为147．下面，我们证明147是最小的和假设数集A={a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥2），满足最小（存在性显然，因为满足的数集A只有有限个）．第一步：首先说明集合A={a1，a2，…，an}（a1＜a2＜…＜an，n≥2）中至少有8个元素：由（Ⅱ）可知a2≤2a1，a3≤2a2…又a1=1，所以a2≤2，a3≤4，a4≤8，a5≤16，a6≤32，a7≤64＜72，所以n≥8第二步：证明an﹣1=36，an﹣2=18，an﹣3=9：若36∈A，设at=36，因为an=72=36+36，为了使得最小，在集合A中一定不含有元素ak，使得36＜ak＜72，从而an﹣1=36；假设36?A，根据性质P，对an=72，有ai，aj，使得an=72=ai+aj显然ai≠aj，所以an+ai+aj=144而此时集合A中至少还有5个不同于an，ai，aj的元素，从而S＞（an+ai+aj）+5a1=149，矛盾，所以36∈A，进而at=36，且an﹣1=36；同理可证：an﹣2=18，an﹣3=9（同理可以证明：若18∈A，则an﹣2=18）．假设18?A．因为an﹣1=36，根据性质P，有ai，aj，使得an﹣1=36=ai+aj显然ai≠aj，所以an+an﹣1+ai+aj=144，而此时集合A中至少还有4个不同于an，an﹣1，ai，aj的元素从而S＞an+an﹣1+ai+aj+4a1=148，矛盾，所以18∈A，且an﹣2=18同理可以证明：若9∈A，则an﹣3=9假设9?A因为an﹣2=18，根据性质P，有ai，aj，使得an﹣2=18=ai+aj显然ai≠aj，所以an+an﹣1+an﹣2+ai+aj=144而此时集合A中至少还有3个不同于an，an﹣1，an﹣2，ai，aj的元素从而S＞an+an﹣1+an﹣2+ai+aj+3a1=147，矛盾，所以9∈A，且an﹣3=9）至此，我们得到了an﹣1=36，an﹣2=18，an﹣3=9ai=7，aj=2．根据性质P，有ai，aj，使得9=ai+aj我们需要考虑如下几种情形：①ai=8，aj=1，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素ak，才能得到元素8，则S＞148；②，此时集合中至少还需要一个大于4的元素ak，才能得到元素7，则S＞148；③ai=6，aj=3，此时集合A={1，2，3，6，9，18，36，72}的和最小，为147；④ai=5，aj=4，此时集合A={1，2，4，5，9，18，36，72}的和最小，为147．…20.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小参考答案：解(1)设需要新建n个桥墩，(n＋1)x＝m，即n＝－1(0<x<m)，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256＋(2＋)x＝＋m＋2m-256

(0<x<m)．(2)由(1)知f′(x)＝－＋，令f′(x)＝0，得＝512，所以x＝64.当0<x<64时，f′(x)<0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当64<x<640时，f′(x)>0，f(x)在区间(64,640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时，n＝－1＝－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y最小．略21.已知函数f（x）=﹣+（a﹣1）x+lnx．（Ⅰ）若a＞﹣1，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞1，求证：（2a﹣1）f（x）＜3ea﹣3．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求导，令f′（x）=0，解得x1、x2，再进行分类讨论，利用导数大于0，求得函数的单调增区间；利用导数小于0，求得函数的单调减区间；（Ⅱ）a＞1，由函数单调性可知，f（x）在x=1取极大值，也为最大值，f（x）max=a﹣1，因此（2a﹣1）f（x）≤（2a﹣1）（a﹣1），构造辅助函数g（a）=，求导，求出g（a）的单调区间及最大值，＜=3，可知g（a）＜3，ea﹣3＞0，即可证明（2a﹣1）f（x）＜3ea﹣3．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=﹣+（a﹣1）x+lnx，x＞0当a=0时，数f（x）=﹣x+lnx，f′（x）=﹣1+，令f′（x）=0，解得：x=1，当0＜x＜1，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞1时，f′（x）＜0，函数单调递减，当a≠0，则f′（x）=﹣ax+（a﹣1）+=，令f′（x）=0，解得x1=1，x2=﹣，当﹣＞1，解得﹣1＜a＜0，∴﹣1＜a＜0，f′（x）＞0的解集为（0，1），（﹣，+∞），f′（x）＜0的解集为（1，﹣），∴函数f（x）的单调递增区间为：（0，1），（﹣，+∞），函数f（x）的单调递减区间为（1，﹣）；当﹣＜1，解得a＞0，∴a＞0，f′（x）＞0的解集为（0，1），f′（x）＜0的解集为（1，+∞）；