多粒子体系的统计理论初步课件

多粒子体系的统计理论初步平衡态下的宏观量与微观量的关系。平衡态下的物理量的分布（能量、速率等）非平衡态下的热现象（热传导、扩散等）1谢谢观赏2019-6-29§1.经典统计的概念一.理想气体微观模型：2.除碰撞外，分子间相互作用力及重力可忽略，分子视为自由运动。3.分子间、分子与器壁间为完全弹性碰撞。

实际气体在温度较高，压强较低时可视为理想气体。1.分子间平均距离＞＞分子线度，视为质点。

理想气体是大量自由的、无规则运动的弹性粒子组成的多粒子体系。2谢谢观赏2019-6-29二、平衡态

在不受外界影响的条件下，物体的宏观性质不随时间变化的状态——平衡态①不受外界影响，是指外界对系统不作功、不传热。②宏观性质不随时间变化，是指物体的宏观可观测性质确定不变。③热动平衡3谢谢观赏2019-6-29三.宏观量与微观量1.宏观量：描述体系宏观性质的物理量，与宏观态相对应，可由实验测量。2.微观量：描述个别粒子特性的物理量。四.统计的规律性和涨落现象1.统计规律伽耳顿板实验大量小球落下的分布——宏观态每个小球落下的位置——微观态4谢谢观赏2019-6-292.涨落现象

一个宏观态下的微观态是不确定的、变化的，各种微观态以一定的概率出现，宏观态即是对应的微观态的统计平均值。

各次实验结果与理论统计平均值之间存在偏差，为统计规律的特点之一。

一个宏观态包含有大量的微观态，宏观态不是微观态简单的叠加，而是服从一种新的规律——统计规律。5谢谢观赏2019-6-29四.统计规律的定量分析以伽耳顿板实验为例：Δxihi则落在第个i槽中的小球数

ΔN=CΔxihixi

第i个槽的位置坐标为xi，槽的宽度为△xi

在此槽中小球的高度为hi，C

为单位面积内的小球数。6谢谢观赏2019-6-29小球总数小球落入第

i个槽的概率令Δx→0，则有7谢谢观赏2019-6-29设：则：或

小球沿x的分布函数，小球落入x附近单位区间的概率（概率密度）。8谢谢观赏2019-6-29归一化条件：五.等概率假设

在经典统计理论中，波尔兹曼提出：对于处在平衡态的孤立系统，其各个可能的微观态出现的概率相等。设微观态的总数为P，则任一微观态出现的概率为1/P。等概率假设是经典统计理论的重要出发点，已为大量实验所证实。9谢谢观赏2019-6-29§2分子平均平动动能统计分布规律一.气体分子运动等概率假设1.气体分子在容器中各处出现的概率是均等的。即气体分子数密度处处相等。2.气体分子沿各方向运动的概率相等，即分子速度在各方向上分量的各种平均值相等。10谢谢观赏2019-6-29二.压强公式1.气体产生压强的原因气体压强不可能由气体分子的重力产生。压强是大量分子对容器壁不断碰撞而产生的。11谢谢观赏2019-6-292.公式推导推导思路12谢谢观赏2019-6-29①求i分子与器壁A碰撞一次时施于A的冲量②求i分子在△t时间内对A的碰撞次数③求i分子在△t时间内施于A的冲量13谢谢观赏2019-6-29④N个分子△t时间内施于A的总冲量⑤压强分子数密度X方向速率平方的平均值14谢谢观赏2019-6-29分子平均平动动能15谢谢观赏2019-6-294.压强公式讨论①假设分子大小、分子力及分子所受重力均可忽略。②宏观量与微观量联系起来，反映宏观量的微观本质分子在运动中遵守力学定律，在碰撞时可视为完全弹性小球。③压强取决于分子数密度和平均平动动能值值分子沿各方向运动的分子数目相等,分子速度在各方向分量的各种平均值相同。④压强是大量分子对器壁冲量的统计平均效果，单个分子的压强没有意义。16谢谢观赏2019-6-29三.温度的统计意义1.宏观意义：冷热程度，是决定某一系统与另一系统处于热平衡的宏观标志。温标—温度的数值表示法，量化冷热程度。摄氏温标(0C):规定1atm下，纯水的冰点为0度，汽点为100度。华氏温标(0F):规定1atm下，水、冰和氯化铵混合物为00F，水的汽点为2120F。17谢谢观赏2019-6-29热力学温标(K):与测温物质无关。T=273.15+t绝对0度能否达到？2.微观统计意义分子数密度玻尔兹曼常数18谢谢观赏2019-6-29分子平均平动动能公式。

温度是分子平均平动动能的量度，表示大量分子热运动的剧烈程度，对个别分子温度没有意义。19谢谢观赏2019-6-29§3分子能量的统计分布质点：3个平动自由度(t)火车（看成质点）在铁道上运行，自由度为1；轮船（看成质点）在大海中航行，自由度为2；飞机（看成质点）在天空中飞行，自由度为3；确定物体位置的独立坐标数.20谢谢观赏2019-6-29刚体：①平动：质心位置②轴线方位：③转动：X、Y、Zα、β、（γ）φ3个平动自由度(t)3个转动自由度(r)21谢谢观赏2019-6-29双原子分子单原子分子平动自由度t=3平动自由度t=3转动自由度r=2三原子分子平动自由度t=3转动自由度r=322谢谢观赏2019-6-29二、能量均分定理

气体分子沿x、y、z

三个方向运动的平均动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能均匀分配在每个平动自由度上。23谢谢观赏2019-6-29

在温度为T的平衡态下，分子的每个自由度具有相同的平均动能，其大小都等于1.能量按自由度均分定理：单原子分子双原子分子自由度平均平动动能平均总动能平均势能平均总能量24谢谢观赏2019-6-292.平均总能量理论实验对比单原子分子：吻合双原子分子：不吻合双原子理论值实验值低温10－100K常温250－1000K高温2500K25谢谢观赏2019-6-29

我们的研究以常温下为主。只考虑双原子分子的平动和转动自由度，不考虑振动自由度。双原子分子常温高温自由度平均平动动能平均总动能平均势能平均总能量26谢谢观赏2019-6-291.气体的内能：所有分子的（N个分子）各种形式的动能和势能的总和。动能：平动动能转动动能振动动能势能：分子间的势能分子内原子间的势能2.理想气体的内能：所有分子的（N个分子）平动动能和转动动能的总和。27谢谢观赏2019-6-293.注意①自由度数的确定单原子分子i＝3，双原子分子i＝5②区别平均平动动能、平均总动能、平均总能量以及内能。一定质量理想气体的内能为1mol理想气体的内能为i＝t＋r28谢谢观赏2019-6-29例题：某容器内装有氧气，m=1mol，P=1atm，t=27℃，求：ρ、n、29谢谢观赏2019-6-29四.气体分子的能量分布——讨论分子数与力场的关系。

当气体分子处在重力场或带电离子处在电场中，此时分子数的分布与力场有关，单位体积的分子数（n）不再均匀。波尔兹曼提出：势能为零分子数密度势能为Ep分子数密度30谢谢观赏2019-6-29海平面上压强31谢谢观赏2019-6-29L兰媚耳实验:§4.气体分子速率的统计分布——讨论气体分子数随速率的分布情况SP32谢谢观赏2019-6-2933谢谢观赏2019-6-29

平衡态下，一定量气体分子总数为N,分子速率处于区间的分子数为dN。一.麦克斯韦速率分布函数表示速率分布在区间内的分子数占总分子数的比率。与速率v有关与速率区间dv有关34谢谢观赏2019-6-29速率分布函数

速率在v附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率。归一化条件35谢谢观赏2019-6-29f(v)vvv+dvv1v2dNN面积=出现在v~v+dv区间内的概率分子出现在v1~v2区间内的概率曲线下的总面积恒等于1二.速率分布曲线（f(v)—v

曲线）36谢谢观赏2019-6-29f(v)vf(vp)vp

分布在vp所在区间内的分子数占总分子数的几率最大。1.最概然速率

最概然速率：与分布函数f(v)的极大值相对应的速率。极值条件37谢谢观赏2019-6-292.麦克斯韦分布曲线随温度变化温度越高，分布曲线中的最概然速率vp增大，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度增大，高度降低。f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T238谢谢观赏2019-6-293.麦克斯韦分布曲线随质量变化分子质量越大，分布曲线中的最概然速率vp越小，但归一化条件要求曲线下总面积不变，因此分布曲线宽度减小，高度升高。f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)μ1μ2μ339谢谢观赏2019-6-29三.两种速率1.平均速率大量分子速率的统计平均值对于连续分布2.方均根速率大量分子速率的平方平均值的平方根40谢谢观赏2019-6-29都与成正比，与成反比f(v)v41谢谢观赏2019-6-29例题：温度300K时，氧气分子的最概然速率，平均速率与方均根速率。解：42谢谢观赏2019-6-29§5.分子碰撞的统计分布一.平均碰撞频率

单位时间内分子的平均碰撞次数。碰撞机构的简单模型假设某分子a以平均相对速率u运动假设气体分子都是直径为d的刚球（有效直径）,分子之间的碰撞是完全弹性的43谢谢观赏2019-6-29a●柱体中的分子数●凡是能够与a发生碰撞的分子，其球心必须在半径为d的圆柱体内●平均碰撞频率●修正后的平均碰撞频率2.Z的计算ddddddABC44谢谢观赏2019-6-292.计算3.与P,T的关系1.定义

分子在连续两次碰撞所通过的自由路程的平均值——平均自由程二.平均自由程的计算45谢谢观赏2019-6-29§6.气体的输运过程——从非平衡态过渡到平衡态的过程二.热传导现象一.扩散现象三.粘滞现象四.渗透现象46谢谢观赏2019-6-29一.扩散现象1.微观解释：接触层密度的区别，使进入双方的分子数不同，出现质量迁移。2.基本规律——菲克定律接触时间接触面积扩散系数密度梯度质量输运方向3.实质：密度不一致引起分子质量的输运47谢谢观赏2019-6-291.微观解释：接触层通过交换分子，使分子热运动动能发生迁移。二.热传导现象3.实质：温度不一致引起分子热运动能量的输运2.基本规律——傅立叶定律热导率接触面积接触时间温度梯度热量传递方向48谢谢观赏2019-6-291.实验规律接触面积粘滞系数流速梯度2.实质：气体内定向动量的输运三.粘滞现象49谢谢观赏2019-6-29四.渗透现象h2.微观解释1.宏观现象——选择性扩散现象半透膜：对溶液的通透具有选择性3.基本规律——范托夫定律渗透压mol浓度50谢谢观赏2019-6-291升水溶解20克的糖，可产生14米水柱高的渗透压。腹泻与脱水：土壤的呼吸：51谢谢观赏2019-6-291.强相互作用：短程力，它使原子核牢固的保持为一个整体，尽管质子间存在很大的排斥作用。2.电磁力：长程力，它使原子核与电子能聚集在一起形成原子。3.弱相互作用：短程力，能引起粒子间的