高中数学-椭圆定义的应用探究教学课件设计

2.1椭圆定义的应用探究数学高二年级选修2-1人民教育出版社(A版)

椭圆定义的应用探究

学习目标：1．【知识目标】（1）理解掌握椭圆定义.（2）应用椭圆定义探究椭圆的性质3.

【突破方法】探究发现——运用提高——反思提升2.[重点]：掌握椭圆定义及应用

[难点]：几何性质，椭圆定义的综合运用已知点Q是圆F1:(x+

)2+y2=16上任意一点,F2(

,0)是圆内一点，线段F2Q的垂直平分线与半径F1Q交于点P，当点P在圆上运动时，观察点P的运动,写出点P的轨迹方程.

一

椭圆定义的生成例1已知点Q是圆F1:(x+

)2+y2=16上任意一点,F2(

,0)是圆内一点，线段F2Q的垂直平分线与半径F1Q交于点P，当点P在圆上运动时，观察点P的运动,写出点P的轨迹方程.

一

椭圆定义的生成例1已知点Q是圆F1:(x+

)2+y2=16上任意一点,F2(

,0)是圆内一点，线段F2Q的垂直平分线与半径F1Q交于点P，当点P在圆上运动时，观察点P的运动,写出点P的轨迹方程.解:由题意知|PQ|=|PF2|，又∵|F1Q|=|F1P|+|PQ|=4,∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=4>|F1F2|=2由椭圆定义知P点的轨迹是椭圆,a=2,c=∴b=1，∴点P的轨迹方程

+y2=1.

一

椭圆定义的生成椭圆：平面内到两个定点距离之和为定值（定值大于两定点的距离）的点的轨迹.已知圆F1:(x+

)2+y2=16,过点F2(

,0)的直线与圆交于MN两点，过F2作F1N的平行线与交F1M于点P，求点P的轨迹方程.

二.椭圆定义的自觉运用自主探究已知圆F1:(x+

)2+y2=16,过点F2(

,0)的直线与圆交于MN两点，过F2作NF1的平行线与交F1M于点P，求点P的轨迹方程.

二.椭圆定义的自觉运用自主探究解:因为|F1M|=|F1N|,PF2∥NF1，故∠PF2M=∠F1NM=∠F1MN，所以|PF2|=|PM|，故|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PM|=|F1M|，又圆的标准方程为(x+

)2+y2=16，从而|F1M|=4,所以|PF1|+|PF2|=4,a=2,c=,b=1，由椭圆定义可得∴点P的轨迹方程

+y2=1

(y≠0).到两定点距离和为定值(Ⅱ).当点P在椭圆

(a>b>0)上运动时,F1F2分别是椭圆的左右焦点，的长度变化范围?过F1的直线交椭圆于AB两点,|AB|在什么位置最短?三：分层探究焦点三角形中边角关系分层探究(学习组自主选择探究问题)(Ⅲ)点A，B分别是椭圆的左右顶点，点P在椭圆

(a>b>0)上运动,探究:当P位于______位置时，∠A

PB最大.

（2）猜想与证明：一般地，点P在

(a>b>0)上运动时，直线PQ与OM的斜率之积是否为定值?(Ⅰ).|PF1|与|PF2|为定值，那么|PF1|与|PF2|积呢？(Ⅰ).当点P在椭圆

(a>b>0)上运动时,F1F2分别是椭圆的左右焦点，则的最大值是________.

a2共同关注,合作探究到两定点的距离积的范围三：互助探究焦点三角形中边角关系解:

∵|PF1|+|PF2|=2a,

∴当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.(Ⅱ).当点P在椭圆

(a>b>0)上运动时,F1F2分别是椭圆的左右焦点，的最大值是____，最小值是_____.

二：互助探究焦点三角形中边角关系a+ca-c分层探究,分组展示焦点弦的取值范围(Ⅱ).点P在椭圆(a>b>0)上运动时,F1F2分别是椭圆的左右焦点，过F1的直线交椭圆于AB两点,当AB在什么位置时,|AB|的长的最小值.焦点弦的长度：分层探究,分组展示(Ⅲ).点A，B分别是椭圆的左右顶点，点P在椭圆

(a>b>0)上运动,探究当P位于___________位置时，∠A

PB的值最大.

两顶点张角大小的探究：上(下)顶点分层探究,分组展示1.当点P在椭圆

(a>b>0)上运动时,F1F2分别是椭圆的左右焦点，满足__________条件时,总存在点P,使∠F1PF2=900

,离心率的取值范围是运用椭圆定义探究焦点三角形中边角关系共同关注,合作探究c≥b方案一:1.当点P在椭圆

(a>b>0)上运动时,F1F2分别是椭圆的左右焦点，满足__________条件时,总存在点P,使∠F1PF2=900

,离心率的取值范围是运用椭圆定义探究焦点三角形中边角关系共同关注,合作探究c≥b方案二:当P在上（下）顶点位置时，∠F1PO≥45∘,tan∠F1PO≥1,所以c≥b.1.当点P在椭圆

(a>b>0)上运动时,F1F2分别是椭圆的左右焦点,总存在点P,使∠F1PF2=900

,求离心率的取值范围.运用椭圆定义探究焦点三角形中边角关系共同关注,合作探究解法三:

∵|PF1|+|PF2|=2a,

|PF1|2+|PF2|2=4c2,∴(|PF1|+|PF2|)2

-2|PF1||PF2|=4c2,∴(|PF1||PF2|)=2a2-2c2,又

当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.∴2a2-2c2≤a2,∴a2≤2c2,得1.当点P在椭圆

(a>b>0)上运动时,F1F2分别是椭圆的左右焦点,总存在点P,使∠F1PF2=900

,求离心率的取值范围.运用椭圆定义探究焦点三角形中边角关系共同关注,合作探究解法四：设P（acosθ,bsinθ),所以(acosθ+c)(acosθ-c）+b2sin2θ=0，a2cos2θ+（a2-c2)

sin2θ=c2.a2=(1+sin2θ)c2.得e2=.

2.点M(-,2),点P在椭圆

+y2=1

上运动时,F1F2分别是椭圆的左右焦点，则的最大值是——.

四.椭圆定义及探究结论在焦点三角形中的运用6和谐之美共同关注,合作探究解:

∵|PF1|+|PF2|=4,

∴|PM|+|PF2|=|PM|+4-|PF1|≤

4+|MF1|=6当且仅当|PF1|=|PF2|时取等号.1.为了考察冰川的融化状况,我国科考队在某冰川山上相距8Km的A,B两点各建一个考察基地,视冰川面为平面形,以过A.

B两点的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(如图).考察范围到A.

B两点的距离之和不超过10Km的区域.求考察区域边界曲线的方程.

五.知识迁移：定义法在解决圆锥曲线问题中的类比应用回归椭圆定义2.由于考察冰川出现融化,科考队重新在某冰川上相距8km的A,B两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形,以过A,B两点的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系.在直线x=2的右侧,考察范围为到点B的距离不超过km的区域;在直线x=2的左侧,考察范围为到A,B两点的距离之和不超过km的区域.求考察区域边界曲线的方程.

五.知识迁移：定义法在解决圆锥曲线问题中的类比应用2.解:设边界曲线上点P的坐标为（x，y）.当x≥2时，由题意知(x-4)2+y2=.当x<2时，由|PA|+|PB|=4知，点P在以A，B为焦点，长轴为2a=4的椭圆上.此时短半轴长b=2.因而其方程为.故考察区域边界（如图）的方程为C1：(x-4)2+y2=（x≥2）和C2：(x＜2）.

五.知识迁移：定义法在解决圆锥曲线问题中的类比应用回归椭圆,圆的定义3.点B在点A的正东4km,点C在B北偏东300的2km处,我们家乡白马河沿岸PQ上任意点到点A的距离比点B的距离远2km，在河岸PQ的选点M建设码头，从码头到B，C的修路费用均为m万元每千米，请你参与规划，怎样选址，才能使修路费用最小？最小值是多少？五.知识迁移：定义法在解决圆锥曲线问题中的类比应用解：以AB所在的直线为小轴，线段AB的中垂线为y轴,建系如图:|MA|-|MB|=2,点M在以AB为焦点的双曲线右支上,|MC|+|MB|=|MC|+MA|-2≥|AC|-2.又A(-2,0),C(3,

),所以修路费用最小值是m万元.双曲线：平面内到两个定点距离之差为定值（定值小于两定点的距离）的点的轨迹.4.已知直线l1:3x−4y−6=0和直线l2:y=

-

,若抛物线C:x2=2py(p>0)上的点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.则抛物线C的方程_______.五.知识迁移：定义法在解决圆锥曲线问题中的类比应用4.已知直线l1:3x−4y−6=0和直线l2:y=

-

,若抛物线C:x2=2py(p>0)上的点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2.则抛物线C的方程_______.

解：直线l2为抛物线C:x2=2py的准线,根据抛物线的定义,可得抛物线上一动点P到直线l1和直线l