逻辑代数基础课件

关于逻辑代数基础第1页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三教学要求1.理解逻辑代数的基本概念。2.掌握逻辑代数的运算。3.掌握逻辑函数的表达。4.熟练掌握卡诺图对逻辑函数的化简。第二章逻辑代数基础——教学要求第2页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三第一节逻辑代数基本概念第二节逻辑代数第四节硬件描述语言基础第三节逻辑函数的卡诺图化简法第二章逻辑代数基础——目录第3页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三第一节逻辑代数基本概念2.1.1逻辑常量和逻辑变量常量变量（1）用字母表示或字母加数字。如：A、A50

无效低电平关（断开）灯灭无电流1

有效高电平开（闭合）灯亮有电流Z

高阻态X

不确定（2）原变量

A若A＝0则＝1

反变量（）若A＝1则＝0第4页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三逻辑变量原变量

A、B、…Z反变量

只有0、1两种取值，常常不是数，反映状态。例如：电位高低，开关断合脉冲有无等。第5页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三2.1.2基本逻辑和复合逻辑真值表符号图例条件A无效，则Y有效A或者B有效，则Y有效条件A、B同时有效，则Y有效意义Y=Y=A+BY=AB表达式备注非或与基本逻辑图1图2图3表2表1表3“与”符号“非”符号“或”符号第6页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三基本逻辑（逻辑运算）1、与运算（逻辑乘） “·”or“∧”（1）概念

只有当决定某一事件的条件全部具备时，这一事件才会发生，这种因果关系称为与逻辑。第7页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三（2）真值表用“0”、“1”分别表示不同状态而列出的输入与输出关系的表格。

A：“0”—断，“1”—合

B：“0”—断，“1”—合

Y：“0”—灭，“1”—亮（3）逻辑函数表达式

Y=A·B=AB=A∧B（4）运算规则

0·0=0，0·1=0，1·0=0，1·1=1。

一般地：A·0=0，A·1=A，A·A=A。（5）逻辑符号

GB旧GB美国第8页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三2、或运算（逻辑加） “+”or“∨”（1）概念 在决定某一事件的各种条件中，只要有一个或一个以上条件得到满足，这一事件就会发生，这种因果关系称或逻辑。（2）真值表（3）表达式

Y=A+B=A∨B（4）运算规则

0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1。

一般地：A+0=A，A+1=1，A+A=A。（5）逻辑符号

GB旧GB美国

第9页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三3、非运算（逻辑非）（1）概念 事件发生的条件具备时，事件不会发生，条件不具备时，事件发生，这种因果关系称为逻辑非。（2）真值表（3）表达式

Y=（4）运算规则一般地：（5）逻辑符号

GB旧GB美国

第10页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三复合逻辑Y=A⊙B符号真值表表达式同或异或与或非或非与非表4表5表6表7表8符号4符号5符号6符号7符号8第11页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三复合逻辑运算（1）与非运算（2）或非运算（3）与或非运算（4）异或和同或运算Y=A⊙B运算优先顺序：括号—非—与—或。第12页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三

如果一个逻辑变量Z由其他一个或多个逻辑变量（如：A、B、C…）的取值所决定，当A、B、C…确定后，Z也就唯一的确定了，则把Z称为A、B、C…的逻辑函数，表示为Z=F(A，B，C，…）。2.1.3逻辑函数的表示方法Y=AB在数字电路中，逻辑函数的表示方法有五种：

真值表、函数表达式、卡诺图、逻辑图、波形图第13页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三逻辑函数表达式的书写

最小项法由真值表推导函数表达式的方法有：最大项法第14页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三2.1.4逻辑函数的相等

假设F(A1，A2，…An)为变量A1，A2，…An的逻辑函数。G（A1，A2，…An)为变量A1，A2，…An的另一逻辑函数。如果对应于A1，A2，…An的任意一组状态组合，F和G的值都相同。则称F和G是相等的，记作F=G。 亦即：真值表相同的逻辑函数相等。第15页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三例：设F(A,B,C)=A(B+C)，

G(A,B,C)=AB+AC。证明：F=G形式不同功能相同第16页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三2.2逻辑代数的运算法则2.2.1逻辑代数的基本公式一、常用公式（1）1=0 0=1（2）1·1=1 0+0=0（3）1·0=0·1=0 0+1=1+0=1（4）0·0=0 1+1=1（5）A≠0，则A=1 A≠1，则A=0第17页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三（6）重叠（同一）律A·A=A A+A=A（7）反演律（德·摩根定理）A·B=A+B A+B=A·B（8）还原律

A=A二、基本定律（1）交换律

AB=BA A+B=B+A（2）结合律

A(BC)=(AB)C A+(B+C)=(A+B)+C（3）分配律

A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C)（4）01律

1·A=A 0+A=A 0·A=0 1+A=1（5）互补律

A·A=0 A+A=1第18页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三2.2.2三个规则（定理）1、代入规则 在任何逻辑等式中，如果等式两边所有出现某一变量的地方都代之以一个函数，则等式仍然成立。

e.g.已知A·B=A+B，以Z=AC代A，则有：

A·C·B=A·C+B=A+B+C

——扩大了公式的应用范围第19页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三2、反演规则（互补规则）（3变2不变）

对于任意一个逻辑表达式Y，如果Y中所有的“·”换成“+”；“+”换成“·”；“0”换成“1”；“1”换成“0”；原变量换成反变量；反变量换成原变量，则得到的表达式就是Y的反函数Y。3变：“·”换成“+”；“+”换成“·”“0”换成“1”；“1”换成“0”

原变量换成反变量；反变量换成原变量2不变：大非号不变（包含两个或者两个以上的变量的非号）运算的顺序不变第20页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三例：已知Y=A·B+C·D，求Y

Y=(A+B)(C+D)

Y=A+B+C·D+E

则 Y=A·B(C+D·E)

Y=A·B+C·D+0 则 Y=(A+B)(C+D)·1注意：（1）优先顺序。先括号内，后括号外，先乘后加。 （2）包含两个变量或以上的非号在变换中不变。第21页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三3、对偶规则（2变2不变）

对于任意一个逻辑表达式Y，如果Y中所有的“·”换成“+”；“+”换成“·”；“0”换成“1”；“1”换成“0”；则得到一新的表达式Y′（或Y*），Y′称为Y的对偶式。例： Y=A(B+C) Y′=A+B·C

Y=A+B·C Y′=A(B+C)

Y=A+B+C Y′=ABC练习：Y=ABC Y′=A+B+C注意：优先顺序和大非号。一般地，Y′≠Y推论：若F(A,B,C…)=G(A,B,C…)，则F’=G’。第22页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三2变：“·”换成“+”；“+”换成“·”“0”换成“1”；“1”换成“0”2不变：大非号不变（包含两个或者两个以上的变量的非号）运算的顺序不变对偶变化规则：第23页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三2.2.3常用公式（1）A+AB=A（消乘积项）

A(A+B)=A证：A+AB=A(1+B)=A－－有一个乘积项的部分因子是另一个乘积项的全部，则该乘积项是多余的（2）AB+AB=A

（合并公式） (A+B)(A+B)=A证：AB+AB=A(B+B)=A·1=A－－乘积项有公有因子，不同的因子互补，则合并为由公有因子组成的乘积项（3）A+AB=A+B消反公式）

A(A+B)=AB证：A+AB=(A+A)(A+B)=1(A+B)=A+B——分配律′:A+BC=(A+B)(A+C)证2、A+AB=A+AB+AB=A+B

－－一个乘积项的部分因子恰好是另一个乘积项的补，则该乘积项的这部分因子是多余的。第24页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三4、AB+AC+BC=AB+AC

(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)证：左=（消第三项的公式）AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=右推论：AB+AC+BCDE…=AB+AC

－－两个乘积项部分的因子互补，其余的因子都是第三项的因子，则第三项是多余的。第25页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三2.2.4异或运算的公式（1）交换律 A⊕B=B⊕A（2）结合律 (A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C)（3）分配律

A(B⊕C)=AB⊕AC

证：A(B⊕C)=A(BC+BC)=ABC+ABCAB⊕AC=ABAC+ABAC=(A+B)AC+AB(A+C)=ABC+ABC（4）常量与变量之间的异或运算（由定义直接推出）

A⊕1=A A⊕0=A A⊕A=0 A⊕A=1第26页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三（5）因果互换 若A⊕B=C，则：A⊕C=B，B⊕C=A证：把A⊕B=C两边同时异或A，A⊕B⊕A=C⊕A

则：0⊕B=A⊕C，∴A⊕C=B，

同理可证B⊕C=A（6）多变量异或运算 在多变量异或运算中，若“1”的个数为奇数，则结果为“1”；若“1”的个数为偶数，则结果为“0”，与变量为“0”的个数无关。第27页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三2.2.5逻辑函数的表达式一、逻辑函数常用表达式逻辑函数的常用表达式包括与或式、与非与非式、或与式、或非或非式和或非式。1、与或式

F=AB+CD2、与非与非式

第28页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三3、或与式

F=(A+B)(C+D)4、或非或非式5、与或非式

第29页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三2.2.6逻辑函数的公式化简法一、化简的意义和方法1、意义：设备简单，成本低。2、方法（1）公式法：适于任意多个变量的函数的化简。没有统一的步骤，靠灵活熟练，难于判定是否最简。（2）卡诺图法（图解法）：适于6个以下变量的函数简化。直观、简单。（3）系统化简法（Q-M）：适于任意多变量的函数的简化。繁琐，但有一定规律可循，适于计算机辅助。第30页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三3、最简与或式的含义

常用五种类型表达式（以Y=AB+AC）

与或表达式与门和或门 或与表达式或门和与门

与或式对偶-展开-对偶 与非与非式与非门

与或式两次取反 或非或非式或非门

与或式-或与式-两次取反 与或非式与或非门

或非或非式-反演律第31页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三对于不同类型的表达式，最简的标准不同。最简与或式：（1）乘积项最少。－－门数少（2）每一个乘积项中的因子最少。输入端数少

——针对中小规模门电路。

CPLD——与或阵列结构，输入端数不是主要问题。

FPGA——常用四输入数据选择器结构。

以与或式为例。任何F可化为与或式；最简与或式可变换为任何其它形式。第32页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三二、公式化简法（代数法）公式化简常用的5个公式：分配律：A+BC=(A+B)(A+C)

反演律：常用公式3：A+AB=A+B

常用公式4：AB+AC+BC=AB+AC

推论：1、常用方法（1）合并项法（并项法） 二合一e.g.第33页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三（2）吸收法 消去多余项e.g.（3）消去法（消因子法） 消去多余因子e.g.（4）配项法 一拆二， 增加BCe.g.另：

第34页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三2、举例e.g.1

（合并和吸收） （吸收） （消去）e.g.2

（吸收） （消去） （合并） （吸收）e.g.3

（配项）试探性第35页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三e.g.4

e.g.5

用对偶公式直接化简——（不熟练；先展开后化简——繁琐）第36页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三2.3卡诺图化简1、最小项和标准与或表达式（1）最小项定义 对于n个变量，若m为包含n个因子的乘积项，在m中每一个变量都以原变量或者反变量的形式作为一个因子出现且仅出现一次，则称m为该组变量的一个最小项。

n个变量一共有2n个最小项2.3.1逻辑函数的两种标准形式逻辑函数的表达式不是唯一的第37页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三（2）最小项的性质

a.只有一组变量取值组合使其值为“1”。

——（等于“1”的机会最小）

b.任意两个最小项之积恒为“0”。

c.全体最小项之和恒为“1”。（3）最小项的编号 把使最小项为“1”的那一组变量取值组合当成二进制数，与其对应的十进制数即为该最小项的编号。

——（m0，m1，m2，…。）对于三个变量A、B、C，有：第38页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三(4)标准与或表达式（最小项表达式，标准积之和） 全部由最小项相加构成的函数与或表达式。

任何逻辑函数都可以表示成标准与或表达式，且是唯一的。

可由真值表得出，或由表达式变换得到。e.g.1，e.g.2，第39页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三2、最大项和标准或与表达式(1)最大项定义 对于n个变量，若M为n个变量之和，在M中每一个变量都以原变量或者反变量的形式作为一项出现且仅出现一次，则称M为该组变量的一个最大项。

n个变量一共有2n个最大项对于三个变量A、B、C，有：第40页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三(2)最大项的性质

a.只有一组变量取值组合使其值为“0”。

——(等于“1”的机会最大)b.任意两个最大项之和恒为“1”。

c.全体最大项之积恒为“0”。(3)最大项的编号 把使最大项为“0”的那一组变量取值组合当成二进制数，与其对应的十进制数即为该最大项的编号。

——（M0，M1，M2，…。）(4)标准或与表达式（最大项表达式） 全部由最大项相乘构成的函数或与表达式。

任何逻辑函数都可以表示成标准或与表达式，且是唯一的。第41页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三e.g.第42页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三最小项法：输出为1的输入组合写成乘积项的形式，其中取值为1的输入用原变量表示，取值为0的输入用反变量表示，然后把这些乘积项相加即可。最大项法：输出为0的输入组合写成和项的形式，其中取值为0的输入用原变量表示，取值为1的输入用反变量表示，然后把这些和项相乘即可。第43页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三真值表与表达式

楼梯路灯控制问题开关：A、B：上——“1”；下——“0”。灯：Y：亮——“1”；灭——“0”。或：第44页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三例题：三人表决器用A、B、C代表三个人：用1表示同意用0表示反对用F表示最后表决结果：用1表示通过用0表示否决遵守“少数服从多数”的原则。11111011110100011110001001000000FCBA写真值表第45页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三用最小项写表达式输出为1的输入组合项：011、101、110、111

输入为1的用原变量表示，输入为0的用反变量表示则有：ABC、ABC、ABC、ABC所以：F＝ABC+ABC+ABC+ABC第46页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三逻辑图（以最小项表达式为例）

F＝ABC+ABC+ABC+ABC画逻辑图时，应遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算优先次序第47页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三波形图第48页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三用最大项写表达式输出为0的输入组合项：000、001、010、100

输入为0的用原变量表示，输入为1的用反变量表示则有：A+B+C、A+B+C、A+B+C、A+B+C所以：F＝(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)第49页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三例：设计一个奇较验电路（假设输入端有4位代码）。要求输入用A、B、C、D表示，输出用F表示。输入端的取值选择只有0、1两种。输出端用“0”表示输入有偶数个1；用“1”表示输入有奇数个1；第50页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三ABCDF00000000110010100110010010101001100011111000110010101001011111000110111110111110函数表达式：最小项表达式

最大项表达式

第51页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三练习:

设计一位全加器，要求写出真值表，最小项表达式，最大项表达式，并将S的最小项表达式化简。

真值表1111101011011011000101110100101010000000SCOBACI最小项表达式：最大项表达式：第52页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三2.3逻辑函数的卡诺图化简法一、卡诺图由真值表按一定规则画出的方格图。变量取值：两两相邻，首尾相邻。（按循环码排列）特点（1）几何相邻←→逻辑相邻 ——便于化简（2）对于变量数n＞5的逻辑函数，复杂少用。二、用卡诺图表示逻辑函数1、给出真值表

在对应变量取值组合的每一个小方格中，函数值为“1”的填“1”，为“0”填“0”。第53页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三ABCD0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111ABCD00000001001100100110011101010100110011011111111010101011100110008421码循环码第54页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三e.g.

或

2、给出最小项表达式在对应于函数的每一个最小项的小方格中填“1”，其它填“0”。e.g.Y(A,B,C,D)=∑(0,3,5,6,9,10,12,15)0格可为空第55页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三3、给出非标准形式（1）配项→标准表达式→填图 （繁琐）（2）观察法e.g.4、给出其它形式表达式

先变换→与或式→填图e.g.第56页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三三、卡诺图的性质和运算1、全“0”格对应Y=02、全“1”格对应Y=13、卡诺图相加、相乘、异或——对应格相加、相乘、异或。

+=4、卡诺图反演 “1”格→“0”格 “0”格→“1”格四、用卡诺图合并最小项的规律

2个相邻1格可合并成一个乘积项，消去1个有01变化的变量，保留无变化的变量；

4个相邻1格可合并成一个乘积项，消去2个有01变化的变量，保留无变化的变量；

8个相邻1格可合并成一个乘积项，消去3个有01变化的变量，保留无变化的变量；

2i个相邻1格可合并成一个乘积项，消去i个有01变化的变量，保留无变化的变量。第57页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三五、用卡诺图化简逻辑函数1、简化原则（1）圈尽量大； ——变量数少（2）圈数尽量少； ——乘积项少（3）每一个“1”格都被圈到，没有“0”格被圈；（4）全部是必要项，没有多余项。必要项：对应圈中至少有一个“1”格只被圈一次。

——有新“1”格多余项：对应圈中的每一个“1”格都被圈2次或2次以上。2、化简步骤（1）画卡诺图。（2）按简化原则化简函数。——先圈只有一种圈法的圈（3）检查是否全部“1”格被圈，没有“0”格被圈。（4）写出相应的简化式。第58页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三e.g.1Y(A,B,C,D)=∑(0,2,5,6,7,9,10,14,15)解

第一步：填写卡诺图（为了叙述方便，这里填写最小项的编号，平常应该在对应最小项方格中填1）。

第二步：画包围圈。

第三步：化简包围圈。000111100001ABCD

1110111111111第59页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三Eg2.化简函数：1011010010110100ABCD卡诺图为：11111111用三个圈覆盖：最简与或式为：1可重复使用要圈两个1(1)第60页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三1011010010110100ABCD1010110100ABCY=AB+AB+BC+BC111111卡诺图如右;圈黑圈，得：Y=AB+BC+CA圈篮圈，得：Y=AB+BC+CAY(A,B,C,D)=m1+m5+m6+m7+m11+m12+m13+m1511111111显然，紫圈是多余的。避免画多余圈的方法：1.画完圈后注意检查；2.先圈只有一种方法可圈的1。(2)(3)

当最简式不唯一时，画圈的方法也不唯一第61页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三(4)Y=AD+BCD+ABC+ACD+ABD1011010010110100ABCD1011010010110100ABCD1111111111=AB+BC+BDY=ACD+CD+AD+AB+ABC111111111111这种情况可通过圈0求Y来解决：Y=ADY=A+D(5)第62页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三（6）F=(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+B+C+D)(A+D)F为或与式，可先对F求对偶式F’即F’=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+AD画出F’的卡诺图1011010010110100ABCD11111111F’=AD+ADF=(F’)’=(A+D)(A+D)=AD+AD第63页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三e.g.3

第64页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三e.g.4Y(A,B,C,D)=∑(0,2,5,6,7,8,9,10,11,14,15)注：每一项都是必要项构成的函数表达式不一定最简！圈“1”→与或式→或与式；反函数圈“1”→与或式，再求非→或与式；直接圈“0”格→或与式。——最大项概念第65页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三对于输入变量的每一组取值组合，逻辑函数都有确定的值，则这类逻辑函数称为完全描述的逻辑函数。对于输入变量的某些取值组合，逻辑函数值不确定（可以为1，也可以为0），这类逻辑函数称为非完全描述的逻辑函数。对应输出函数值没有确定值的最小项（最大值）称为无关项，任意项或约束项。函数值可以为1，也可以为0（记为Ф或×）。六、具有无关项的逻辑函数及其化简第66页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三无关项：在一个逻辑函数中，变量的某些取值组合不会出现（约束项）；或者函数在变量的某些取值组合时，输出可以是“0”，也可以时“1”（任意项）。有些教材不区分约束项和任意项，统称为任意项、约束项、随意项。含无关项的逻辑函数——非完全描述的逻辑函数。无关项的表示：∑d(…)；∑φ(…)；AB+AC=0；d=AB+AC。无关项在化简时取“0”还是“1”——依据对化简是否有利。第67页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三（一）无关项无关项是约束项和任意项的总称。

1、约束项：是最小项，若使该最小项的值为1的输入变量取值不允许输入，则称该最小项为约束项。

例如，四舍五入函数——用A,B,C,D组成的四位二进制数表示1位十进制数，当该数大于4时输出为1。ABCDY

0000000010001000011001000010110110101111100011001110101011

1100

1101

1110

1111

真值表为：1010——1111六个值不允许输入。将m10～m15称为约束项。在真值表和卡诺图中都用表示。第68页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三在函数式中约束项的表示方法：m10+m11+m12+m13+m14+m15=0也可用求和符号表示上式：将约束项之和等于0称为约束条件因此四舍五入函数可表示为

把这类逻辑函数称为有约束的逻辑函数。1011010010110100ABCD11111第69页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三2.任意项：是最小项，若使其值为1的变量取值输入时，函数值可为0，也可为1，则称该最小项为任意项。

任意项很少遇到，这里不作讨论。（二）约束项在化简中的应用约束项对应的函数值可为0，也可为1。原则是将函数化到最简。1011010010110100ABCD11111第70页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三解填写卡诺图，画包围圈，化简。化简结果为：经比较，合理利用任意项，确实能使逻辑函数的表达式进一步化简。00011110(a)

不利用任意项1100011110ABCD111××××××(b)

利用任意项000111101100011110ABCD111××××××Eg6.第71页，讲稿共83页，2023年5月2日，星期三化简Y(A,B,C,D)=Σm(1,4,9,13)+Σd(5,6,7,10)画出卡诺图，标出多余项1011010010110100ABCD1111××××可得化简结果：Y=AB+CD第72页，讲稿共83页，20