高数课件同济版上下册全微分及其运用

第三节全微分及其应用一、全微分的定义二、全微分存在的必要条件三、全微分存在的充分条件f

(

x

+

Dx,

y)

-

f

(

x,

y)f

(

x,

y

+

Dy)

-

f

(

x,

y)»»f

x

(

x,

y)Dxf

y

(

x,

y)Dy二元函数对x

和对y

的偏微分二元函数对x

和对y

的偏增量偏导数是多元函数只对其某一个自变量的导数，本质上就是一元函数的导数。那么根据一元函数微分学中增量与微分的关系中可得一、全微分的定义全增量的概念如果函数z

=

f

(

x,

y)在点P(x,

y)的某邻域内有定义，并设P1(

x

+

Dx,

y

+

Dy)为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差f

(

x

+

Dx,

y

+

Dy)

-

f

(

x,

y)为函数在点P

对应于自变量增量Dx,Dy

的全增量，记为Dz，即Dz=

f

(

x

+

Dx,

y

+

Dy)

-

f

(

x,

y)如果函数z

=f

(x,y)在点(x,y)的全增量

Dz

=f

(x

+Dx,y

+Dy)-f

(x,y)可以表示为

Dz

=ADx

+BDy

+o(r

)，其中A,B不依赖于Dx,Dy

而仅与x,y有关，r

=(Dx)2

+

(Dy)2

，全微分的定义则称函数z

=f

(x,y)在点(x,y)可微分，ADx

+

BDy

称为函数z

=

f

(

x

,

y

)在点(

x,

y)的全微分，记为dz，即

dz=

ADx

+

BDy

.函数若在某区域

D

内各点处处可微分，则称这函数在

D

内可微分.二、全微分存在的必要条件lim

Dz

=

0,rfi

0Dxfi

0Dyfi

0lim

f

(

x

+

Dx,

y

+

Dy)

=

lim[

f

(

x,

y)

+

Dz]rfi

0=

f

(

x,

y)故函数z

=f

(x,y)在点(x,y)处连续.定理

1

若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微,则它在点(x0

,y0)处必连续.证明:

因为函数

z

=

f

(

x,

y)在点

P(

x,

y)可微分,Dz

=

ADx

+

BDy

+

o(

r

),从而有定理2（必要条件）如果函数z

=f

(x,y)在点¶x(x,y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数¶z

、¶z

必存在，且函数z

=f

(x,y)在点(x,y)的全微分¶y为dz

=

¶z

Dx

+

¶z

Dy．¶x

¶yDz

=

ADx

+

BDy

+

o(

r

)总成立,DxDxfi

0¶x当Dy=0时，上式仍成立，此时r

=|

Dx

|,f

(

x

+

Dx,

y)

-

f

(

x,

y)

=

A

Dx

+

o(|

Dx

|),lim

f

(

x

+

Dx,

y)

-

f

(

x,

y)

=

A

=

¶z

,同理可得¶yB

=

¶z

.证因为函数z

=f

(x,y)在点P(x,y)可微分,P¢(x

+Dx,y

+Dy)˛

P

的某个邻域一元函数在某点的导数存在微分存在．多元函数的各偏导数存在全微分存在．.0x2

+

y2

=

0x2

+

y2

„

0x2

+

y2xy例如，f

(x,y)=证明

(1)

f(x,y)在点(0,0)处连续f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在f(x,y)在点(0,0)处不可微xy0

£|

|£|

y

|证

(1)

当x2+y2≠0时,

有x2

+

y2于是,由极限的夹逼法则,有lim

f

(

x,

y)

=

f(x0

,

y0)x

fi

x0yfi

y0所以，函数f(x,y)在点(0,0)处连续.(2)

根据偏导数的定义,在点(0,0)处有fx

(0,0)

=

fy

(0,0)

=0,(Dx)2

+

(Dy)2Dx

DyDz

-[

f

x

(0,0)

Dx

+

f

y

(0,0)

Dy]=则r(Dx)2

+

(Dy)2如果让点P

(Dx,Dy)沿着直线y

=x

趋近于(0,0)，Dx

Dy=

Dx

Dx

=

1

,(Dx)2

+

(Dx)2

2说明它不能随着r

fi

0而趋于

0,

这说明r

fi

0

时，Dz

-[

fx

(0,0)

Dx

+

f

y

(0,0)

Dy]

„

o(

r),函数在点(0,0)处不可微.(3)定理２（充分条件）如果函数z

=f

(x,y)的偏导数¶z

、¶z

在点(x,y)连续，则该函数在点¶x

¶y(x,y)可微分．证Dz

=

f

(

x

+

Dx,

y

+

Dy)

-

f

(

x,

y)=

[

f

(

x

+

Dx,

y

+

Dy)

-

f

(

x,

y

+

Dy)]+[

f

(

x,

y

+

Dy)

-

f

(

x,

y)],三、全微分存在的充分条件在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理f

(

x

+

Dx,

y

+

Dy)

-

f

(

x,

y

+

Dy)=

f

x

(

x

+q1Dx,

y

+

Dy)Dx

(0

<

q1

<

1)=fx

(x,y)Dx

+aDx

（依偏导数的连续性）其中

a为Dx,

Dy的函数,且当Dx

fi

0,Dy

fi

0时，a

fi

0.

aDx

+

bDy

£

a

+

br

fi

0fi

0,r故函数z

=f

(x,y)在点(x,y)处可微.同理f

(

x,

y

+

Dy)

-

f

(

x,

y)=f

y

(x,y)Dy

+b

Dy,

当Dy

fi

0时，b

fi

0,Dz

=

fx

(x,

y)Dx

+aDx

+

f

y

(x,

y)Dy

+

bDy习惯上，记全微分为dz

=¶z

dx

+¶z

dy.¶x

¶y通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．全微分的定义可推广到三元及三元以上函数du

=

¶u

dx

+

¶u

dy

+

¶u

dz.¶x

¶y

¶z叠加原理也适用于二元以上函数的情况．例

1

计算函数z

=

e

xy

在点(2,1)处的全微分.解¶x¶z

=

ye

xy

,¶y¶z

=

xe

xy

,=

e2

,¶x

(

2,1)¶z=

2e2

,¶y

(

2,1)¶zdz

=

e2dx

+

2e2dy.所求全微分4例2

求函数z

=y

cos(

x

-2

y)，当x

=p，y

=p，4dx

=p

，dy

=p时的全微分.解¶x¶z

=

-

y

sin(

x

-

2

y),¶y¶z

=

cos(

x

-

2

y)

+

2

y

sin(

x

-

2

y),(

,p)4p(

,p)4p(

,p)4dz

p¶y¶x=

¶z82

p(4

-

7p).dx

+

¶z

dy

=例32计算函数u

=x

+sin

y

+e

yz

的全微分.解¶x¶u

=

1,¶u

=

1

cos

y

+

ze

yz

,¶y

2

2¶u

=

ye

yz

,2

2( cos

y

+

ze

yz

)dy

+

ye

yzdz.¶z所求全微分du

=

dx

+

1例

4

试证函数10, (

x,

y)

=

(0,0), (

x,

y)

„

(0,0)x

2

+

y

2

xy

sinf

(

x,

y)

=

在点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)不连续，而f

在点(0,0)可微.思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分(x,y)„(0,0)，(x,y)=(0,0)讨论.证令x

=

r

cosq

,

y

=

r

sinq

,则1x2

+

y2lim

xy

sin(

x

,

y

)fi

(0,0)r=

lim

r

2

sinq

cosq

sin1=

0

=

f

(0,0),rfi

0故函数在点(0,0)连续,xDxDxfi

0f

(0,0)

=

lim

f

(Dx,0)

-

f

(0,0)

=

lim

0

-

0

=

0,DxDxfi

0同理f

y

(0,0)

=

0.当(x,y)„(0,0)时，11x2

yf

x

(

x,

y)

=

y

sin,x2

+

y2cos(

x2

+

y2

)3-x2

+

y2当点P

(x,y)沿直线y

=x

趋于(0,0)时,lim

f

x

(

x,

y)(

x

,

x

)fi

(0,0),1

1-

3

cos2

|

x

|2 2

|

x

|x32

|

x

|=

lim

x

sinxfi

0

不存在.所以f

x

(x,y)在(0,0)不连续.同理可证f

y

(x,y)在(0,0)不连续.f

(Dx,

Dy)

-

f

(0,0)

-(

f

(0,0)Dx

+

fx(0,0)Dy)y1(Dx)2

+

(Dy)2=

Dx

Dy

sin=

o(

(Dx)2

+

(Dy)2

)故f

(x,y)在点(0,0)可微df

(

0,0)

=

0.多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导全微分在近似计算中的应用当二元函数z

=f

(x,y)在点P(x,y)的两个偏导数fx

(x,y),fy

(x,y)连续，且Dx

,Dy都较小时，有近似等式Dz

»

dz

=

fx

(

x,

y)Dx

+

fy

(

x,

y)Dy.也可写成f

(

x

+

Dx,

y

+

Dy)»

f

(

x,

y)

+

fx

(

x,

y)Dx

+

fy

(

x,

y)Dy.例

5

计算(1.04)2.02

的近似值.解设函数f

(x,y)=x

y

.取x

=1,y

=2,Dx

=0.04,Dy

=0.02.

f

(1,2)

=

1,y-1fx

(

x,

y)

=

yx

,fx

(1,2)

=

2,yfy

(

x,

y)

=

x

ln

x,fy

(1,2)

=

0,由公式得

(1.04)2.02

»

1

+

2

·

0.04

+

0

·

0.02

=

1.08.１．多元函数全微分的概念；

２．多元函数全微分的求法；

３．多元函数连续、可导、可微的关系．（注意：与一元函数有很大区别）三、小结（2）

f

¢(

x,

y)、

f

¢(

x,

y)在点(

x

,

y

)的x

y

0

0某邻域存在；¢

¢（3）Dz

-

f

x

(

x,

y)Dx

-

f

y

(

x,

y)Dy，当

(Dx)2

+

(Dy)2

fi

0时是无穷小量；（4）Dz

-

f

¢(

x,

y)Dx

-

f

¢(

x,

y)Dyx

y,(Dx)2

+

(Dy)2当

(Dx)2

+

(Dy)2

fi

0时是无穷小量.思考题函数z

=f

(x,y)在点(x0

,y0

)处可微的充分条件是:（1）

f

(x,y)在点(x0

,y0

)处连续；一、填空题:y1、设z

=e

x

,则¶x¶z¶y¶z

==

；；dz

=

.2、若u

=ln(

x

2

+y

2

+z

2

),则du

=

.3、若函数z

=y

,当x

=2,y

=1,Dx

=0.1,Dy

=-0.2时,x函数的全增量Dz

=

;全微分dz

=

.y4、若

函

数

z

=

xy

+

x

,则

z对x

的

偏

增

量xDxDxfi

0D

z

=

;

lim

D

x

z

=.练习题二、求函数z

=ln(1

+x

2

+y

2

)当x

=1,y

=2时的全微分