高中数学-平面向量数量积的坐标表示模夹角教学设计学情分析教材分析课后反思

2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学设计[教学目标]一、知识与能力：1、掌握平面向量数量积的坐标表示；2、能利用平面向量数量积解决有关长度、角度的问题.二、过程与方法：渗透数形结合的数学思想方法，培养学生转化问题的能力；借助物理背景，感知数学问题，探究知识的来龙去脉；培养学生转化问题的能力.三、情感、态度与价值观：培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题；树立学科之间相互联系、相互促进的辩证唯物主义观点.[教学重点]向量的数量积的坐标表示、模、夹角[教学难点]求向量的模与夹角[教学过程]一、新课导入（一）、复习回顾1．平面向量的数量积的物理背景及几何意义a﹒b=|a||b|cos，其中是a与b的夹角；数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积.2．平面向量数量积的运算律.（1）ab=ba；（2）(a)b=(ab)=a(b)；（3）(a+b)c=ac+bc3．两个向量的数量积的性质：设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则：1）2）3）当与同向时，·=||·||；当与反向时，·=-||·||.特别地，·=||2或||=4）cos5）|·|||·||（二）引入：平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.二、师生互动，新课探究：【探究一】．平面向量数量积的坐标表示探究：已知两个非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，怎样用a与b的坐标表示a﹒b？①平面向量的数量积能否用坐标表示?②已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢?③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下:∵a=x1i+y1j，b=x2i+y2j，∴a﹒b=(x1i+y1j)﹒(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i﹒j+x2y1i﹒j+y1y2j2又∵i﹒i=1，j﹒j=1，i﹒j=j﹒i=0∴a﹒b=x1x2+y1y2即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.探究（二）：向量的模和夹角的坐标表示（1）向量的模.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，那么.3．向量的垂直设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则abx1x2+y1y2=0.4．向量的夹角设a、b都是非零向量，a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，是a与b的夹角，则.练习:已知a＝(1，√3)，b＝(–2，2√3),求a与b的夹角θ.例1：已知a=(3,-1)，b=(1,-2)，求a﹒b，|a|，|b|，a与b的夹角.解：，，，.变式训练1：已知a=(1,2)，b=(2,-2)，求|a|，|b|以及a与b的夹角的余弦值.点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高例2已知a=(-3,5)，b=(2,-3)，若a+kb与2a+3b垂直，求k的值.变式训练2：已知a=(2,-3)，b=(3,1)，且b-a与b垂直，求实数的值.例3:已知A（1、2），B（2，3），C（2，5），求证ΔABC是直角三角形活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.注：两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角线垂直等.三、当堂检测三、当堂检测..__________,___,),2,5(),4,3(1bababa则、已知3、已知a=(1，2)，b=(-3，2)，若ka+b与2a-b垂直，则k=.四、课堂小结，巩固反思：1．掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和；2．要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度及垂直问题.知识总结：2.2.2.五、分层作业：A组：课本P108习题2.4A组：5、9、10、11B组：1.已知a=(4，3)，向量b是垂直a的单位向量，则b等于（）A.或B.或C.或D.或2、已知a=(3，1)，b=(1，2)，求满足xa=9与xb=4的向量x.3、已知a＝（１，），b＝（＋１，－１），则a与b的夹角是多少?分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜·｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.【学情分析】

1、在此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。2、学生的基础普遍差，他们的思维能力、理解能力、运算能力都相对较差，因此在教学时要降低教学难度，选取简单的、易于学生能够接受和掌握的题型，以增强学生学习的自信心，提高学习兴趣。【效果分析】1.采用探究式教学法，激发了学生的学习热情，因此大部分学生参与课堂的主动性都有所增强。2.学生整体掌握较好，上课积极性较高学生容易推导出平面向量数量积的坐标表示、模及夹角，能够进行平面向量的数量积的坐标运算，利用坐标求向量的模及夹角，解决向量垂直的简单问题，但对于稍复杂的问题一部分学生感到困难，经多媒体演示、例题讲解、巩固练习、小组讨论后，难点基本得以突破。3.不足之处是课堂容量相对于学生基础来说容量较大，在课堂练习、例题时，因学生的基础和思维运算能力普遍较低，给学生留的思考和解答时间相对较少，语言的简洁性和连贯性需进一步完善。【教学反思】课堂教学中，通过学生自主预习、教师提、点、引、领和学习小组合作交流，即时评价学生对本节课的知识目标的达成度，通过分组讨论，检查学生的交流，协作能力的养成；通过小组展讲，检查学生对知识的掌握程度和思维断层进行及时补充和提升；学习小组的合作学习课本内容，评价学生合作，探究能力。“平面向量数量积的坐标表示”的推导方法，再贯穿数形结合思想，探究向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式．该方法反映了向量的本质，可以进一步促进学生建立向量与解析几何的内在联系，而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路．本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“数形结合法”这一思路．为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的问题体现了分析、解决问题的一般思路，运用这一方法解决问题简单化．在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是考一考中借助图形的直观性，学生思路的获得就水到渠成了。在教学中，我适时的对学生学习过程给予评价，适当的评价，可以培养学生的自信心，合作交流的意识，利用多媒体辅助教学，可以加大一堂课的信息容量，更进一步地激发了学生的学习兴趣，让他们体验成功的喜悦。【教材分析】一、本课的地位和作用：1、这一节的内容选自人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书A版必修4第二章第四节第二课时。平面向量数量积的坐标表示就是利用坐标这一量化工具表达平面向量数量积的运算，为研究平面中的距离、垂直、角度提供了全新的手段，它把向量的数量积与坐标运算紧密地联系起来，是本章的重点之一。2、平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.二、教学目标1、知识与技能：掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2、过程与方法：通过用坐标表示平面向量数量积的有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内在联系，明确数学是研究数与形有机结合的学科。3、情感态度与价值观：能用所学知识解决有关综合问题。三、重点难点教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.【评测练习】1．设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于()A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(5,3)C.eq\f(5,3) D.eq\f(3,2)2．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于()A．4eq\r(2)B．2eq\r(5)C．8D．8eq\r(2)3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,3)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(7,9)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))4．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(1,5)C．－eq\f(\r(5),5) D．－eq\f(1,5)5.如图，已知点A(1,1)和单位圆上半部分上的动点B，若⊥，则向量的坐标为________．6．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝2eq\r(5)，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝eq\f(\r(5),2)，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.【课标分析】1.知识内容的整体定位前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利