血管分支模型

关于血管分支模型第1页，讲稿共23页，2023年5月2日，星期三几何假设 一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面。（在同一平面内消耗的能量是最小的，在三维的或者是扭曲的平面上消耗的能量可能会比较大。）物理假设

血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动，血管壁是没有弹性的。决定阻力的大小生理假设血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增加而增加，管壁厚度d近似与血管半径r成正比。越粗的血管内表面积越大，管壁越粗吸收的能量就越多。决定吸收能量的大小模型假设qq1q1ABB´CHLll1rr1考虑血管分支AC、CB与CB‘q=2q1第2页，讲稿共23页，2023年5月2日，星期三黏性流体在刚性管道中运动Hagen–Poiseuilleequation【给一个超链接跳到介绍Poiseuille这个人那一页】

令体积流率【单位时间通过特定表面积的流体体积】血管两端压力差（AC）黏性系数【取决于管壁和相应流体的黏度】血管的半径血管的长度------------（1）模型建立第3页，讲稿共23页，2023年5月2日，星期三泊肃叶（Jean-Louis-MariePoi-seuille，1799～1869）

法国生理学家。他在巴黎综合工科学校毕业后，又攻读医学，长期研究血液在血管内的流动。在求学时代即已发明血压计用以测量狗主动脉的血压。

他发表过一系列关于血液在动脉和静脉内流动的论文（最早一篇发表于1819年）。其中1840～1841年发表的论文《小管径内液体流动的实验研究》对流体力学的发展起了重要作用。他在文中指出，流量与单位长度上的压力降并与管径的四次方成正比。这定律后称为泊肃叶定律。由于德国工程师G.H.L.哈根在1839年曾得到同样的结果，W.奥斯特瓦尔德在1925年建议称该定律为哈根－泊肃叶定律。【此处跳转到介绍定理的那一页】

泊肃叶和哈根的经验定律是G.G.斯托克斯于1845年建立的关于粘性流体运动基本理论的重要实验证明。现在流体力学中常把粘性流体在圆管道中的流动称为泊肃叶流动。医学上把小血管管壁近处流速较慢的流层称为泊肃叶层。1913年，英国R.M.迪利和P.H.帕尔建议将动力粘度的单位依泊肃叶的名字命名为泊(poise),1泊＝1达因·秒/厘米2。1969年国际计量委员会建议的国际单位制(SI)中,动力粘度单位改用帕斯卡·秒,1帕斯卡·秒=10泊。第4页，讲稿共23页，2023年5月2日，星期三泊肃叶定律（Poiseuille'slaw）

也称为帕醉定律、哈根-泊肃叶定律（Hagen-Poiseuille'slaw）、哈根-帕醉方程（Hagen-Poiseuille'sequation），是描述流体流经细管（如血管和导尿管等）所产生的压力损失，压力损失和体积流率、动黏度和管长的乘积成正比，和管径的四次方成反比例。

此定律适用于不可压缩、不具有加速度、层流稳定且长于管径的牛顿流体。泊肃叶定律是让·泊肃叶于1838年和戈特希尔夫·哈根于1838和1839年分别实验独立发现的，并于1840年和1846年发表。【通过实验发现的经验公式】

泊肃叶定律的应用前提有三：

假设液体是不可压缩流体；

假设液体是牛顿流体，即它的粘滞系数不随流速而改变；

假设液体的流动是层流，而不是湍流，即管的直径不能太大。第5页，讲稿共23页，2023年5月2日，星期三克服阻力消耗能量：【为了维持血管两端的压力差】由公式（1）可以推得：带入公式，化简单位面积的压力体积流率---------（2）模型建立第6页，讲稿共23页，2023年5月2日，星期三提供营养消耗能量：管壁内表面积：2rl管壁体积：管壁厚度d与r成正比qq1q1ABB´CHLll1rr1模型建立第7页，讲稿共23页，2023年5月2日，星期三机体为血液提供的总能量=克服阻力消耗的能量+提供营养消耗能量将公式（1）、（2）相加：对应较粗的血管对应较细的血管模型建立第8页，讲稿共23页，2023年5月2日，星期三模型求解第9页，讲稿共23页，2023年5月2日，星期三由于另验证模型求解第10页，讲稿共23页，2023年5月2日，星期三模型改进几何假设 一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面。物理假设

血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动。生理假设血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增加而增加，管壁厚度d近似与血管半径r成正比。一条粗血管和两条细血管在分支点不对称分布。那么假设单位时间在粗细血管中的血液流量分别为q,q1,q2,则：第11页，讲稿共23页，2023年5月2日，星期三模型求解克服阻力消耗能量：提供营养消耗能量：第12页，讲稿共23页，2023年5月2日，星期三模型求解求的最小值第13页，讲稿共23页，2023年5月2日，星期三模型求解另验证第14页，讲稿共23页，2023年5月2日，星期三模型验证若记动物大动脉的半径为Rmax，最细的毛细血管的半径为Rmin，设从大动脉到最细的毛细血管有n次分叉，那么得到：对狗进行测量得到：所以狗的血管总数大约有225~230第15页，讲稿共23页，2023年5月2日，星期三模型验证第16页，讲稿共23页，2023年5月2日，星期三模型验证第17页，讲稿共23页，2023年5月2日，星期三模型验证问题存在的原因：实际上人体血管分支很少对称，腹主动脉末端向左右骼总动脉分支所形成的的两个角度存在显著性差异；分支的三条血管很少在同一平面，而是一个立体几何的三维结构关系血管的三维立体结构、不对称性第18页，讲稿共23页，2023年5月2日，星期三模型拓展同样的研究方法也用于研究人体其他的结构上，比如胆管【因为都可以简化为黏性流体在刚性管道中的运动】第19页，讲稿共23页，2023年5月2日，星期三模型发展1926年，C.D.Murray根据达尔文进化论的观点，提出了血液在血管中传输耗能最小的原则，进而提出了血管网络的最优化模型，即：在流体体积固定的前提下，当流体阻力最小时，心血管直径存在最优比例关系，公式表达为：式中：d0,d1,d2分别表示母管及两个子管直径，特殊情况下d1=d2，可以得到：上述结论是基于管内流体为层流流态的假设得到的，Re<Rec=2000，Re为流体雷诺数，Rec为下临界雷诺数第20页，讲稿共23页，2023年5月2日，星期三模型发展同年，C.D.Murray基于同样的优化原则，得出了分叉管之间的夹角也存在最优值。A.Bejan在2000年一篇文章中推广了Murray'Law，并提出了管内流体为紊流流态，即Re>Rec=2000，在对称的分叉网路中，母管和子管的直径最优比为：它们的夹角最优值为1.307rad，约为74.919度，结论和生理学家Uyling于1977年研究肺部支气管网