椭圆知识点小结

椭圆知识点1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P到两个定点F平面内一个动点P到两个定点F、F的距离之和等于常数(花+12pf=2a>Iff),21212这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若(|PF注意：若(|PF1|+PF2A|F1耳)’则动点P的轨迹为线段卩；212若(IPF1+PF2|<F1F2)，则动点P的轨迹无图形.e=-(0<e=-(0<e<1)的动a注意：TOC\o"1-5"\h\z①对竺+21=1(a>b>0)对应于右焦点F(c,0)的准线称为右准线,a2b2 2方程是x=，对应于左焦点F(—c,0)的准线为左准线x=—-c 1 c②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。3、椭圆的标准方程：x2 y21.当焦点在时由上时，椭圆的标准方程：石+厉=1(a>b>0)'其中"2二a2-b2y2x2当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：—+—=1(a>b>0)，其中C2=a2—b2；a2b2注意：1.只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2.在椭圆的两种标准方程中，都有(a>b>0)和c2=a2—b2；椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在x轴上时，椭圆的焦点坐标为(c,0)，(—c,0)；当焦点在y轴上时，椭圆的焦点坐标为(0,c)，(0,-c)

4、椭圆的简单几何性质：标准方程X2 y2+y-1(a>b>0)a2b2y2 x2y+ -1 (a>b>0)a2b2图形性质焦占八、、八、、F(-c,0),F(c,0)12F(0,-c),F(0,c)12焦距FF-2c12FF -2c12范围5a,y<b<b,y<a对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(土a,0), (0,±b)(0,±a),(±b,0)轴长长轴长-2a，短轴长-2b离心率e--(0<e<1)a准线方程,a2x-±——cy-±聖c焦半径PFi-a+ex,0PF-a一ex20PFi-a+ey,PF-a-ey020注意：椭圆P辛=1的图像中线段的几何特征（如下图）:(1)(|PF(1)(|PFi|+|PF2―」=e；(PMPMPM 1

(2)(眄=|BF2=a)；(|OF丨二|OF丨二c)；12⑶|A1F1\=IA2F2匸a-c；AF⑶|A1F1\=IA2F2匸a-c；AF12二|AFI二a+c:a-c<PF|<a+c:x2y2 y2x2注意：椭圆一+1=1, +厂=1(a>b>0)的相同点：形状、大小都相同；参数间a2b2 a2b2的关系都有(a>b>0)和e=(0<e<1)，a2=b2+c2；不同点：两种椭圆的位置不同;a它们的焦点坐标也不相同。5、规律方法：(1)如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a，b；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。(2)椭圆标准方程中的三个量a,b,c的几何意义椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为(a>b>0)，(a>c>0)，且(a2=b2+c2)。是：看x是：看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。(4)方程Ax2+By2=C(A,B,C均不为零)是表示椭圆的条件Ax2By2 x2By2方程Ax2+By2=C可化为一^+十=1，即一C+十二1，所以只有A、B、C同ABCC CC号，且A圭B时，方程表示椭圆。当=>~时，椭圆的焦点在x轴上；当=<—时，椭圆AB AB的焦点在y轴上。求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程,再由条件确定方程中的参数a,b,c的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。共焦点的椭圆标准方程形式上的差异x2y2共焦点，贝I」c相同。与椭圆——+】=1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为a2b2x2y2+ =1(m>-b2)，此类问题常用待定系数法求解。a2+mb2+m判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：若把曲线方程中的x换成-x，方程不变，则曲线关于y轴对称；若把曲线方程中的y换成-y，方程不变，则曲线关于x轴对称；若把曲线方程中的x、y同时换成-x、-y，方程不变，则曲线关于原点对称。如何求解与焦点三角形厶PF1F2(P为椭圆上的点)有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形△PF]F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或1勾股定理)、三角形面积公式S二TPFX|PF|xsinZFPF相结合的方法进行计呼F2 1 2 12算解题。将有关线段|PF|、|PF|、|FF|，有关角ZFPF(ZFPF<ZFBF)结合起来，建立212121212|PFj+|PF2|、|PFX『柑之间的关