建筑工程之结构力学讲义七零

虚功原理与结构位移计算第7章7/6/20231§7-1应用虚功原理求刚体体系的位移一、结构位移计算概述计算位移的目的：（1）刚度验算，（2）超静定结构分析的基础产生位移的原因：（1）荷载（2）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差以上都是绝对位移以上都是相对位移广义位移位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便7/6/20232二、虚功原理1、实功与虚功

实功是力在自身引起的位移上所作的功。如T11，T22，

实功恒为正。

虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12，如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。P1P2Δ11Δ22Δ12荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到Δ11，对线弹性体系P与Δ成正比。ΔPΔ11P1元功：再加P2，P2在自身引起的位移Δ22上作的功为：在Δ12过程中，P1的值不变，Δ12与P1无关dTOABΔKj位移发生的位置产生位移的原因7/6/202332、广义力与广义位移作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力S。与位移有关的因素，称为广义位移Δ。广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：T=SΔ1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量PΔmβ2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角β。3）若广义力是等值、反向的一对力PPPttABΔBΔA这里Δ是与广义力相应的广义位移。表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。4）若广义力是一对等值、反向的力偶mABΔmmAB这里Δ是与广义力相应的广义位移。表示AB两截面的相对转角。7/6/20234abABCP=1ABCab三、虚力原理已知求虚功方程设虚力状态小结：（1）形式是虚功方程，实质是几何方程；（2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相应的支座反力。构造一个平衡力系；（3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。单位荷载其虚功正好等于拟求位移。——虚设力系求刚体体系位移7/6/20235四、支座位移时静定结构的位移计算（1）C点的竖向位移（2）杆CD的转角ABCDABCD1ABCD1已知位移求:所得正号表明位移方向与假设的单位力方向一致。求解步骤（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；（3）解方程得定出方向。（2）建立虚功方程7/6/20236BABA1AB虚功方程：BABA1A例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对转角d，试求A点在i－i方向的位移。例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向的位移。7/6/20237例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d试求A点在ｉ－ｉ方向的位移。BABABA1由平衡条件：虚功方程：当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移，即是三者的叠加，有：7/6/20238§7-2结构位移计算的一般公式——变形体的位移计算推导位移计算公式的两种途径{由变形体虚功原理来推导；由刚体虚功原理来推导－局部到整体。一、局部变形时的位移计算公式基本思路：dsRdsdsRds（1）三种变形：在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形所引起的位移。7/6/20239dsRdsdsRds1（2）微段两端相对位移：续基本思路：设 微段的变形以截面B左右两端的相对位移的形式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。（3）应用刚体虚功原理求位移d－即前例的结论。或7/6/202310二、结构位移计算的一般公式一根杆件各个微段变形引起的位移总和：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为：7/6/202311适用范围与特点：2）形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。1）适于小变形，可用叠加原理。7/6/202312位移句计算饶公式起也是铅变形晴体虚寸功原会理的律一种节表达懒式。dsdsK1dsdsdsdsdsdsds外虚功：内虚功：变形择体虚活功原去理：顽各微切段内屿力在爱应变露上所串作的磨内虚排功总断和Wi粒，等于尘荷载帆在位只移上政以及遇支座铺反力寇在支鸣座位饿移上因所作蹦的外常虚功避总和We陪。即：6/殃30汁/2及02冲313三、反位移热计算解的一踩般步腿骤:K1实际圾变形橡状态虚力造状态(1畅)巨建立垮虚力谨状态爆：在钓待求趣位移店方向旅上加灵单位括力；(2)求虚力状态下的内力及反力表达式;(3尝)纤用位棒移公牧式计卷算所箭求位能移，捡注意尚正负送号问饱题。6/贞30简/2剖02薪314§7焰-3角荷载矛作用敲下的茄位移仰计算研究陷对象姥：静劈燕定结确构、遵线性圈弹性辨材料点。重点在于解决荷载作用下应变的表达式。一、所计算排步骤（1）在荷载作用下建立的方程，可经由荷载内力应力应变过程推导应变表达式。（2败）由巷上面功的内悟力计腰算应陷变，叮其表橡达式僵由材糠料力瓦学知k-贷-为截存面形牛状系挪数1.2(3虚)育荷载揉作用详下的全位移顽计算细公式6/负30构/2摸02拦315二、包各类气结构脑的位丑移计臂算公术式（1擦）梁狗与刚暴架（2运）桁麦架（3绍）拱6/挖30津/2辣02息316qACB(a混)丝式实际炎状态P=1ACB(b妈)令虚设胶状态AC段CB段例1.试计算悬臂梁A点的竖向位移。1）蚊列出垒两种跟状态例的内芽力方隆程：6/妖30同/2彻02庭317AC段CB段2)将上面各式代入位移公式分段积分计算AC段在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。CB段6/背30怕/2违02妨318CB段设为软矩形稍截面k=1旗.26/淹30望/2焰02冬3193）姑讨论比较城剪切厘变形汪与弯陷曲变如形对匙位移纷的影滤响。设材料的泊松比,由材料力学公式。设矩形截面的宽度为b、高度为h，则有代入上式6/废30汽/2窝02淘320PP1111.51.5-4钳.7惧4-4筹.4旅2-0妻.9阿54.裹51.辈53.像010.50.5-1雨.5约8-1谢.5白8001.凑51.彼52P2P例2洒计算镜屋架气顶点瞧的竖右向位划移。0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGB6/会30快/2驾02售3211111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.010.50.5-1.58-1.58001.51.5ADDCDE材料杆件lA钢筋砼钢CEAEEGABCDEFG6/旗30轧/2袭02差322PP=1例3桌：求扮图示结曲杆陶（1本/4宴圆弧妥）顶恼点的证竖向狼位移滴Δ。解：妨1）壶虚拟狡单位组荷载虚拟蛙荷载3）姓位移序公式撑为ds牺=R述dθθdθds钢筋搬混凝矮土结沫构G售≈0腥.4敞E矩形辽截面忧,k=1跪.2峡,I龟/A历=h2/1熄212001<DDMND4001<DMQD2=DMNARI2412øöçèæ==DDMQRhGAREIk可见晋剪切戴变形回和轴绘向变进形引古起的储位移举与弯卫曲变注形引初起的山位移企相比冲可以材忽略微不计帽。但苹对于盾深梁巡寿剪切悠变形抖引起渴的位件