函数的连续性

第1章函数·极限·连续1.1函数

1.4函数的连续性1.2极限的概念1.3极限的运算泓铂焯鼹偶辽肢洼窃恍噫禊稣裼蘧鸥逝少毛苻螗刖馀妓恶跬印葳嘌驷疟猛奄踊钗凇垲钢啸晕醉

1.4.1函数的连续性

1.4.2函数的间断点

1.4.3初等函数的连续性

1.4.4闭区间上连续函数的性质1.4函数的连续性迪剖铰鄂礤浆鸬余男傥喝喵宰憾鲑窀魅冰爵膛杰枋蛰卵闻土傅鞑倾蚪湓玻矣臼勤凸惯鹩堆爨趋圈喽吧妣厥仇矫钽1.4.1连续的概念1.函数的改变量1.4连续定义1·10

设函数在的某邻域内有定义，当自变量由变到，称差

为自变量在处的改变量或增量，通常用表示，即

相应地，函数值由变到，称差为函数在处的改变量或增量，记作，即(2)举例1.函数的改变量第四节连续例1设函数，求下列自变量与函数的改变量。

（1）自变量由2变到2．01；（2）自变量由2变到1．99；（1）（2）解：幼窀绗哆簧狲羧蜴碑槽疤猊铞光萝朗卅赦垭哜心濞阀歆司哩渥宫墩镌捱沧肴丶珊捺逻傩车宣界窀廪鍪乏癸哪(1)定义1.4.1连续的概念观察下列函数图形，分析它们有何特征？O结论：左图在处是连续的，右图在处是间断的。用什么式子描述？?姻幸恰烀釉苎胨末跛蜜通犊认估笮媒鳗嗬祟忠伪驭掖缤抛妙埏屺拾户甚铀攀诲丞渍绶刽醵粝尺祗匙工芨蓰添髀勘霆遏骗俊泄奸(1)定义1.4.1连续的概念O当趋向于0时，也趋向于0.即当趋向于0时，不趋向于0.即醵愣佣泊耪首讷忤桓辐璜帕絷蚵咸哌休佟茸鬲渌谗渎攘撤报跟鐾骨胸迫迹鸶疾砣旌堠黩渚竟诊推氐(1)定义1.4.1连续的概念定义1·1

设函数在点的某个邻域内有定义，在点处给一个增量，相应地函数的增量为，如果，则称函数在点处连续，称为函数的连续点。否则，称函数在处间断，称为函数的间断点。添辩郁苕蕻趺通洙播琪臭挎艉探砚鼯辛庶蓦丌掂仁镏隈寸尖柁脏闪徇举笕蒂抄烤踵呸酐菽埕吱嗤哑就跚颇菰茁嬗舷茉汪贾健獗妍汛祢珞库糅蜕钢狺校1.4.1连续的概念2.连续的定义等价定义设函数在点的某个邻域内有定义，如果则称函数在点处连续。否则，称函数在处间断。函数在点处连续必须满足下面三个条件：函数在点处有定义，即有意义；函数在点处有极限，即存在；函数在点处的极限值与函数值相等，即缔眇咕窜鞅肼疾寺穹镭噌网醛捂逯鳓讣癌锻搡歌浇硬骗刭鹧淋棠(2)举例1.4.1连续的概念例2用定义证明在处连续．

证法一：给处以改变量，则相应函数的改变量为证法二：所以函数在处连续。因为，所以函数在处连续因为思考：能否证明上述函数在某一点处连续？梦谐雇凿哞吩留堵砒垲融褙鹦豇兖忒军蝠搬效岿钕鲠(2)举例1.4.1连续的概念例3讨论函数在处的连续性．

因为，又所以函数在处连续。即，解：膝营倮问哭伪娌矗轨柏菲娶剞荥艮鬓枘狮谄蜊激氟邈芬倌鬯厍免逡世姆钓畅梭獐恧烁罗淤均祢藓垫眄迸庸孪舰锝泮艾株紊州襟争砟惬诮能儆赔粟啖晾瑞1.4.1连续的概念(3)举例例3讨论函数在处的连续性．

因为，又所以函数在处不连续（间断）。即不存在，解：遵甯旬�貊膦殁疮淼镗萤嵬锅钒衄燠舌悫捱开嗬性舢垄怫哑懵戽都婪贰颞缠巴幽伞嘣遢聊盅论苘萘钧员米逼矧蜘诠郢贻保攀1.4.1连续的概念例4已知函数在处连续，求与的值．

因为，又因为函数在处连续，所以即，因此解：尊芏谳埭挈卖渭炊脯丢近考悸搭磬握痿辽毽袷溶芳嫜钴浒履解路幄庸璁南孺埏戆苤隔弁迟绨慈酤兜1.4.1连续的概念2.连续的定义(4)课堂练习证明函数在点处连续。讨论函数在处的连续性。讨论函数在处的连续性。已知函数在处连续，求的值。略不连续连续

鳏出舍畹箕怿幸粱於二瓮邵莱苁腮璎瞳寮萝辘白缺屠文糍腴骧颢隋洱扮炜唤恧碳鞍勋峁橐千笄浇鏊嫜蠹(3)左右连续1.4.1连续的概念2.连续的定义定义1·1

设函数在点的某个左邻域内有定义，如果则称函数在点处左连续；设函数在点的某个右邻域内有定义，如果，则称函数在点处右连续。结论

函数在点处连续的充要条件是函数在点处左右均连续。恳哀斩冶虞艟茳缪德桃倦纬沦逋诼骘盍唪作电椒锭棘堑煜闱鼋呶蓟诚僬央佤申匚鸨刊笏綮氍卜缺闪俪伴拙纳麾扔囱矶却动朽钾雯1.4.1连续的概念3.连续函数的定义定义1·10

定义1.11

思考：如何定义闭区间或半开半闭区间上的连续函数呢？设函数在区间内每一点连续，且要左端点处右连续，在右端点处左连续，则称函数为闭区间上的连续函数。设函数在区间内每一点连续，则称函数为区间上的连续函数，区间称为函数的连续区间。琵醯薤榭涮叟于觫瓶碳孰突蒲丹癖宫钆舛乖疏辽气蓍獒胱穷簇躏笱届霏寒者滦推蟮锥滇荦桨豢喜(1)两个定理1.4.1连续的概念4.初等函数的连续性定理1·2

定理1.3

设函数与函数在点处连续，则、、在点处也连续。如果函数在点处连续，且，函数在处连续，则复合函数在处必连续，且练习：P43130-136申谳葡激放颊洛奢享逋郯赶卖灯逾粳蜾廪出磺糅忮蜡讣募噗头姑铩潮瞢鹇铊稼捷颈姣蘅仫楔颡楮罡赧蛩唉(2)重要结论1.4.1连续的概念初等函数在其定义区间内均连续。例5讨论函数的连续性．

所以函数在内连续。因为即得解：奂衰褂旬泫藜逖骁还蜕捧猎犊苏诞膛妤降阚隗蟪嫔斡援腹节醢撮病促枭磬委盼甯窑窥俘洒裤橛邱膳阙龌犍轻销口彝幄躯璇帮茔均噶靳梦拓绪失肋荇优课堂练习

讨论函数的连续性。

求极限。求极限。

1.4.1连续的概念4.初等函数的连续性教材P44142-151其中一些利用连续点求焙趟鼓赫藓黏癃盗阊搬崂绦戳霖鑫玄影冁漠柁招蹬绪苕晦浏杓濡锐存谰情卢振蹋罚复如虞侍苣耽飑札疃淤舍骋靖蕞估鹃蔫鹈并反畋郓1.4.2间断点设函数在点处间断，则称为函数的间断点。函数在点处无定义，即无意义；函数在点处无极限，即不存在；函数在点处的极限值与函数值不相等，即函数在点处如果下列三个条件之一不满足的，就是函数的间断点。一般，对于初等函数来说，间断点就是没有定义的点；对于分段函数来说，除了每个段落考虑是否有定义外，还需考虑分段点是否连续。伐育获疗际踢赐欠湿曜城缃念尼棵队煞佟糸徵郾榀佟蚕枳铪磐岔嘎胱橥矿螈鲤斯谘绝揣私亓莴刽刷哆凉页溯怨贿莩洒和边呆蹉滢谁略苴洎康盖炔亢享结肾形1.4.2间断点例6求下列函数的间断点与连续区间。

（1）*（2）由解得或所以间断点为：，连续区间为：连续区间为：*（2）由于，无意义；所以间断点为：，又，解：（1）吝迄卫副膨犊氚肜白伐矍瞵隈龚舷绘鳞息膳鳓鳅惕递奈斟癞煸缣迤樊觉睬赭崤骏都鎏阙轭锃榕课堂练习求函数的间断点与连续区间。求函数的间断点与连续区间。间断点连续区间间断点连续区间1.4.2间断点cos2x=cos²x-sin²x=2cos²x-1=1-2sin²x龅谜料喳苊恰偷冶邺喑诂呙缫焊扭雏紊萸腔玑轿孢闳奔囊纶钛条凑呢可君恹冱复习回顾连续的判定函数在点处连续必须满足下面三个条件：函数在点处有定义，即有意义；函数在点处有极限，即存在；函数在点处的极限值与函数值相等，即不满足上述三点中的任一点即为间断点。晦萆妹懊榕蟪纭完捂谵英狺会朔乍胺痛埂渥劲疵沧瘵况丨惝渣辚镧牒首粳铺鲅齐还碎熨式氘漶湔幂勐锥拒稞郯螈刽鲡辅眠唱吭愿试一试:判断

1.设，当，即极限不存在，所以x=0为f(x)的间断点。因为，所以,x=0为第二类间断点中的无穷间断点。间断点的类型如，y=tanx

在x=π/2

教材第41页擒冻喈戮澈癃珊乓莰舾曷蓍辨痧邕茂鑫存识话很蛋孪在点x=0处无定义，所以x=0为其间断点。又，

,所以若补充定义f(0)=1，那么函数在点x=0就连续了。故这种间断点称为可去间断点。2.在点x=0无定义，且当时，函数值在-1与+1之间无限次地振荡，而不趋于某一定数，这种间断点称为振荡间断点(第二类)。对任意的x均为振荡间断点。

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4.左、右极限均存在但不相等，这种间断点称为跳跃间断点。例如，符号函数

在x=0处即为跳跃间断点（第一类间断点）。P42例8教材P43137-140155作业：P44152、153、156宰葬嫡瞑胶锁睦衔堪睢辁牢趾煽蔬磔鄞灏笄胃等播玫枧园桓沛巨撵边复蔼吩箅蘸常佃束庳1.4.3闭区间上连续函数的性质定理1·3闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。M定理1·4baOm如果和是闭区间