2023届陕西省师范大学附属中学高一数学第二学期期末质量检测模拟试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥为鳖臑，平面，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（）A． B． C． D．2．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况，宜采用的抽样方法依次为()A．①随机抽样法，②系统抽样法B．①分层抽样法，②随机抽样法C．①系统抽样法，②分层抽样法D．①②都用分层抽样法3．若，，则()A． B． C． D．4．已知等比数列的前项和为，若，则()A． B． C．5 D．65．中，，则是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形6．已知集合，则().A． B． C． D．7．若，则（）A．－ B． C． D．8．若点共线,则的值为（）A． B． C． D．9．正方体中,直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．10．如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（）A．4 B．5 C．8 D．9二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知平行四边形的周长为，，则平行四边形的面积是_______12．已知向量，则与的夹角是_________.13．如果奇函数f（x）在[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f（x）在[-7,-3]上是_________.①减函数且最小值是-5；②减函数且最大值是-5；③增函数且最小值是-5；④增函数且最大值是-514．已知，且为第三象限角，则的值等于______；15．若是三角形的内角，且，则等于_____________．16．如图所示，已知点，单位圆上半部分上的点满足，则向量的坐标为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列前项和为，满足，（1）证明：数列是等差数列，并求；（2）设，求证：.18．设等差数列的前项和为，且.（I）求数列的通项公式；（II）设为数列的前项和，求.19．已知数列和中，数列的前n项和为,若点在函数的图象上，点在函数的图象上．设数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和；（3）求数列的最大值.20．如图．在四棱锥中，，，平面ABCD，且．，，M、N分别为棱PC，PB的中点.（1）证明：A，D，M，N四点共面，且平面ADMN；（2）求直线BD与平面ADMN所成角的正弦值．21．设是等差数列，，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，求的最小值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】由题意，PA⊥面ABC，则为直角三角形，PA=3,AB=4，所以PB=5，又△ABC是直角三角形，所以∠ABC=90°,AB=4，AC=5所以BC=3,因为为直角三角形，经分析只能，故，三棱锥的外接球的圆心为PC的中点，所以则球的表面积为.故选C.2、B【解析】①由于社会购买力与收入有关系，所以应采用分层抽样法；②由于人数少，可以采用简单随机抽样法要完成下列二项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中，选出100户调查社会解：∵社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响而社区中各个家庭收入差别明显①用分层抽样法，而从某中学的15名艺术特长生，要从中选出3人调查学习负担情况的调查中个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，∴②用随机抽样法故选B3、B【解析】

利用诱导公式得到的值，再由同角三角函数的平方关系，结合角的范围，即可得答案.【详解】∵，又，∴.故选：B.【点睛】本题考查诱导公式、同角三角函数的平方关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意符号问题.4、A【解析】

先通分，再利用等比数列的性质求和即可。【详解】．故选A.【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题。5、C【解析】

由平面向量数量积运算可得，即，得解.【详解】解：在中，，则，即，则为钝角，所以为钝角三角形，故选：C.【点睛】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量的夹角，属基础题.6、B【解析】

求解一元二次不等式的解集，化简集合的表示，最后运用集合交集的定义，结合数轴求出.【详解】因为，所以，故本题选B.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合交集的运算，正确求解一元二次不等式的解集、运用数轴是解题的关键.7、B【解析】

首先观察两个角之间的关系：，因此两边同时取余弦值即可．【详解】因为所以所以，选B.【点睛】本题主要考查了三角函的诱导公式．解决此题的关键在于拼凑出，再利用诱导公式（奇变偶不变、符号看象限）即可．8、A【解析】

通过三点共线转化为向量共线，即可得到答案.【详解】由题意，可知，又，点共线，则，即，所以，故选A.【点睛】本题主要考查三点共线的条件，难度较小.9、C【解析】

作出相关图形，通过平行将异面直线所成角转化为共面直线所成角.【详解】作出相关图形，由于，所以直线与所成角即为直线与所成角，由于为等边三角形，于是所成角余弦值为，故答案选C.【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值，难度不大.10、B【解析】

由几何概型中的随机模拟试验可得：，将正方形面积代入运算即可．【详解】由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，则其中落入黑色部分的有605个点，由随机模拟试验可得：，又，可得，故选B．【点睛】本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

设，根据条件可以求出，两边平方可以得到关系式，由余弦定理可以表示出，把代入得到的关系式，联立求出的值，过作垂直于，设，则可以表示，利用勾股定理，求出的值，确定长，即求出平行四边形的面积【详解】设又，由余弦定理将代入，得到将（2）代入（1）得到可以解得：(另一种情况不影响结果)，过作垂直于，设,则，所以填写【点睛】几何题如果关系量理清不了，可以尝试作图，引入相邻边的参数，通过方程把参数求出，平行四边形问题可以通过转化变为三角形问题，进而把问题简单化.12、【解析】

利用向量的数量积直接求出向量的夹角即可.【详解】由题知，，因为，所以与的夹角为.故答案为：.【点睛】本题考查了利用向量的数量积求解向量的夹角，属于基础题.13、④【解析】

由题意结合奇函数的对称性和所给函数的性质即可求得最终结果．【详解】奇函数的函数图象关于坐标原点中心对称，则若奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值为1，那么f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是增函数且最大值为﹣1．故答案为：④．【点睛】本题考查了奇函数的性质，函数的对称性及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．14、【解析】

根据条件以及诱导公式计算出的值，再由的范围计算出的值，最后根据商式关系：求得的值.【详解】因为，所以，又因为且为第三象限角，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查三角函数中的给值求值问题，中间涉及到诱导公式以及同角三角函数的基本关系，难度一般.三角函数中的求值问题，一定要注意角的范围，避免出现多解.15、【解析】∵是三角形的内角，且，∴故答案为点睛：本题是一道易错题，在上，，分两种情况：若，则；若，则有两种情况锐角或钝角.16、【解析】

设点，由和列方程组解出、的值，可得出向量的坐标.【详解】设点的坐标为，则，由，得，解得，因此，，故答案为.【点睛】本题考查向量的坐标运算，解题时要将一些条件转化为与向量坐标相关的等式，利用方程思想进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）．（2）见解析．【解析】（1）由可得，当时，，两式相减可是等差数列，结合等差数列的通项公式可求进而可求（2）由（1）可得，利用裂项相消法可求和，即可证明．试题分析：（1）（2）试题解析：（1）由知，当即所以而故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，且（2）因为所以考点：数列递推式；等差关系的确定；数列的求和18、（I）；（II）.【解析】

（I）根据已知的两个条件求出公差d,即得数列的通项公式；（II）先求出，再利用裂项相消法求和得解.【详解】（I）由题得，所以等差数列的通项为；（II）因为，所以.【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法，考查等差数列前n项和基本量的计算，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19、（1）（2）（3）【解析】

（1）先根据题设知，再利用求得，验证符合，最后答案可得．

（2）由题设可知，把代入，然后用错位相减法求和；（3）计算，判断其大于零时的范围，可得数列取最大值时的项数，进而可得最大值..【详解】解：（1）由已知得：，∵当时，，又当时，符合上式．（2）由已知得：①②②-①可得：（3）令，得：，又且，即为最大，故最大值为.【点睛】本题主要考查了数列的递推式解决数列的通项公式和求和问题，考查数列最大项的求解，是中档题.20、(1)证明见解析；(2)【解析】

（1）先证，再证，即可得证；要证平面ADMN，可通过求证PB垂直于ADMN中的两条交线来证明（2）求直线BD与平面ADMN所成角，需要找出BD在平面ADMN的射影，可通过三垂线定理去进行证明【详解】解：（1）证明因为M，N分别为PC，PB的中点，所以；又因为，所以．从而A，D，M，N四点共面；因为平面ABCD，平面ABCD．所以，又因为，，所以平面PAB，从而，因为，且N为PB的中点，所以；又因为，所以平面ADMN；（2）如图，连结DN；由（1）知平面ADMN，所以，DN为直线BD在平面ADMN内的射影，且，所以，即为直线BD与平面ADMN所成的角：在直角梯形ABCD内，过C作于H，则四边形ABCH为矩形；，在中，；所以，，，在中，，，，所以.综上，直线BD与平面ADMN所成角的正弦值为.【点睛