如何有效的帮助学生建立数感

黄艳秀如何有效地帮助学生建立数感

一、数感是什么？实例一：2010年2月25日，国家统计局公布的《2009年国民经济和社会发展统计公报》显示：我国70个大中城市房屋销售价格同比上涨1.5%，其中新建住宅价格上涨1.3%。此报告一出立刻引起全国一片哗然。公众普遍反映此数据与实际状况严重不符。面对公众质疑，国家统计局召开紧急会议，讨论统计数据来源是否真实可靠？统计方法是否科学？舆论提出的一个问题是：不论统计部门统计方式是否科学，为何公众对房价的感觉与统计结果是大相径庭的呢？此例说明数感的确是存在的，它与公众的社会生活息息相关，并已成为现代社会公民所具有的基本数学素养的一部分。一、数感是什么1、数感是每个公民都应具备的一种基本素养。洗手盆太高了！2、一些关于数感内涵的说法。云鹏、史炳星认为：“数感是人对数与运算的一般理解，这种理解可以帮助人们用灵活的方法作出数学判断和为解决复杂的问题作出有用的策略。”“数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解和运用数的态度与意识。数感是人的一种基本的数学素养。它是建立明确的数概念和有效地进行计算等数学活动的基础，是将数学与现实问题建立联系的桥梁。”郑毓信认为，就数学教育目标的论述而言，与分别列举关于具体数量的分辨能力、计算能力、估算能力等相比，“强调发展学生的数感”传达了一种新的涵义。“数感”与“语感”“方向感”“美感”“质感”等都代表了一种相关的能力，但与能力相比，又都含有一种“直感”的涵义，特别是指对于某种特定的事物或现象的敏感性，及相关的鉴别(鉴赏)能力，而后者通常又并非是一种自觉的过程，仿佛已经成了主体的一种本能，一种直接的“感知”，从而在很多情况下甚至是说不清、道不明的。

叶蓓蓓认为：“数感是以‘数概念’在人脑中的扩展而产生的一种对数学问题的敏感。首先，数感是一种对数字(量)的直觉，并且是一种敏捷的感知，它可以在较短的时间里通过对数学的‘第一印象’反应为数学问题，用数去表示量，帮助主体从感知的层面转到数学思维。”“其次，数感是一种具有培养性的直觉，它通过人对‘数概念’的扩张和延伸而反映为对数学感知不断提升的灵敏性。”“最后，数感作为直感，它具有非逻辑性，非演绎性，反应时间短，稳定性差等特性。”史宁中、吕世虎认为：“‘数感’是对数的感悟。‘感’是外界刺激作用于主体而产生的，是通过肢体(如感官等)而不是通过大脑思维，它含有原始的、经验性的成分。悟是主体自身的，是通过大脑思维而产生的。‘感悟’既通过肢体又通过大脑。因此，既含有感知的成分又有思维的成分。”

在计算“□－４＝９”和“１００÷２５＝？”这类题目时，有些学生很可能会竭尽全力去寻找合适的计算程序来解决问题，而不会去努力寻找题目中数字的相关联系。但是，有些孩子则能应用自己掌握的数字事实来解决问题。我们把孩子们具有这种对数字之间关联的意识以及灵活地解决数字问题的能力称为其对数字的“感觉”或“数感”。——（英）朱莉娅·安吉莱瑞

数感指的是一个人对数字和运算的一般理解力，以及灵活应用这种理解力的倾向和能力，用这种方式可以做出明智的数学判断，并开发出应用数字和运算法则的有效策略。

（麦金托什等，1992年）

数感的内涵国内外关于数感的内涵致可以归纳成这样几类：其一，认为数感是“关于数字（量）的一种直觉”；其二，认为数感与语感、方向感、美感等类似，都会有一种“直感”的涵义，具有对特定对象的一种敏感性及相关的鉴别（鉴赏）能力；其三，认为数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度和意识，是一种基本的数学素养；其四，认为数感包含感觉、知觉、观念、能力，可以用“知识”来统一指称，这一知识是程序性的、内隐的、非结构性的。3、课标对数感的内涵及功能的表述2011版课标的10个核心概念

数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识《标准》重新对数感的内涵及功能作了表述。“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”4、数感的教育价值在数感的教育价值问题上，我国学者普遍地认为数感的培养有助于学生数学地理解和解释现实问题，有助于学生提出问题和解决问题能力的提高，有助于学生发展心算、估算等技巧，有助于发展学生的创新精神和实践能力等。二、小学教师对新课程中有关数感内容的认识状况：

案例1不可思议的选择选择：小明的爸爸身高是（C）米A、1.76B、17.6C、176案例2这样的结果可能吗？爸爸今年32岁，比小明的3倍还多2岁，小明今年几岁？32×3+2=98（岁）答：小明98岁。

案例3错在哪儿？师：同学们，我们一起来看看，下面的计算对吗？如果错了，请你指出错在哪儿？1—1÷8=05÷=28.8÷0.8=1.1生1：我认为他没有按运算顺序算。生2：他抄错了运算符号和数据。生3：这道题目他没有乘除数的倒数。……师：同学们对这些错误分析得很到位，以后大家在计算时，也要避免发生同样的错误。三、小学生数感发展水平的现状：案例一：五年级学生出了这样一道选择题：幸福小学平均每班人数45.4人。幸福小学可能有(

)个班。①

24

②

25

③

26

④

28

这道题正确率大约31％案例二：谁的数感强同样在班上属于中等水平的两位学生回答这样两个问题：问题1：7／8更接近0.5还是更接近1？生1：我认为更接近1。因为7／8化成小数等于0.875，所以它更接近于1。生2：我也认为更接近于1。我想7／8大约是0.8多一点,所以更接近于1。问题2：1／8更接近0.1还是更接近0.2？生1：1／8＝0.125,所以更接近于0.1。生2：1／8大概是0.12多一点,所以它更接近于0.1。案例三上学期我班六年级部分学生做如下一题下面哪个答案接近自己的年龄？()A.520分钟B.520周C.520小时D.520个月有部分学生选C或D案例四某县小学教师招聘考试笔试填空题已知A+B=60，A÷B=，那么A=（），B=(),正确率约50％左右，不可思议的是有些答案填4和6，20和30；36和24……四、怎样有效的帮助学生建立数感（一）在数的认识教学中启蒙数感。（二）重视口算，淡化笔算，促进数感的建立。（三）重视估算教学，提升数感。数的认识：一上：20以内数的认识（含0的认识）一下：100以内数的认识二下：万以内数的认识三上：分数的初步认识三下：小数的初步认识四上：大数的认识（亿以内数的认识）四下：小数的意义和性质五下：分数的意义和性质六下：负数的认识“自左向右”，数级拓展“向微观”，数域拓展改变方向，“自右向左”1、注重借助具体情境理解数的意义

小学生抽象思维较差，尤其是一、二年级的学生更是以形象思维为主，而对自然数的认识则是从一年级一入学就开始了，所以在教学中我们应该紧密联系生活实际，借助直观形象的事物帮助学生经历由具体—抽象—具体的认识过程，进而帮助学生理解自然数的含义。23

如认识2从2个人、2头牛、2个樱桃、2个车轮、2棵树、2本书等等，抽象出2这个数，这时用一个数字也是一个特殊的符号来表示数量，已经把具体的单位和这个数量的具体含义去掉，抽象为数“2”。反过来，2可以表示任何具有2这样数量特征的事物，这时可以让学生说一说生活中你还见到哪些数量是2的事物？《100以内各数的认识》

结合具体情境进一步理解数的意义具体、形象具体、半形象《100以内各数的认识》

结合具体情境进一步理解数的意义模型、半抽象《100以内各数的认识》

结合具体情境进一步理解数的意义完全抽象《100以内各数的认识》

结合具体情境进一步理解数的意义天安门广场：长880米，宽500米，共44万平方米，是世界上最大的广场，可容纳一百万人。《大数的认识》

如果1秒钟数一张1元钱，每天24小时不间断地数，要数完一亿元钱，大家猜猜用多长时间？（3年2个月）

1亿张纸摞起来大约有多高？大约是1万米，比珠穆朗玛峰8848米还高。参照物的选择，有助于学生理解1亿的大小，易于形成数感。逐步将有形的数，扩展到无形的数。2、注重借助多种模型理解数的意义

多种模型的表征：在数的认识过程中，我们要注意运用多种模型帮助学生理解数的意义建立数的概念，比如说：计数器、数位桶，方格图、数位顺序表等，这样逐渐建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系，并且能够知道这个大小和现实中的多少之间的关系，这也是数感很重要的本质问题。以自然数的认识为例：数轴的模型加强10的认识01234567891017＋10□一串珠子一列立方体数字轨道数轴示意线《百以内数的认识》《百以内数的认识》《百以内数的认识》《百以内数的认识》百数表《百以内数的认识》《百以内数的认识》《万以内数的认识》《万以内数的认识》10个一是十，10个十是一百，10个一百是一千，10个一千是一万……

在实际教学中我们还要关注多种模型的运用，帮助学生理解分数的意义。1．分数的面积模型：用面积的“部分—整体”表示分数利用多种模型帮助学生理解分数的意义用集合的“子集—全集”来表示分数2.分数的集合模型

3.分数的“数线模型”：数线上的点表示分数

分数墙

认识自然数的重点在于使学生能够从数量抽象到数，而抽象离不开直观的支撑和操作，因此我们要注意运用多种学具通过动手操作，来帮助学生理解数的意义，建立数的概念。比如：可以借助计数器、数位桶，小棒、方块模型、方格图、数位顺序表等学具，逐渐建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系。教学中可以让学生借助学具通过亲自数一数、摆一摆、圈一圈、画一画等活动，经历抽象的数与具体的事物一一对应的过程，感受具体的数量，理解自然数的实际意义。3、借助动手操作理解数的意义,培养数感

在教学“11～20各数的认识”一课时，许多教师都非常注重让学生利用小棒，通过动手数一数、捆一捆、摆一摆，借助直观形象的学具来理解11～20各数的组成，进而加深对每个数意义的理解。有的教师在教学“100以内数的认识”时，就为学生准备了充足的学具，让学生先估一估大约有多少根小棒或小方块（如下图），再让学生亲自动手数一数，经历由1一一点数到100的过程。这种一一点数是学生认识自然数必须要经历的实践过程，这一过程使学生由无意识的唱数到逐步理解掌握自然数的实际意义，由只会认数到开始学习运用数，所以这一过程是十分有必要的、也是十分重要的。当然在一个一个地数的基础上，还可以引导学生几个几个地数，如：可以两个两个地数、五个五个地数、十个十个地数，以此来不断丰富学生的学习经验。4、在具体的情景中把握数的相对大小关系，在数的大小比较中发展数感。例如，一年级从10以内数的认数开始，就用木块和小棒的多少来比较数的大小，认识“＜”、“＞”，逐步建立数的大小的相对关系，5比1、2、3、4大，但比6、7、8、9小。（二）重视口算，淡化笔算，促进数感的建立。口算就是心算，它以个人对数的基本性质和算术运算的理解为基础，为个性化、多样化地解决问题提供了机会。口算不是笔算的台阶，而是一种独立的思维训练方式。它不仅具有很高的实用价值，而且是学生数感发展过程中的一个重要部分。重视心算，加强估算，淡化笔算，提倡算法多样化，鼓励使用计算器。这些都是改革计算教学的重要举措。1.培养学生找出数字之间的联系的能力。6是与六个物体的总数相关的数字（基数）6是5之后7之前的数字（序数）6是“3个2”“2个3”“4和2”等组合（结构）

6是“10－4”“12×

”“12÷2”等结果（运算）

48不仅是40+8，也是50-2和24的2倍，8×

不仅是8个

，也是8÷4.数字之间相互联系的方式、不同的可能表达形式及其与不同运算相联系的意义，所有这些在学生建立起数字与计算之间的联系都起着至关重要的作用，而数字与计算之间的联系有恰巧对他们数感的形成有重要影响。2.从数字关系去寻找有效的计算策略例1计算：⑴25＋26，⑵39＋17，⑶12＋35，（4）27＋37。第1题根据“已知事实”25＋25＝50，可以迅速推算出结果。第2题可以转化为40＋16。第3题很可能要用到“拆分”数字的方法，可以找到10＋30＋2＋5的组合。第4题还可能找到25＋25＋2＋12的组合。3×7＝213272214×＝9×7＝633×21＝636×7＝4214×3＝426×14＝84214347×＝74×3＝21432×7＝21272×3＝212较大数字乘法的心算策略例１计算：３×２６算法一：转换成计算２０×３＋６×３算法二：转换成计算２５×３＋１×３算法三：用两倍法和两分法的策略，转换成计算６×１３，再把１３拆分成１２＋１例２计算：２４×１６算法一：转换成１６×２０＋１６×４算法二：有两倍法和两分法来转换。１６×２４＝４８×８＝９６×４＝１９２×２＝……算法三：转换成２５×１６－１６计算：24×16。算法1：转换成计算20×16＋4×16＝……算法2：用两倍法和两分法来转换。24×16＝48×8＝96×4＝192×2＝……算法3：转换成计算25×16－16＝25×4×4－16＝……乘法表外的除法例计算：９６÷４算法一：看成分配问题（９６被４等分）每次分１０，共分４组，一直分到８０，剩下１６再分得４，这样的结果就是２４。算法二：看成重复相减的问题（９６有多少个４）把９６分成与４相关的数字。例如，９６＝４０＋４０＋１６，即１０×４＋１０×４＋４×４算法三：用两分法转换成计算４８÷２例计算：54÷3。这道除法不能直接利用乘法口诀求商，计算它的有效策略，或者是把54拆分成与3有关的数字，或者是把除数3进行变换。算法1：54÷3＝30÷3＋24÷3＝……算法2：54÷3＝27÷3＋27÷3＝……算法3：54÷3＝60÷3－6÷3＝……算法4：54÷3＝27×2÷3＝27÷3×2＝……算法5：54÷3＝54÷（6÷2）＝54÷6×2＝……3、淡化笔算笔算是记录计算过程与结果的书面形式，而记录的形式并非唯一。计算器的出现为现代数学教育的发展提供了难得的机遇，我们不必再教给每一个公民复杂的计算方法。因此，我们可以放弃正规（带有普遍的适用性和有限的可信度）笔算，转而运用更适合于使用者心智和目的的方法……我们应该帮助孩子们获得巧妙的计算方法……与反复使用并不为孩子们所理解的正规算法相比，用孩子们自己的心算方法进行计算更有利于加深他们对数字的理解。从非正规到正规的笔算

在学习更为复杂的计算的情况下，首先会用到纸和笔，并且要形成某种书面形式来支持心算。

在多位数的计算中，有必要用纸和笔记录计算的过程。学校传统的算术教学方法（为笔算设定的程序），可能给孩子们提供了最简洁的书面记录，但是这些算法的缩略形式本身超出了许多学生的理解能力。

在孩子们建立起心算的基础后，把以心算策略为基础的非正规笔算循序渐进地发展到用正规方法进行计算是十分重要的。只有这样，他们的自信心和理解力才不会受到影响。十分法：拆分两个数字并根据位值关系计算部分和。50＋30＝807＋8＝1580＋15＝95

57＋3880＋1595

57＋318

95例3计算：732－476

732700＋30＋2600＋120＋12－476－400＋70＋6－400＋70＋6256200＋50＋6

拆分的算法，把竖式记录建立在心算策略之上，能缩小心算方法与传统的竖式笔算方法之间的差距。加、减法的笔算方法顺序法：保持一个数字不变然后加上或减去另一个数字的一部分以得到部分和。最适当的记录形式是以水平排列进行，这种排列方式反映了计算过程的各个步骤。例1计算：58＋3758＋2＝6060＋35＝95或者58＋30＝8888＋2＋5＝95例2计算：57－3857－30＝2727－8＝27－7－1＝19或者38＋2＝4040＋17＝57所以：57－38＝17＋2＝19

这些方法的优点是在计算过程中的所有步骤都是显而易见的，而且这些步骤都是建立在孩子们已知的方法，即把数字分解成简单的“数字组块”的基础之上的。这样，孩子们就可以使用已知的数学事实。转换法：例4计算：311－214314－214＝100100－3＝97例5计算：300－186299－186＝113113＋1＝114

补全法：例6计算：27＋3525＋25＝502＋10＝1250＋12＝62关于竖式运算

目前，竖式运算已经不再是学校计算教学的重点。在学生学习心算之前介绍这种书面计算方法，会阻碍他们心算策略的发展，并容易让他们产生误解和错误。

研究表明，不恰当地强调位值结构教学会让学生使用无效的数值计算方法，导致他们在计算中产生错误。所以，教师不能把注意力仅仅集中在把数字拆分成多少个“单位10”和“单位1”上面，教会孩子们用不同的方法拆分数字，更有助于他们理解整个数字结构。乘法的笔算方法例一个人平均每天睡８时，一年睡多长时间？需要计算：３６５×８＝？３００×８＝２４００６０×８＝４８０５×８＝４０３６５×８＝２９２０３６５＝３５０＋１５３５０×８＝７００×４＝２８００１５×８＝１２０３６５×２＝７３０７３０×２＝１４６０１４６０×２＝２９２０３６５×８＝４００×８－３５×８３５×８＝３５×２×４＝２８０４００×８＝３２００３２００－２８０＝２９２０４０４８０２４００８３００６０５

３６５×８３００×８２４００６０×８４８０５×８４０２９２０两位数的乘法例一个人平均每周睡５６时，一年约５２周，一年大约睡多长时间？需要计算：５６×５２＝？使用笔记：５６×１００＝５６００５６×５０＝２８００５６×２＝１１２所以，５６×５２＝２８００＋１１２＝２９１２５６×５２＝２８×１０４＝１４×２０８＝７×４３２因为，４００×７＝２８００３０×７＝２１０６×７＝４２所以，２８００＋２１０＋４２＝２９１２１２１００３００２５００５０６５０２５２０３０１２１２

９５２５６１２

过去，对传统的笔算方法的精通程度一直是衡量对数学掌握程度的标准，这样的观点现在再也站不住脚了。事实上，对脱离具体情境的传统笔算方法进行过度训练反而会阻碍提高数学（课程）标准中整体目标的实现。……为了达到很现实的目的，学生将使用心算方法或者计算器来计算问题。

所有学生最终都期盼使用有效的笔算方法进行计算。但是，只有循序渐进地建立这些方法，并