第一章·有理数·第4课时·科学计数法和四舍五入法

初中数学第一章《有理数》“科学计数法和四舍五入法”培训教程知识点精讲第一节：科学计数法有理数乘方运算的结果——幂，不仅可以用于计算，而且可以用于表示数。科学计数法就是一种运用幂的形式表示数的方法。问(1)：什么是科学计数法？如何运用科学计数法表示一个数？答：改变原数的符号和大小，把一个数表示成一个数a和幂10乘积的形式，即：a×10的形式，这种表示数的方法就是科学计数法。其中，－10＜a≤－1，1≤a＜10，a是只有一位非0数的整数或小数点之前只有一位非0数的小数。幂10是构成科学计数法的单位符号。n是正整数、负整数或0。规定：10=（n是正整数，－n是负整数），10=1。问(2)：如何运用科学计数法表示一个大于10的数？答：方法是：①若这个数是大于10的整数，不改变原数的符号和大小，先把整数改写成小数的形式，比如，11写成11.0，再把小数点向左移至小数点之前只有一位非0数之后，得到的数作为a；若这个数是大于10的小数，比如10.01，把小数点向左移至小数点之前只有一位非0数之后，得到的数作为a。②小数点向左移动了几位数，n就是“＋几”，“＋”号可以省略。由此，就可以把一个大于10的数表示成a×10的形式。其中，1≤a＜10，n是正整数。问(3)：如何运用科学计数法表示任意一个非0整数或小数？答：方法是：①若这个数是整数，不改变原数的符号和大小，先把整数改写成小数的形式，比如，10写成10.0，再把小数点移至小数点之前只有一位非0数字之后，得到的数作为a；若这个数是小数，把小数点移至小数点之前只有一位非0数字之后，得到的数作为a。若小数点不需移动，数a就是其本身。②小数点向左移动了几位数，n等于“＋几”，“＋”号可以省略。小数点向右移动了几位数，n等于“－几”，“－”号不能省略。没有移动，n等于0。由此，就可以把任意一个非0整数或小数表示成a×10的形式。其中，－10＜a≤－1，1≤a＜10，n是正整数、负整数或0。比如：149=149.0=1.49×10，其中的小数点向左移动了2位数，a=1.49，n=2。－3610=－3610.0=－3.61×10，其中的小数点向左移动了3位数，a=－3.61，n=3。0.0149=1.49×10，其中的小数点向右移动了2位数，a=1.49，n=－2。－0.00361=－3.61×10，其中的小数点向右移动了3位数，a=－3.61，n=－3。1=1.0=1.0×10，－1=－1.0=－1.0×10，1.1=1.1×10，－1.1=－1.1×10，小数点没有移动，数a就是其本身，n=0。第二节：四舍五入法求近似数有理数的运算除加、减、乘、除和乘方之外，还包括求近似数的运算。与一个确定的数相近的数，称之为近似数。求近似数包括求整数的近似数和小数的近似数。“四舍五入法”是求整数或小数近似数的常用方法。问(1)：什么是“四舍五入法”？答：观察整数或小数需要精确的数位后面的数：若是4或者比4小，则不向前一数位进"1"，把该数及其后面的数，整数位用“0”代换，小数位去掉。若是5或者比5大，则向前一数位进"1"，再把该数及其后面的数，整数位用“0”代换，小数位去掉。这种求整数或小数近似数的方法叫做“四舍五入法”。问(2)：已知一个整数或小数需要精确的数位，如何求其近似数？答：①依据“四舍五入法”：观察整数或小数需要精确的数位后面的数，“四舍五入”。1)该数若是4或者比4小（即0、1、2、3、4），则不向前一数位进"1"，把该数及其后面的数，整数位用“0”代换，小数位去掉。比如：整数743精确到十位的近似数是740，精确到百位的近似数是700。小数601.32精确到十位的近似数是600，精确到个位的近似数是601，精确到十分位的近似数是601.3。2)该数若是5或者比5大（即5、6、7、8、9），则向前一数位进"1"，再把该数及其后面的数，整数位用“0”代换，小数位去掉。比如：整数867精确到十位的近似数是870，精确到百位的近似数是900。小数1006.57精确到十位的近似数是1010，精确到个位的近似数是1007，精确到十分位的近似数是1006.6。②依据“十进位”法则：“满十进一”。需要精确的数位上进1后，“满十”的数位还要再向前一数位进“1”，即：“满十进一”。依此类推。“满十”的数位用“0”代换。比如：整数991精确到百位的近似数是1000。整数9956精确到千位的近似数是10000。小数9.96精确到十分位的近似数是10.0。小数8.997精确到百分位的近似数是9.00。【例】（1）把396精确到十位；（2）把4983精确到百位；（3）把78762精确到千位；（4）把0.964精确到十分位；（5）把1.995精确到百分位；（6）把32.7996精确到千分位。解：（1）把396精确到十位；依据“四舍五入法”，十位数9之后是6，要向9进1，再把6用“0”代换。十位数是9，进1后满10，用“0”代换。依据“十进位”法则，十位要向百位进1。百位数是3，进1后变成4。∴396精确到十位的近似数是400。（2）把4983精确到百位；依据“四舍五入法”，百位数9之后是8，要向9进1，再把8和3用“0”代换。百位数是9，进1后满10，用“0”代换。依据“十进位”法则，百位要向千位进1。千位数是4，进1后变成5。∴4983精确到百位的近似数是5000。（3）把78762精确到千位；依据“四舍五入法”，千位数8之后是7，要向8进1，再把7、6、2用“0”代换。千位数是8，进1后变成9。∴79762精确到千位的近似数是79000。（4）把0.964精确到十分位；依据“四舍五入法”，十分位数9之后是6，要向9进1，再把小数位6、4去掉。十分位数是9，进1后满10，用“0”代换。依据“十进位”法则，十分位要向个位进1。个位数是0，进1后变成1。∴0.964精确到十分位的近似数是1.0。（5）把1.995精确到百分位；依据“四舍五入法”，百分位数9之后是5，要向9进1，再把小数位5去掉。百分位数是9，进1后满10，用“0”代换。依据“十进位”法则，百分位要向十分位进1。十分位数9进1后满10，用“0”代换。同理，十分位要向个位进1。个位数是1，进1后变成2。∴1.995精确到百分位的近似数是2.00。（6）把32.7997精确到千分位。依据“四舍五入法”，千分位数9之后是7，要向9进1，再把小数位7去掉。千分位数是9，进1后满10，用“0”代换。依据“十进位”法则，千分位要向百分位进1。百分位数9进1后满10，用“0”代换。同理，百分位要向十分位进1。十分位数是7，进1后变成8。∴32.7997精确到百分位所得的近似数是32.800。典型题型精编解析选择题：1.以下结论正确的是（）A.有理数都可以用科学计数法表示B.数149000000用科学计数法表示为1.49×10C科学计数法a×10中的a可以是小数，也可以是整数D.数3.61×10的原数是36100000【答案】C【解析】有理数包括整数和分数。有理数中的0和分数，不能用科学计数法表示。A项错误。不改变原数149000000的符号和大小，把整数149000000改写成小数的形式149000000.0，即：149000000=149000000.0，再把小数点移至这个数的第一个数字之后，得到数1.49。此时，小数点向左移动了8位数，幂指数n=8。所以B项错误。科学计数法a×10中的a不只是小数点之前只有一位非0数字的小数，还可以是只有一位非0数的整数。所以C项。正确D项中幂指数n=6，即3.61的小数点之后有6位数，则原数是3610000，所以D项错误。2.已知小数x的近似值是5.4，则x的取值范围是()A.5.35≤x＜5.4       B.5.35＜x＜5.4或5.4＜x≤5.45C.5.4＜x＜5.45         D.5.35≤x＜5.4或5.4＜x＜5.45【答案】D【解析】依据“四舍五入”法则可知：A、C项给出的取值范围都不完整。B项中5.35＜x＜5.4不完整，x可以等于5.35。5.4＜x≤5.45超出了取值范围，x不能等于5.45。D项完整。故选D。3.下列说法错误的一组是(  )①近似数6.70与6.7的精确度不同       ②等式×10=0.75×10的左右两边符合a×10的形式，都是科学计数法③5948近似数的最小取值范围在5900到6000之间   ④4.396×10精确到千位的近似数是440000⑤科学计数法可以用于表示任意一个整数或小数⑥2989.5精确到个位的近似数是2990 A.①④⑤B.③⑤⑥C.②③⑤D.①③④【答案】C【解析】①项中近似数6.70与6.7的精确度不同。6.70是精确到百分位，6.7是精确到十分位。故①项正确。④项中4.396×10原数是439600，精确到千位的近似数是440000。故④项正确。⑥项符合四舍五入和十进位法则，正确。②项错误。科学计数法a×10中，a是只有一位数的非0整数或小数点之前只有一位非0数字的小数，不能是分数，也不能是0.75这样的小数。③项中的数5948精确到十位，其近似数为5950；精确到百位和千位，其近似数均为6000。所以，其近似数的最小取值范围在5950到6000之间。故③项错误。⑤项错误。由科学计数法的定义可知：科学计数法可以用于表示任意一个非0的整数或小数。4.若整数m精确到百位的近似数为2×10，则m的取值范围是（）A.1950≤m＜2000       B.1950≤m＜2000或2000＜m≤2049  C.1950≤m＜2050        D.1950≤m＜2000或2000＜m＜2050【答案】B【解析】近似数2×10=2000。A项中的取值范围只是一部分，不全。C项中的取值范围不能包括2000，因为2000是m近似数，不是m本身。故C项错误。D项中的取值范围2000＜m＜2050不够精确，可以精确到2049。只有B项符合要求。填空题：1.6.963×10的原数是_________，精确到千位的近似数_________，用科学计数法表示为____________。【答案】69630，70000，7×10【解析】幂指数是4，把6.036的小数点向右移动4位，空位用0补位，由此得到的数就是原数60360。千位后面的数是6，要向千位进1。进1后，千位数满10，用0代换,再向万位进1。所以，69630精确到千位的近似数为70000，用科学计数法表示为：7×10。2.近似数4.47是由数a得到的，则数a的取值范围是_________________。【答案】4.465≤a＜4.47或4.470＜a＜4.475【解析】依据“四舍五入”法则：原数a可能小于4.47，但不能小于4.465，即4.4695≤a＜4.470；原数a也可能大于4.47，但一定小于4.475，即4.470＜a＜4.475。3.月球和地球之间的平均距离约为384403.9千米，精确到万位的近似值等于___________，用科学计数法表示为___________。【答案】380000，3.8×10【解析】依据“四舍五入”法则：万位后面的数是4，不进位。万位后面的整数位用0代换，不能省略，小数位省略。所以，384403.9≈380000，用“科学计数法”表示为：3.8×10。。4.若1.390×10是整数b精确到十位的近似数，则b能取到的最小和最大整数值分别是_________________。【答案】1385，1394【解析】由已知得：1.390×10=1390，b≈1390。则：整数b≠1390。∴1385≤b＜1390或1390＜b≤1394。所以，b能取到的最大和最小整数值分别是1394和1385。解答题：1.三峡水电站2022年累计总发电量483.50亿千瓦时，若一户家庭一天用电5千瓦时，三峡水电站可同时为多少户家庭提供一年的用电？（结果精确到百万户，并用科学计数法表示）2.由上题得出的结果，某市人口为38万人，平均一户4人，三峡水电站2022年的总发电量可同时为多少个这样人口的城市提供用电？（结果保留整数）【答案】1．某水电站某年度累计总发电量846.80亿千瓦时，若一户家庭一天用电5千瓦时，该水电站可同时为多少户家庭提供一年的用电？（结果精确到百万户，并用科学计数法表示）解：把亿千瓦时化成千瓦时得：年发电量483.50亿千瓦时=48350000000千瓦时。一户家庭的年用电量=365×5=1825千瓦时。∴用电家庭的户数=年发电量÷一户的年用电量=84680000000÷1825=46400000(户)。结果精确到百万户为：46400000≈460