第24章解直角三角形检测题及答案解析

第24章解直角三角形检测题（本检测题满分:120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题2分，共24分）1.计算：QUOTEA.QUOTEB.C.D.2.在直角三角形中，已知，，，则=()A.B.C.D.3.（2013·浙江温州中考）如图，在中，则的值是（）A.B.C.D.4.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，则tanB=()QUOTE QUOTE C.QUOTE D.QUOTE5.如图，Rt△ABC中，90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）A. B. C.4第3题图第3题图第5题图第5题图6.在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cosB=QUOTE（）A.B. C.D.7.已知，，点,点F分别在射线AD，射线BC上，若点与点关于对称，点与点关于对称，与相交于点，则（）A.B.C.D.第8题图第8题图第9题图第7题图第9题图8.河堤横断面如图所示，堤高BC=6m，迎水坡AB的坡比为1∶QUOTE，则AB的长为（）A.12m QUOTEm QUOTEm QUOTEm9.如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为()A.5mB.2mC.4mD.m10.如图，在菱形中，QUOTE，，QUOTE，则的值是()A．B．2C．D．AABC第12题图直角三角形两直角边长之和为7，面积为6，则斜边长为（）A.5B.QUOTEC.7D.QUOTE12.如图，已知：45°＜∠A＜90°，则下列各式成立的是()A.B.QUOTEC.QUOTE D.二、填空题（每小题3分，共18分）13.比较大小：.（填“＞”“=”或“＜”）14.如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=∠BAC,CE交AB于点E，交AD于点F，若BC=2,则EF的长为.=1\*GB3①1ABC=2\*GB3②2ABC=1\*GB3①1ABC=2\*GB3②2ABC第17题图第14题图等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________．=1\*GB3①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若QUOTE，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图=2\*GB3②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________.QUOTE△ABC中，∠QUOTE90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②cosB=；③tanA=QUOTE；④tanB=QUOTE，其中正确的结论是.（只需填上正确结论的序号）三、解答题（共78分）19.（8分）计算下列各题：(1)；（2）.20.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinA=QUOTE，求BC的长和tanB的值.第20题图 第21题图21.（10分）如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）.有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向.（1）求点P到海岸线l的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°C与点B之间的距离.（上述2小题的结果都保留根号）22.（10分）如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取≈1.732，结果精确到1m）23.（8分）如图，在梯形中，，QUOTE，QUOTE．（1）求的值；（2）若长度为，求梯形的面积．24.（10分）如图，在一次数学课外实践活动中，小文在点C处测得树的顶端A的仰角为37°，BC=20m，求树的高度AB.（参考数据：，，）BBCA东西45°60°第25题图第24题图第24题图25.（10分）如图，在小山的东侧QUOTE处有一热气球，以每分钟QUOTE的速度沿着仰角为60°的方向上升，20min后升到QUOTE处，这时热气球上的人发现在的正西方向俯角为45°的QUOTE处有一着火点，求热气球的升空点与着火点QUOTE的距离（结果保留根号）.26.（14分）（2014·福州中考）如图（1），点O在线段AB上，AO2，OB1，OC为射线，且∠BOC60，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.（1）当t秒时，则OP，S△ABP；（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；（3）如图（2），当APAB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP∠B，求证：AQ·BP3.第26题图

第24章解直角三角形检测题参考答案1.C解析：QUOTE2.D解析：在中，∵，，∴，∴，∴.3.C解析：.4.B解析：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E，则四边形ABED是平行四边形，∴BE=AD=6.第4题答图第4题答图∵AB⊥AC，∴DE⊥AC.∵CA是∠BCD的平分线，∴CD=CE.∵AD∥BC，∴∠ACB=∠DAC=∠DCA.∴CD=AD=6.∴BC=BE+CE=BE+CD=6+6=12.∴AC=QUOTE=QUOTE=8QUOTE.∴tanB=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.5.C解析：设BN的长为x，则AN=9x，由题意得DN=AN=9x.因为D为BC的中点，所以.在Rt△BND中，∠B=90°，由勾股定理得，即，解得.6.C解析：设QUOTE，则QUOTE，QUOTE，所以QUOTE，所以△QUOTE是直角三角形，且∠QUOTE．所以在△ABC中，QUOTE．7.A解析：设.由题意知，，∴.在中，，又，∴.根据条件还可以得出，，.A.在中，，∴，故选项A正确.B.，故选项B错误.C.，故选项C错误.D.∵，∴，故选项D错误.8.A解析：先由坡比的定义，得BC∶AC=1∶QUOTE.由BC=6m，可得AC=6QUOTEm.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=QUOTE=12(m).9.B解析：设小球距离地面的高度为QUOTE则小球水平移动的距离为QUOTE所以QUOTE解得QUOTE10.B解析：设QUOTE又因为在菱形QUOTE中，QUOTE所以QUOTE所以QUOTE所以QUOTE由勾股定理知QUOTE所以QUOTE2QUOTE11.A解析：设直角三角形的两直角边长分别为QUOTE则QUOTE所以斜边长QUOTE12.B解析：在锐角三角函数中仅当∠QUOTE45°时，QUOTE，所以QUOTE选项错误；因为45°＜∠A＜90°，所以∠B＜45°，即∠A＞∠B，所以BC＞AC，所以＞，即QUOTE，所以QUOTE选项正确，QUOTE选项错误；QUOTEQUOTE＞1，QUOTE＜1，所以QUOTE选项错误.13.＞解析：因为，所以∠.14.解析：过F点作FG∥BC交AB于点G.∵在△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，∴BD=CD=BC=1,∠BAD=∠CAD=∠BAC=15°,AD⊥BC.∵∠ACE=∠BAC,∴∠CAD=∠ACE=15°,∴AF=CF.∵∠ACD=(180°－30°)÷2=75°,∴∠DCE=75°－15°=60°.在Rt△CDF中,CF==2,DF=CD·tan60°=.第14题答图又AF=CF,∴AF=2.第14题答图∵FG∥BC,∴GF∶BD=AF∶AD,即GF∶1=2∶(2+),解得GF=4－2,∴EF∶EC=GF∶BC,即EF∶(EF+2)=(4－2)∶2,解得EF=－解析：因为QUOTE，所以QUOTE所以QUOTE所以.16.15°或75°解析：如图，QUOTE.在图=1\*GB3①中，QUOTE，所以∠QUOTE∠QUOTE；在图=2\*GB3②中，QUOTE，所以∠QUOTE∠QUOTE.第16题答图第16题答图BCD=2\*GB3②AABCD=1\*GB3①ABCD第17题答图17.76解析：如图，因为QUOTE，所以QUOTECD=12，ABCD第17题答图由勾股定理得QUOTE所以这个风车的外围周长为QUOTE18.②③④解析：因为∠C=90°，AB=2BC，所以∠A=30°，∠B=60°，所以②③④正确.19.解：（1）（2）.20.分析：由sinA=QUOTE=QUOTE求出BC的长，根据勾股定理求出AC的长，利用tanB=QUOTE求出tanB的值.解：∵sinA=QUOTE=QUOTE，AB=10，∴BC=4.又∵AC=QUOTE=2QUOTE，∴tanB=QUOTE=QUOTE.21.分析:（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D，设PD=QUOTEkm，根据AD+BD=2列方程求解.（2）过点B作BF⊥CA于点F，在Rt△ABF和Rt△BFC中解直角三角形求解.解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D，第21题答图第21题答图设PD=QUOTEkm，由题意可知∠PBD=45°，∠PAD=30°，∴在Rt△BDP中，BD=PD=QUOTEkm,在Rt△PDA中，AD=QUOTEPD=QUOTEkm.∵AB=2km，∴QUOTE=2.∴QUOTE=QUOTE=QUOTE1.∴点P到海岸线l的距离为（QUOTE）km.（2）如图，过点B作BF⊥CA于点F.在Rt△ABF中，BF=AB·sin30°=2×QUOTE=1（km）.在△ABC中，∠C=180°QUOTE∠BACQUOTE∠ABC=45°.在Rt△BFC中，BC=QUOTEBF=QUOTE×1=QUOTE（km）.∴点C与点B之间的距离为QUOTEkm.点拨：此题是解直角三角形在现实生活中的应用，通过构造直角三角形求解.当利用勾股定理或锐角三角函数不能直接求解时，常采用作垂线、引入未知数（一般为待定的数）构造方程求解.22.解：设QUOTE，则由题意可知QUOTE，QUOTEm．在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝，∴，即3xQUOTE(x＋100)，解得xQUOTE50＋50.经检验QUOTE50＋50是原方程的解．∴QUOTE故该建筑物的高度约为QUOTE23.解：(1)∵QUOTE，∴∠QUOTE∠QUOTE.∵QUOTE∥QUOTE，∴∠QUOTE∠QUOTE∠QUOTE.在梯形QUOTE中，∵QUOTE，∴∠QUOTE∠QUOTE∠QUOTE∠QUOTE∵QUOTE，∴3∠QUOTE，∴∠QUOTE30°，∴QUOTE（2）如图，过点QUOTE作QUOTE于点QUOTE.在Rt△QUOTE中，QUOTE•QUOTE∠QUOTE，QUOTE•QUOTE∠QUOTE，∴QUOTE在Rt△QUOTE中，QUOTE，∴梯形的面积为QUOTE24.分析：利用解直角三角形求线段长，首先根据锐角三角函数的定义选取恰当的三角函数关系式，然后把已知的数据代入计算.本题根据锐角三角函数的定义得tan37°＝，把，BC=20m代入tan37°＝中求出树的高度AB.解:因为tan37°＝，BC=20m，所以AB≈0.75×20＝15（m）.25.解：过点QUOTE作QUOTE于点QUOTE.QUOTE.因为∠QUOTE，QUOTE300m，所以QUOTE300(－1)QUOTE即热气球的升空点QUOTE与着火点QUOTE的距离为300(－1)QUOTE26.（1）解：1，；（2）解：①∵∠A<∠BOC60，∴∠A不可能是直角.②当∠ABP90时，如图所示（第26题答图（1）），∵∠BOC60，∴∠OPB30.∴OP2OB，即2t2.∴t1.第26题答图（1）③当∠APB90时，如图所示（第26题答图（2）），作PD⊥AB，垂足为D，则∠ADP∠PDB90.在Rt△POD中，∵∠POD=60，∴∠OPD=30.∵OP2t，∴ODt，PDt，AD2t，BD1t（△BOP是锐角三角形）.第26题答图（2）方法一：BP2BD2+PD2=（1t）23t2，AP2AD2+PD2=(2t)23t2.∵BP2AP2AB2，∴(1t)23t2(2t)23t29，即4t2t20.解得t1，t2（舍去）.