椭圆运动与统一万有引力是基于理想化条件下圆建立这就决定

(中国水利水电第 辽 丹 【摘要】在经典力学的基础上导出了椭圆轨道运动瞬时速度的关系式，解决了在初等数学范围内对椭圆运动瞬时速度的求值，摆脱了长期以来对瞬时速度求值依赖微积分的算法，并以此为基础导出了一系列满足角动量守恒的物理关系式。建立了椭圆轨道运动的运动学、动力学模式。确定了椭圆轨道运动与圆周运动之间的物理关系及变换方法，从根本上把椭圆运动与圆周运动统一起来。纠正了长期以来椭圆运动与圆运动，不分彼此共用万有引力“以圆代椭”不清的现象。从而规范了不同运动状态的天体运动理论。【】瞬时速度；椭圆轨道；万有引力；；加速度；角动0引言的万有引力是基于理想化条件下的圆运动建立的，了 的万有引力只适用于圆周运动而不适用于椭圆轨道运动。 因此，以 万有引力来处理行星的椭圆轨道运动，总是难免出现一定程度的偏差，特别是当轨道偏心率很大时产生的偏差更是令人无法接受。而这种偏差完全是由于“以圆代椭”的理论缺陷导致的。这些偏差主要表现为，速度的偏差、角动量的偏差、引力的偏差及向心加速度的偏差等等。椭圆轨道运动与圆周运动有着非常显著的区别，首先是速度的性质不同，圆周运动速度是匀速度；而椭圆运动的速度是变速度。其次，圆周半径是不变的；而椭圆轨道没有一个固定不变的轨道矢径。这也就决定了两者的运动性质的不同。因此在天体力学的理论与实践中是不能相互替代的，否则在客观实践中将是再所难免。鉴于力学体系在天体物理应用中实际存在的，有必要

根据面积速度面积速度mu1r2w1 令：h为2倍的面积速度，h2mu （1根 勒第二定律，行星在单位时间内扫过的面积是常数 2但在周期T内，行星扫过的面积等于椭圆面积abπ，1hT2因而Th即T2由解析几何可知b2ad，（d是椭圆的半焦弦），圆运动理论力学的基础上补充椭圆运动的运动学、动力学部分，以完善经典力学体系。

4π2a3 因为有式（12）hru，代入（13）

（1椭圆轨道运动速度与圆周运动速

d行星在环绕椭圆轨道的运动中，其速度每时每刻都处在变化中对行星某时处于某位置上的速度求值，一直以来所采用的方法，无不是通过微积分的算法来得到。这种方法虽无不可，但一是计算过程复杂，二是微积分的方法理论上只是无穷近客观值，在物理上只有近

根据力学导出式（详见《理论物理概论》58页，高等教育社1991版）似意义。三是微积分的算法只是纯数学方法而非物理法，因为缺乏物理关联，例如它与质量、引力、角动量无关，更无法从经典力学理论中导出，因此缺乏物理根据没有物理意义。也许当年曾试图在初等数学范围内对椭圆轨道运动的瞬时速度求值，但因没有结果从而才转向对微积分的研究，最终无奈之下才利用微积分的方法对瞬时速度求值。然而事实上在经典力学理论框

所以又有GMd整理后，即姨 姨

(1架内，通过理论推导是能够得到瞬时速度的，对瞬时速度的求值是可以在初等数学范围内实现的。因此无须微积分的方法也可以得到行星椭圆轨道任意位置上的瞬时速度。瞬时速度与以往的经验公式及微积分算法的不同则在于，通过理论推导建立的瞬时速度关系式更具有物理意义。因此，更简单、更准确、更客观。椭圆轨道运动瞬时速度的数学表达式行星在椭圆轨道的瞬时速度的平方 等于引力常数与中心天（为了简便本文以下均称为主星）质量及半焦弦的积，除以主星中心与行星中心连线距离的平方（即：椭圆轨道即时矢径的平方）。数学表达式为u2 （1

由此推导出椭圆轨道运动瞬时速度的数学表达式，式（14）即椭圆轨道瞬时速度的数学表达式。u即椭圆轨道的瞬时速度。推导完毕以上对椭圆轨道瞬时速度数学表达式的推导充分地证明，对于行星椭圆运动中的瞬时速度，完全可以在初等数学范围内进行处理，从而可以摆脱对椭圆运动瞬时速度求值的微积分算法。而且更简单，更精确，更自然。1.3万有引力中的速度与椭圆运动中瞬时速度的关系1.3.1万有引力中速度的数学表达设向心加速度为a，F为万有引力，M为主星质量，m为行星质量，r为轨道半径（即主星中心与行星中心连线的距离）。根据向心加速度的式中u为椭圆轨道的瞬时速度，G为引力常数，M为主星天体质量，d为椭圆的半焦弦，r为主星中心与行星中心连线的距离即轨道半径（以下为了习惯及方便起见，本文中将椭圆轨道的即时矢径均称为椭圆轨道半径，以对应圆轨道半径）。对瞬时速度数学表达式的理论推导设：行星的质量为m，行星椭圆轨道周期为T，轨道半长轴为a，轨道半短轴为b，面积速度为mu，角速度为w，r为轨道半径。u为轨道速

au2及第二定F 将（15）Fr根据万有引

（1度 FG理论推导如下 所以科技信 ○科教前沿 SCIENCE&TECHNOLOGY 2010年第1

G ut

整理后，即 GM （1

得瞬时速度ut实际瞬时速度为ut姨 实际的速度不是精确值，可见计算结果与实际值两者是完全吻式（16）即是万有引力中速度的数学表达式.2万有引力中的速度与椭圆运动中瞬时速度的关系为了区别椭圆轨道瞬时速度与圆运动的速度，

的（2）根据万有引力中的速度 GM为 姨根据：（1）椭圆运动中瞬时速度的表达 应用万有引力中的速度及已知条件，代入各相应值ut

(1 GM

得u比较实际值可见两者差距仍然是很大姨 由此可见，应用瞬时速度关系式得出的计算结果完全吻合实际将式（17）u2GMdGM 因为万有引力中的速度u2GM/r姨utud姨

（1

瞬时速度值，而以万有引力推导出的速度得到的速度值，与实际值差距较大两者相去甚远。因此，万有引力只对应于圆运动的速度，并不对应椭圆运动的速度。关于验证中的各物理参数：由于长期以来关于行星的各物理参数并没有一个统一的标准精确值，各种版本的参数互不一致，为此本人采用了维客网上的资料个人认为比较精确。式（18）即万有引力中的速度u，与椭圆轨道运动瞬时速度ut变换关系式事实上万有引力中的速度就是圆周运动中的速度，这是的，因此，万有引力中的速度与椭圆运动中瞬时速度的变换关系，也就是圆周运动中的速度与椭圆运动中的瞬时速度的变换关系。对椭圆运动瞬时速度表达式的客观验证下面将具体的运用瞬时速度关系式，仅对地球的近日点、远日点位置上的瞬时速度进行客观验证，同时给出万有引力中速度的计算结果并加以对比。由此可证明，瞬时速度的关系式完全符合椭圆运动规律。设：M为的质量，G为引力常数，d为椭圆的半焦弦。已知：M1.9891×1030kg

在经典力学中，对于天体运动万有引力在实际应用中是不分椭圆运动与圆运动而共用的。但是，由于椭圆运动与圆运动有着本质的不同，所以不能“以圆代椭”不清。否则难免在具体应用中带来错误的结果。因此十分有必要在理论上加以纠正。椭圆轨道运动引力方程的推导根据第二运动定律F (2式中F为万有引力，m为行星的质量，a为向心加速度根据向心加速度：G

2 a 代入(21)10N·m 验证一地球轨道近日点位置上的瞬时速度设：地球近日距为r已知：r d 求：地球轨道近日点位置上的瞬时速度ut姨解：（1）根据瞬时速度关系式ut ，及已知条件，代入各相应值后：姨

F （2r式（22）中的速度u是轨道运动的实际速度，那么椭圆轨道运动的实际速度是瞬时速度，所以，根据椭圆轨道中的瞬时速度，即： u2GMd （2 将式（23）代入式（22）FmGMd/r2姨 姨

得瞬时速度ut FG （2实际瞬时速度为ut实际的速度不是精确值，的（2）根据万有引力中的速度 GM姨

所以椭圆轨道运动的引力方程，即式（24）推导完毕圆运动的引力方程 万有引力方 FG椭圆运动引力方程与圆运动引力r2方程的变换

（2姨应用万有引力中的速度及已知条件，代入各相应值姨

为了区别椭圆运动引力F，与圆运动引力F，现将椭圆运动引力设为Ft。根据：（1）得u比较实际值可见两者差距很大相去甚远验证二地球轨道远日点位置上的瞬时速度设：地球远日距为r。已知r d

FtG（2）FG因为椭圆运动引力方程又可表示为

（2（2求：地球轨道远日点位置上的瞬时速度u FtGMm 根据式（2GMd 姨解：（1）根据瞬时速度关系式姨

，及已知条件，

所以有 FtFd

（2应值 式（26）即椭圆运动引力Ft与圆运动引力F的转换关系式椭圆运动与圆运动有着本质的不同，因此，椭圆轨道运动的角动量与圆运动的角动量性质不同。角动量的本质是由轨道运动状态决定的，其是运动速度的性质。所以不能糊里糊涂、不清，否则就会造成理论上的错误认识，抹杀科学的真理性。事实上以万有引力推导出来的角动量只是圆运动的角动量，对于椭圆运动这与客观事实不符。因此有必要建立椭圆轨道动力学的角动量关系式，以纠正运动理论中的现象。椭圆轨道角动量动力学的数学表达式的推导设：角动量为L，行星质量为m，轨道矢径为r，轨道实际速度为u，根据角动量的：L （3因为是椭圆轨道运动，

此必须根据运动性质的特点加以区别对待，否则理论上的不清必然造成实践中的错误结果。事实上万有引力中所隐含的角动量，正是经典的圆运动的角动量。因此对于椭圆轨道运动，应用万有引力导出的角动量关系式得到的计算值不真，不符合客观值。由此可见，经典力学理论中确实还存在着对椭圆运动认识不够，理论与实践中存在着“以圆代椭”不清的问题。在推导万有引力的过程中，一个主要依据就是向心加速度，而这个向心加速度是圆运动的向心加速度。因此，万有引力中向心加速度不适用于椭圆轨道运动，所以必须建立椭圆运动的向心加速度以适应椭圆运动规律。椭圆运心加速度的推根据椭圆轨道运动的瞬时速度Lm姨

GMd代入（31）姨姨（3

在经典力学中，天体在轨道运动中的向心加速度是aa （4式（32）就是椭圆轨道运动中角动量动力学的数学表达式，推导完毕。为了区别于圆运动的角动量L，及速度u，这里设椭圆轨道的角动量为Lt，椭圆轨道速度为ut。于是椭圆轨道运动角动量的数学表达式

式中a表示向心加速度。r是轨道半径，u为行星实际运动速度。但是，当把向心加速度应用于椭圆运动时，因为行星椭圆运t动在轨运动的实际速度是瞬时速度，所以式中的速度应为瞬时速度。根据椭圆轨道速度u2GMd/r2即式14），将式（14）代入式（4t又可表示为Lt Ltm姨圆周运动中角动量动力学的数学表达式根据角动量：

(3

1）得ara

两边同除以r

（4L （3根据圆周运动的速度

式（42）即是椭圆轨道向心加速度的数学表达式

推导完毕姨 代入（3

椭圆运动与圆周运心加速度的关Lm姨式（35）即为圆周运动角动量的动力学数学表达式 椭圆轨道中的角动量与圆周运动中角动量的转换关系根据1圆周运动的角动量

（35） 为了区别于圆运动的向心加速度a，设椭圆轨道运动的向心加速度为at。因为式（42）atGMr2L2m2r2r（2）L 2m2L r

（3（3

atadr式（43）则是椭圆运动与圆周运心加速度的变换式

（4式（37）L2m2r2GM 因为圆周运动的角动量是L2m2r2rL d

事实上在经典力学中，向心加速度并不区分圆运动与椭圆运动这是因为经典力学是建立在理想化的圆运动基础上的，由于当时还没有认识到椭圆运动的规律，于是理论上只能“以圆代椭”糊里糊涂的应用。但是向心加速度是由其轨道速度的性质决定的，不同性质的轨道速度必然要对应相应的向心加速度，因此，椭圆轨道的向心加速度只能对应椭圆轨道的瞬时速度。科●作者简介：（1955），男，，辽宁宽甸人，丹东水电六局职工，哈（3t姨

式（38）即是椭圆运动角动量与圆周运动角动量的转换关系式。通过椭圆运动角动量与圆运动角动量的变换关系可知，同一物体在不同运动状态中的角动量虽然保持守恒性质但其大小是不等的，

［责任编辑：汤静上接第教师用多课件讲解时注意留给学生思考和作笔记时间由于多教学速度通常较快，学生作笔记的时间不够充足。如果教师在教学中能适当地调整教学节奏，也许效果会更好些。而且建议每堂课最好能把刚上过的内容，在课堂快结束时再翻过一遍。我们在今后的教学实践中