辽宁省朝阳市凌源三十家子中学2021年高三数学文上学期期末试卷含解析

辽宁省朝阳市凌源三十家子中学2021年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.不等式组的解集记为,若,则的最小值是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A画出不等式组表示的平面区域，如图三角形ABC为所示，当过A（－2,0）时取得最上值为－42.已知点表示N除以m余n，例如，，则如图所示的程序框图的功能是（

）A．求被5除余1且被7除余3的最小正整数

B．求被7除余1且被5除余3的最小正整数C.求被5除余1且被7除余3的最小正奇数

D．求被7除余1且被5除余3的最小正奇数参考答案：D3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积S=A．10πB．

C．

D．12π参考答案：B方法一：该多面体如图示，外接球的半径为AG，HA为△ABC外接圆的半径，，，故，方法二：只考虑三棱锥的外接球即可，而此三棱锥的侧棱与底面是垂直的，故其外接球的半径：（其中是三角形外接圆的半径）4.已知在复平面内对应的点在直线上，则实数m的值是A. B.0 C.1

D.2参考答案：C5.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A． B． C．8 D．4参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥和一个三棱锥组成的组合体，画出几何体的直观图，求出两个棱锥的体积，相加可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示：该几何体是一个四棱锥A﹣CDEF和一个三棱锥组F﹣ABC成的组合体，四棱锥A﹣CDEF的底面面积为4，高为4，故体积为：，三棱锥组F﹣ABC的底面面积为2，高为2，故体积为：，故这个几何体的体积V=+=，故选：A6.已知是椭圆（）的左焦点，为右顶点，是椭圆上一点，轴.若，则该椭圆的离心率是

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B7.已知，则 A.a<b<c

B.c<a<b

C.a<c<b

D.c<b<a参考答案：A略8.《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如下图形：是半圆的直径，点在半圆上，于点，于点，设，，通过比较与的大小可以完成的无字证明为A.

B.C.

D.当时，参考答案：C由射影定理可知，即由得，可知选C.9.若a是f（x）=sinx﹣xcosx在x∈（0，2π）的一个零点，则?x∈（0，2π），下列不等式恒成立的是（）A． B．cosa≥C．≤a≤2π D．a﹣cosa≥x﹣cosx参考答案：A【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用导数研究单调性，运用零点的存在性定理判断出a所在的范围，根据f（x）的正负确定g（x）=的最小值．【解答】解：f′（x）=xsinx，当x∈（0，π），f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（π，2π），f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，又f（0）=0，f（π）＞0，f（2π）＜0，∴a∈（π，2π），∴当x∈（0，a），f（x）＞0，当x∈（a，2π），f（x）＜0，令g（x）=，g′（x）=，∴当x∈（0，a），g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，当x∈（a，2π），g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，∴g（x）≥g（a）．故选：A．【点评】本题主要考查零点的存在性定理，利用导数求最值及计算能力．10.O为空间任意一点，若，则A，B，C，P四点（

）

A．一定不共面

B．一定共面

C．不一定共面

D．无法判断参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是函数图象上的两个不同点，且在两点处的切线互相平行，则的取值范围为.参考答案：【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B11

【答案解析】（-1,0）

解析：由题意，f（x）=x3﹣|x|=，

当x≥0时，f′（x）=3x2﹣1，

当x＜0时，f′（x）=3x2+1，

因为在A，B两点处的切线互相平行，且x1＞x2，

所以x1＞0，x2＜0（否则根据导数相等得出A、B两点重合），

所以在点A（x1，y1）处切线的斜率为f′（x1）=3﹣1，

在点B（x2，y2）处切线的斜率为f′（x2）=3+1

所以3﹣1=3+1，

即，（x1＞x2，x2＜0）

表示的曲线为双曲线在第四象限的部分，如图：表示这个曲线上的点与原点连线的斜率，

由图可知取值范围是（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0）．【思路点拨】首先把含有绝对值的函数写成分段函数的形式，然后求导，通过在A，B两点处的切线互相平行，即在A，B两点处的导数值相等，分析出A点在y轴的右侧，B点在y轴的左侧．根据A，B两点处的导数相等，得到x1与x2的关系式，根据关系式得出它表示的曲线，然后利用式子的几何意义求解．12.过双曲线﹣=1（a＞b＞0）的左焦点F作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】方法一、运用两渐近线的对称性和条件，可得A为BF的中点，由垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可得Rt△OAB中，∠AOB=，求得渐近线的斜率，运用离心率公式即可得到；方法二、设过左焦点F作的垂线方程为，联立渐近线方程，求得交点A，B的纵坐标，由条件可得A为BF的中点，进而得到a，b的关系，可得离心率．【解答】解法一：由，可知A为BF的中点，由条件可得，则Rt△OAB中，∠AOB=，渐近线OB的斜率k==tan=，即离心率e===．解法二：设过左焦点F作的垂线方程为联立，解得，，联立，解得，，又，∴yB=﹣2yA∴3b2=a2，所以离心率．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，主要是离心率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量共线的合理运用．13.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为．参考答案：考点： 由三视图求面积、体积．专题： 计算题．分析： 三视图复原的几何体是四棱锥，利用几何体的数据求解几何体的体积即可．解答： 解：由题意可知三视图复原的几何体是底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直底面正方形的顶点的四棱锥，并且棱锥的高为2，所以几何体的体积为：=．故答案为：．点评： 本题考查三视图与几何体的直观图的关系，考查空间想象能力与计算能力．14.下列结论中①函数有最大值

②函数（）有最大值.

③若，则正确的序号是____参考答案：（1）（3）15.已知的值为

参考答案：略16.设函数给出下列四个命题：①当时，是奇函数；②当时，方程只有一个实数根；③的图像关于点对称；④方程至多有两个实数根.其中正确的命题有_________.参考答案：①②③略17.直线被圆截得的弦长为

．参考答案：圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，所以弦长。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某地区工会利用“健步行APP”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分（不足5千步不积分），每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．记年龄不超过40岁的会员为A类会员，年龄大于40岁的会员为B类会员．为了解会员的健步走情况，工会从A,B两类会员中各随机抽取m名会员，统计了某天他们健步走的步数，并将样本数据分为［3,5),[5,7),[7,9),[9,11),[11,13),[13,15),[15,17),[17,19),[19,21」九组，将抽取的A类会员的样本数据绘制成频率分布直方图，B类会员的样本数据绘制成频率分布表（如下所示）.

(Ⅰ)求m和a的值；(Ⅱ)从该地区A类会员中随机抽取3名，设这3名会员中健步走的步数在13千步以上（含13千步）的人数为x，求x的分布列和数学期望；(Ⅲ)设该地区A类会员和B类会员的平均积分分别为和，试比较和的大小（只需写出结论）.参考答案：解：（Ⅰ）因为，所以．

……2分因为，所以，所以．

……4分所以，．（Ⅱ）由频率分布直方图可得，从该地区A类会员中随机抽取1名会员，健步走的步数在13千步以上（含13千步）的概率为．………………5分所以，；；；．………………7分所以，的分布列为0123……８分.

…10分（Ⅲ）．

……13分19.己知函数（Ⅰ）当a=0时，求函数的值域；（II）若在A内是增函数，求的取值范围．参考答案：20.（本小题共13分）如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值．参考答案：解析：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），

则点的横坐标为．点的纵坐标满足方程，解得，其定义域为．（II）记，则．令，得．因为当时，；当时，，所以是的最大值．因此，当时，也取得最大值，最大值为．即梯形面积的最大值为．21.如图，在四棱锥中，⊥平面，，⊥，，.(Ⅰ)证明：平面平面(Ⅱ)若的面积为，求三棱锥的体积.

参考答案：解：(Ⅰ)在直角梯形中，，，，=，，

............3分平面，平面，，又平面，又平面，平面平面

............6分(Ⅱ)设，=