河南省驻马店市百尺乡联合中学高二数学理模拟试题含解析

河南省驻马店市百尺乡联合中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数,则（

）A.为f(x)的极大值点

B.为f(x)的极小值点C.为f(x)的极大值点

D.为f(x)的极小值点 参考答案：D2.过点且与原点距离最大的直线方程是（

）A.

B.C.

D.参考答案：A略3.如图，正方体的棱长为1，E为线段上的一点，则三棱锥的体积为

▲

.参考答案：1/6

略4.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的中点，则四面体A1PQD的正视图、侧视图和俯视图的面积之和为（）A． B．2 C． D．参考答案：B【考点】简单空间图形的三视图．【专题】作图题；数形结合；分割补形法；空间位置关系与距离．【分析】根据题意，画出几何体的三视图，求出三视图的面积之和即可．【解答】解：如图所示，四面体A1PQD的正视图是直角梯形，如图1所示；侧视图是四边形，如图2所示；俯视图是直角梯形，如图3所示；所以三视图的面积之和为3﹣4×××1=2．故选：B．【点评】本题考查了几何体三视图的应用问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．5.设f（x）=xex的导函数为f′（x），则f′（1）的值为（）A．e B．e+1 C．2e D．e+2参考答案：C【考点】导数的运算．【分析】求出导函数，再x=1代入导函数计算．【解答】解：f′（x）=ex+xex，f′（1）=e+e=2e．故选：C．6.在平面内，到两定点（-1,0），（1,0）距离之和等于1的点的轨迹是A．椭圆

B．圆

C．线段

D．不存在参考答案：D略7.下列命题中，真命题是()A.若a＞b，则ac＞bc

B.命题“若a2＜b2，则a＜b”的逆否命题C.若λ=，则=且λ=0

D.命题“∥，∥，则∥一定成立”的否定参考答案：D8.千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，某中学积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：年份（届）2014201520162017学科竞赛获省级一等奖及以上学生人数x51495557被清华、北大等世界名校录取的学生人数y10396108107根据上表可得回归方程中的为1.35，我校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上学生人数为63人，据此模型预报我校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为（

）A.111

B.115

C.117

D.123参考答案：C，故，即，将代入上式，求得.

9.过坐标原点O作圆的两条切线，切点为A，B，直线AB被圆截得弦|AB|的长度为A.

B.

C.

D.参考答案：B10.如图所示，为双曲线的左焦点，双曲线上的点与关于轴对称，则的值是

A.9

B.16

C.18

D.27参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如果对任意一个三角形，只要它的三边都在函数的定义域内，就有也是某个三角形的三边长，则称为“和美型函数”.现有下列函数：①；

②；

③.其中是“和美型函数”的函数序号为

.（写出所有正确的序号）参考答案：①③12.与双曲线有共同的渐近线，并且经过点（2，）的双曲线方程是__________．参考答案：13.执行如图所示的流程图，若p＝4，则输出的S等于___▲___．参考答案：14.已知函数(其中e为自然对数的底数，且e≈2.718)．若f(6－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是________参考答案：15.在等差数列中，，则

.参考答案：20016.如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为__________.参考答案：略17.数列{an}是公差不为0的等差数列，且a2＋a6＝a8，则＝________．参考答案：3三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行．（Ⅰ）求k的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=xf′（x），其中f′（x）为f（x）的导函数．证明：对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）由题意，求出函数的导数，再由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值；（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），利用导数解出函数的单调区间即可；（III）先给出g（x）=xf'（x），考查解析式发现当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2一定成立，由此将问题转化为证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立，利用导数求出函数在（0，1）上的最值，与1+e﹣2比较即可得出要证的结论．【解答】解：（I）函数为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），∴=，x∈（0，+∞），由已知，，∴k=1．（II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），设h（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，+∞），h'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，h'（x）＜0，可得h（x）在x∈（0，e﹣2）时是增函数，在x∈（e﹣2，1）时是减函数，在（1，+∞）上是减函数，又h（1）=0，h（e﹣2）＞0，又x趋向于0时，h（x）的函数值趋向于1∴当0＜x＜1时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0，当x＞1时h（x）＜0，从而f'（x）＜0．综上可知，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．（III）由（II）可知，当x≥1时，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2，故只需证明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1时成立．当0＜x＜1时，ex＞1，且g（x）＞0，∴．设F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），则F'（x）=﹣（lnx+2），当x∈（0，e﹣2）时，F'（x）＞0，当x∈（e﹣2，1）时，F'（x）＜0，所以当x=e﹣2时，F（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2．综上，对任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．19.（1）已知p：﹣x2+8x+20≥0，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）．若“￢p”是“￢q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围；（2）已知两个关于x的一元二次方程mx2﹣4x+4=0和x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5=0，求两方程的根都是整数的充要条件．参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】（1）先求出p，q为真时的x的范围，根据q是p的充分不必要条件得到关于m的不等式组，解出即可；（2）根据方程根的情况结合二次函数的性质求出m的范围，取交集即可．【解答】解：（1）p：﹣2≤x≤10，q：1﹣m≤x≤1+m．﹣﹣﹣﹣﹣∵“非p”是“非q”的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件．∴，∴0＜m≤3．∴实数m的取值范围为0＜m≤3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵mx2﹣4x+4=0是一元二次方程，∴m≠0．又另一方程为x2﹣4mx+4m2﹣4m﹣5=0，且两方程都要有实根，∴，解得m∈﹣﹣﹣﹣∵两方程的根都是整数，故其根的和与积也为整数，∴∴m为4的约数．又∵m∈，∴m=﹣1或1．当m=﹣1时，第一个方程x2+4x﹣4=0的根为非整数；而当m=1时，两方程的根均为整数，∴两方程的根均为整数的充要条件是m=1．﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查了充分必要条件，考查方程根的情况，是一道中档题．20.已知函数（1）设是函数图象的一条对称轴，求的值；（2）求使得函数在区间上是增函数的的最大值．参考答案：（1）或；（2）【分析】（1）先利用倍角公式化简，求出，代入可得；（2）先化简，然后结合在区间上是增函数求出的范围，从而可得最大值.【详解】(1),,或∴.

（2）.当时，；因为在区间上是增函数，所以

且,所以,∴的最大值.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，侧重考查直观想象，逻辑推理及数学运算的核心素养.21.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E，F分别是PB，PD的中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面FAC；（Ⅱ）求三棱锥P﹣EAD的体积；（Ⅲ）求证：平面EAD⊥平面FAC．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接BD，与AC交于点O，连接OF，推导出OF∥PB，由此能证明PB∥平面FAC．（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，知PA为棱锥P﹣ABD的高．由S△PAE=S△ABE，知，由此能求出结果．（Ⅲ）推导出AD⊥PB，AE⊥PB，从而PB⊥平面EAD，进而OF⊥平面EAD，由此能证明平面EAD⊥平面FAC．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，与AC交于点O，连接OF，在△PBD中，O，F分别是BD，PD的中点，所以OF∥PB，又因为OF?平面FAC，PB?平面FAC，所以PB∥平面FAC．解：（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA为棱锥P﹣ABD的高．因为PA=AB=2，底面ABCD是正方形，所以=，因为E为PB中点，所以S△PAE=S△ABE，所以．证明：（Ⅲ）因为AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，所以AD⊥PB，在等腰直角△PAB中，AE⊥PB，又AE∩AD=A，AE?平面EAD，AD?平面EAD，所以PB⊥平面EAD，又OF∥PB，所以