滨州学院常微分方程期末考试复习题库

第/\*Arabic1页2023年上学期常微分方程期末考试题库一、单项选择题1.

是某个初值问题的唯一解，其中方程是,则初始条件应该是(

).(1分)A.B.C.D.答案：A2.满足初始条件和方程组的解为(

).

(1分)A.;B.;C.;D..答案：C3.设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解,

则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是(1分)A.B.C.D.答案：B4.常微分方程的基本解组是(1分)A.B.C.D.答案：D5.已知,和是某一三阶齐次线性方程的解,则和的朗斯基行列式(

).(1分)A.3B.6C.9D.12答案：A6.

是某个初值问题的唯一解，其中方程是,则初始条件应该是(

).(1分)A.B.C.D.答案：C7.初值问题,

的第二次近似解可以写为(

).(1分)A.5

B.C.D.+答案：D8.设和是方程组的两个基解矩阵,则(1分)A.;B.;C.存在某个常数方阵C使得,

其中;D.存在某个常数方阵C使得,

其中.答案：C9.设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解,

则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是(1分)A.B.C.D.答案：B10.

已知是某一三阶齐次线性方程的解,则和的朗斯基行列式(1分)A.;B.;C.;D..答案：A11.设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解,

则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是(1分)A.B.C.D.答案：B12.可将一阶方程化为变量分离方程的变换为(

).(1分)A.;B.;C.;D..答案：A13.微分方程

是(

).(1分)A.n阶常系数非齐次线性常微分方程;B.n阶常系数齐次线性常微分方程;C.n阶变系数非齐次线性常微分方程;D.n阶变系数齐次线性常微分方程.答案：C14.满足初始条件和方程组的解为

(1分)A.;B.;C.;D..答案：B15.可将四阶方程

化为一阶方程的变换是(

).(1分)A.B.C.D.答案：B16.设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解,

则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是(1分)A.B.C.D.答案：B17.微分方程的一个解是(

).(1分)A.B.C.D.答案：D18.一阶常微分方程是恰当方程的充分必要条件是(1分)A.B.C.D.答案：D19.微分方程的一个解是(

).(1分)A.B.C.D.答案：C20.设，及是连续函数，和是二阶变系数齐次线性方程的两个线性无关的解,

则以常数变易公式作为唯一解的初值问题是(1分)A.B.C.D.答案：A21.初值问题,

的第二次近似解可以写为(

).(1分)A.+B.C.D.3

答案：A22.微分方程

是(

).(1分)A.n阶常系数非齐次线性常微分方程;B.n阶变系数齐次线性常微分方程;C.n阶变系数非线性常微分方程;D.n阶常系数非线性常微分方程.答案：B23.设有四个常微分方程：(i),

(ii),(iii),

(iv).(1分)A.线性方程有一个;B.线性方程有两个;C.线性方程有三个;D.线性方程有四个.答案：C24.微分方程的一个解是(

).(1分)A.B.C.D.答案：D25.初值问题,

的第二次近似解可以写为(

).(1分)A.6;

B.;C.;D.+.答案：D26.可将六阶方程

化为二阶方程的变换是(

).(1分)A.B.C.D.答案：D27.设有四个常微分方程：(i),

(ii),(iii),

(iv)

(1分)A.四阶方程有一个;B.四阶方程有两个;C.四阶方程有三个;D.四阶方程有四个.答案：D28.微分方程的一个解是(

).(1分)A.;B.;C.;D..答案：D29.设是n阶齐次线性方程的解,其中是连续函数.则(1分)A.一定线性无关;B.的朗斯基行列式恒为零,

或恒不为零;C.的朗斯基行列式可正可负;D.一定线性相关.答案：B30.设和是方程组的两个基解矩阵,则(1分)A.存在某个常数方阵C使得,

其中;B.存在某个常数方阵C使得,

其中;

C.存在某个常数方阵C使得,

其中;D.存在某个常数方阵C使得,

其中.答案：A31.初值问题,

的第二次近似解可以写为

(1分)A.;B.;C.+;D..答案：C32.设是n阶齐次线性方程的线性无关的解,其中是连续函数.则(1分)A.的朗斯基行列式一定是正的;B.的朗斯基行列式一定是负的;C.的朗斯基行列式可有零点,但不恒为零;D.的朗斯基行列式恒不为零.答案：D答案解析：因为由题设所给的解组是线性无关的,故其朗斯基行列式必恒不为零!33.可将五阶方程

化为一阶方程的变换是(

).(1分)A.B.C.D.答案：C34.常微分方程有形如的积分因子的充分必要条件是(1分)A.只是的函数B.只是的函数C.只是的函数D.只是的函数答案：B35.可将一阶方程化为变量分离方程的变换为(

).

(1分)A.;B.;C.;D..答案：D36.设和是方程组的两个基解矩阵,则(1分)A.存在某个常数方阵C使得,

其中;B.存在某个常数方阵C使得,

其中;

C.;D..答案：A37.已知是某一三阶齐次线性方程的解,则和的朗斯基行列式(1分)A.B.C.D.答案：B38.微分方程

是(

).(1分)A.n阶常系数非齐次线性常微分方程;B.n阶常系数齐次线性常微分方程;C.n阶变系数非齐次线性常微分方程;D.n阶变系数齐次线性常微分方程.答案：C39.设和是方程组的两个基解矩阵,则(1分)A.

(T表示矩阵的转置);B.;C.存在非奇异常数矩阵C使得;D..答案：C40.已知是某一三阶齐次线性方程的解,则和的朗斯基行列式(

).(1分)A.B.C.D.答案：C41.可将四阶方程

化为二阶方程的变换是(

).

(1分)A.B.C.D.答案：B42.初值问题,

的第二次近似解可以写为(

).

(1分)A.4

B.C.D.+答案：D43.设和是方程组的两个基解矩阵,则(1分)A.对任意的n

阶常数方阵C，也是基解矩阵;B.对任意的n

阶常数方阵C，也是基解矩阵;C.对任意的n

阶非奇异常数方阵C，也是基解矩阵;

D.对任意的n

阶非奇异常数方阵C，也是基解矩阵.答案：C44.已知是某一三阶齐次线性方程的解,则和的朗斯基行列式(1分)A.B.C.D.答案：D45.设有四个常微分方程：(i),

(ii),

(iii),

(iv).

(1分)A.非线性方程有一个;B.非线性方程有两个;C.非线性方程有三个;D.非线性方程有四个.答案：B46.微分方程的一个解是(

).(1分)A.B.C.D.答案：B47.

是某个初值问题的唯一解，其中方程是,则初始条件应该是(1分)A.;B.;C.;D..答案：A48.可将一阶方程化为变量分离方程的变换为(1分)A.;B.;C.;D.;答案：C49.下列四个微分方程中,三阶常微分方程有几个?

(i),

(ii),(iii),

(iv).

(1分)A.一个B.两个C.三个D.四个答案：C二、多项选择题50.对于方程,以下证明步骤中哪些是正确的:(1分)A.这个方程的任何两个解的差是对应齐次方程的解,

B.对应齐次方程的特征根是,

C.

对应齐次方程的基本解组是,D.=0,

=0,E.原方程的任何两个解的差是

且当

x

趋向于正无穷大时趋向于零.

答案：ABCDE51.如下求解三阶常系数线性方程的过程中,下划线所指出的部分哪些计算有错误或叙述有错误:解答：(i)先求对应齐方程的通解：对应齐方程的特征方程及特征根分别为(A),

,

,

.故对应齐方程的通解为(B).

(ii)因为有特征根非零(C),故应设原方程的特解有形如,这里a,b是待定常数.代入原方程可得.利用对应系数相等便得到代数方程组:.由此可解得(D),

故.

(iii)原方程的通解可以表示为(E).(1分)A.AB.BC.CD.DE.E答案：ABCDE52.设有方程:,以下步骤中正确的是:(1分)A.利用变量变换,B.由，有,C.代入原方程得到,D.整理后可得,E.分离变量得到.

答案：ABCDE53.以下利用参数法求解一阶隐方程的过程中,下划线所指出的部分哪些有错误:解答：引入参数(A)，则原方程可以写为,

将此方程两边对p求导(B),

可得:,

或(C).

这是一个关于p和x的方程,且是未知函数p的导数可以解出的一阶常微分方程,进而还是变量分离型方程.因此我们将这个方程分离变量:

.(D)

两边积分并求出积分可以得到（C是任意常数）:,因此,将此式和参数的表达式联立,即得原方程的参数形式解,其中C是参数:(E).(1分)A.AB.BC.CD.DE.E答案：BE54.利用降阶法求解二阶方程的过程中,下划线所指出的那些步骤中,哪些是正确的:

解答：这是不显含自变量的二阶方程,因此可以用第二种降阶法。令(A),则.代入到原方程中可将原方程化为如下的一阶方程:(B).这是一个变量分离型的方程.如果,可得是原方程的解,故不妨假设(C),因此可以约掉一个z,分离变量后有:,两边积分可得:,又由,代入上述方程,再次分离变量(D),在等式两边积分可得原方程的通解(E):.

(1分)A.AB.BC.CD.DE.E答案：ABCDE55.设为方程（A为常数矩阵）的一个基解矩阵，试指出如下的断言中哪些是错误的:(1分)A.是原方程组的解矩阵,B.因为,

故还是原方程组的基解矩阵,C.存在奇异的常数矩阵C,

使得,D.取,

可得到.E..答案：CDE56.以下是一阶微分方程的求解过程,请说明下划线所指出那些步骤中,哪些是有错误的:解答：记,则(A),

注意到(B)，因此方程是恰当方程(C).可以计算,

因而方程有只与y

有关的(D)积分因子，并且该积分因子可以求出为：.将该积分因子乘在原方程的两端：,分项组合为,或可整理为(E),

最后得到原方程的通解:

.(1分)A.AB.BC.CD.DE.E答案：CD57.请查出求解一阶线性微分方程的过程中有错误的步骤(1分)A.

先求解对应齐方程：，分离变量可得,B.两边积分求出积分可以得到（C是任意常数）：,C.再将常数C

变易为函数：.D.代入到原方程中可以得到：,E.原方程的通解（C

是任意常数）：.

答案：ABCDE58.试求齐次方程组的基解矩阵，并求满足初始条件的解其中,.

判断哪些步骤所得到的结果是正确的：(1分)A.齐次线性方程组的特征方程是,B.矩阵

A

的特征根为,

对应的特征向量可分别取为,

.C.原方程组基解矩阵可取为:

.D.标准基解矩阵为=.E.原方程组满足所给初始条件的解为答案：ABCDE59.求解方程时,以下的解题步骤中哪些是正确的

:(1分)A.因为,B.所以原方程是恰当方程;C.将方程中的重新分项组合,D.凑出全微分：,E.得到通解：,其中c是任意常数.

答案：ABCDE三、判断题60.是一阶线性微分方程。

(1分)答案：错误61.微分方程的通解中应含的独立常数的个数为4。(1分)答案：错误62.微分方程的阶数是4。

(1分)答案：错误63.是可分离变量的微分方程。

(1分)答案：正确64.所满足的微分方程是。

(1分)答案：正确65.当用比较系数法求方程的一个特解时,可将这个待定系数的特解设为.(1分)答案：错误66.，其对应的齐次方程的通解为。(1分)答案：正确67.利用变换可将伯努利方程化为线性方程.(1分)答案：错误68.2．微分方程的通解是为任意常数)。

(1分)答案：正确69.的通解是。(1分)答案：正确70.3阶微分方程的通解为。(1分)答案：正确71.微分方程的通解中包含了它所有的解。(1分)答案：错误72.的通解中应含3个独立常数。(1分)答案：正确73.对于初值问题可判定其解在的某邻域内存在且唯一,

理由是在整个平面上连续并且关于y满足李普希茨条件.(1分)答案：正确74.方程的通解为。

(1分)答案：正确75.的通解为。(1分)答案：正确76.欧拉方程的一个基本解组为.(1分)答案：正确77.2．函数是微分方程的解。

(1分)答案：错误78.任意微分方程都有通解。(1分)答案：正确79.2．函数是微分方程的解。

(1分)答案：正确80.平面上过点的曲线为,该曲线上任一点处的切线与切点和原点的连线的夹角为,

则这个曲线应满足的常微分方程是,初始条件为.(1分)答案：正确81.不是一阶线性微分方程。(1分)答案：正确82.的特征方程为。

(1分)答案：正确83.的通解为。

(1分)答案：正确84.的通解是。

(1分)答案：正确四、填空题85.利用变换(

)可将伯努利方程化为线性方程(

).(1分)答案：<imgalt="z=y^{4\over5},{5\over4}{dz\overdx}=z\cos5x+\lnx"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=z%3Dy%5E%7B4%5Cover5%7D%2C%20%7B5%5Cover4%7D%7Bdz%5Cover%20dx%7D%3Dz%5Ccos5x%20%2B%5Cln%20x"/>86.对于初值问题,,可判定其解在的某邻域内存在且唯一,理由是(

).(1分)答案：<imgalt="f(x,y)=\ln(4+\sinx+y^2)"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=f%28x%2Cy%29%3D%5Cln%284%2B%5Csin%20x%2By%5E2%29"/>连续且关于y满足局部利普希茨条件87.平面上过点的曲线为,

曲线上任意一点的切线与该点的向径之间夹角为,

则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为(

，

).

(1分)答案：<imgalt="{dy\overdx}={y+x\tan\gamma\overx-y\tan\gamma},y(5)=\pi"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=%7Bdy%5Cover%20dx%7D%3D%7By%2Bx%5Ctan%5Cgamma%5Cover%20x-y%5Ctan%5Cgamma%7D%2C%20y%285%29%3D%5Cpi"/>88.对于初值问题,,可判定其解在的某邻域内存在且唯一,理由是(

).(1分)答案：<imgalt="f(x,y)=\ln(6+\cosx+y^2)"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=f%28x%2Cy%29%3D%5Cln%286%2B%5Ccos%20x%2By%5E2%29"/>在整个平面上连续并且关于y满足局部里普希茨条件<p><br/></p>89.利用变换(

)可将伯努利方程化为线性方程(

).(1分)答案：<imgalt="z=y^{3\over4},{4\over3}{dz\overdx}=z\sinx+\ln(4+x^2)"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=z%3Dy%5E%7B3%5Cover4%7D%2C%20%7B4%5Cover3%7D%7Bdz%5Cover%20dx%7D%3Dz%5Csin%20x%20%2B%5Cln%284%2Bx%5E2%29"/>90.当求方程的一个待定系数特解时,可将这个特解设为(

).

(1分)答案：<imgalt="y^*=(Ax+B)\sinx+(Cx+D)\cosx"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=y%5E*%3D%28Ax%2BB%29%5Csin%20x%2B%28Cx%2BD%29%5Ccos%20x"/>91.利用变换(

)可将伯努利方程化为线性方程(

).(1分)答案：<imgalt="z=y^{2\over3},{3\over2}{dz\overdx}=3z\tanx+e^x"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=z%3Dy%5E%7B2%5Cover3%7D%2C%20%7B3%5Cover2%7D%7Bdz%5Cover%20dx%7D%3D3z%5Ctan%20x%20%2Be%5Ex"/>92.平面上过点的曲线为,

曲线上任意一点的切线与该点的向径之间夹角为,

则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为(

，

).(1分)答案：<imgalt="{dy\overdx}={y+\sqrt3x\overx-\sqrt3y},y(e)=3"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=%7Bdy%5Cover%20dx%7D%3D%7By%2B%5Csqrt3x%5Cover%20x-%5Csqrt3y%7D%2C%20y%28e%29%3D3"/>93.平面上过点的曲线为,

曲线上任意一点的切线与该点的向径之间夹角为,

则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为(

，

).(1分)答案：<imgalt="{dy\overdx}={y+x\tan\beta\overx-y\tan\beta},y(2)=e"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=%7Bdy%5Cover%20dx%7D%3D%7By%2Bx%5Ctan%5Cbeta%5Cover%20x-y%5Ctan%5Cbeta%7D%2C%20y%282%29%3De"/>94.欧拉方程的一个基本解组为(

).

(1分)答案：<imgalt="x^2,x^{-2}"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=x%5E2%2Cx%5E%7B-2%7D"/>95.平面上过点的曲线为,

曲线上任意一点的切线与该点的向径之间夹角为,

则这个曲线应满足的常微分方程及初始条件分别为(

，

).

(1分)答案：<imgalt="{dy\overdx}={3y+\sqrt3x\over3x-\sqrt3y},y(6)={\pi\over6}"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=%7Bdy%5Cover%20dx%7D%3D%7B3y%2B%5Csqrt3x%5Cover3%20x-%5Csqrt3y%7D%2C%20y%286%29%3D%7B%5Cpi%5Cover6%7D"/>96.利用变换(

)可将伯努利方程化为线性方程(

).(1分)答案：<imgalt="z=y^{1\over2},2{dz\overdx}=2z\cosx+\ln(1+x^2)"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=z%3Dy%5E%7B1%5Cover2%7D%2C2%7Bdz%5Cover%20dx%7D%3D2z%5Ccos%20x%2B%5Cln%281%2Bx%5E2%29"/>97.当求方程的一个待定系数特解时,可将这个特解设为(

).

(1分)答案：<imgalt="y^*=(Ax+B)\sinx+(Cx+D)\cosx"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=y%5E*%3D%28Ax%2BB%29%5Csin%20x%2B%28Cx%2BD%29%5Ccos%20x"/>98.当求方程的一个待定系数特解时,可将这个特解设为(

).

(1分)答案：<imgalt="y^*=(Ax+B)\sinx+(Cx+D)\cosx"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=y%5E*%3D%28Ax%2BB%29%5Csin%20x%2B%28Cx%2BD%29%5Ccos%20x"/>五、证明题99.证明方程

的任何两个解之差当x趋向于正无穷大时趋向于零.(1分)答案：证明：根据线性方程解的叠加原理这个方程的任何两个解的差是如下对应齐次方程的解：.对应齐次方程的特征根为,因此通解可以表示为：.其中两个C是任意常数,令x趋向于正无穷大,即容易证明所需的结论.100.证明方程

的任何两个解之差当x趋向于正无穷大时趋向于零.(1分)答案：证明：根据线性方程解的叠加原理这个方程的任何两个解的差是如下对应齐次方程的解：对应齐次方程的特征根为,因此基本解组可以表示为：.通解为：其中两个C是任意常数,令x趋向于正无穷大,即容易证明所需的结论.101.证明方程

的任何两个解之差当x趋向于正无穷大时趋向于零.(1分)答案：证明：根据线性