高中数学-绝对值三角不等式教学课件设计

绝对值三角不等式

问题1.在数轴上，你能指出|a|与|a-b|的几何意义吗？（a、b均为实数）|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点 O的距离abxBAO问题引入|a-b|表示数轴上坐标为a、b的两点A,B间的距离OaxA探究新知探究新知小组活动1：

如果a、b是任意实数，尝试探究|a|+|b|、|a+b|之间的大小关系，各小组选代表发布探究结果.探究新知（1）a·b>0时，如下图易得：|a+b|

|a|+|b|（2）a·b<0时，如下图易得：|a+b|

|a|+|b|（3）a·b=0时，显然有：|a+b|

|a|+|b|综上可得：xabOa+bxabOa+bxabOa+bxabOa+b==<

定理1如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|当且仅当ab≥0时，等号成立。问题3：若把a,b换为向量，,情形又怎样呢？ab探究新知这个不等式称为绝对值三角不式。小组活动2：根据前面的探究思路，你还能发现|a|+|b|、

|a|-|b|、|a+b|、|a-b|之间的关系吗？各小组选代表发布探究结果.探究新知发现1.如果a,b是实数，那么|a|-|b|≤|a+b|≤

|a|+|b|左侧当且仅当ab≤0时等号成立；右侧当且仅当ab≥

0等号成立.

发现2.如果a,b是实数，那么||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|左侧当且仅当ab≥

0时等号成立；右侧当且仅当ab≤0时等号成立.定理1的推论：

如果a,b是实数，那么||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|探究新知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|等号成立的口诀：同加同减，ab同号（≥

0）一加一减，ab异号（≤

0）例1求证：如果a,b,c是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。证明：根据绝对值三角不等式有

|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。这个结论也有重要的作用，我们把它作为定理2.典型例题：利用绝对值不等式||a|－|b|||a±b|≤|a|＋|b|，进行证明题往往需要通过适当的添、拆项、重组、整体代换等.考题连线：（2014—江西）对任意x，y∈R，|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值为（）A．1B．2C．3D．4变式：对任意x∈R，|2x-1|+|2x+1|≥m恒成立，则实数m的取值范围为________.（1）对于y=｜x-a｜+｜x-b｜或y=｜x+a｜-｜x-b｜型的函数最值求法，利用绝对值三角不等式更简捷、方便.（2）含绝对值的不等式恒成立或存在性问题，往往可以将问题转化为最值问题，再看能否构造绝对值三角不等式求得最值．

（3）求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．课堂小结：

定理1如果a,b是实数，则|a+b|≤|a|+|b|当且仅当ab≥0时，等号成立。定理1的推广形式：如果a,b是实数，那么||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|定理2如果a,b,c是实数，那么

|a-c|≤|a-b|+|b-c|当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。123一维角度扩展到二