导数的几何意义

导数的几何意义回顾反思1、平均变化率①一般的，函数在区间上的平均变化率为

②割线的斜率OABxyy=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=△xf(x2)-f(x1)=△y2.导数的概念一般地，函数y=f(x)

在点x=x0处的瞬时变化率是我们称它为函数y=f(x)在点x=x0处的导数，记为或，即我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.由导数的定义可知，求函数在处的导数的步骤:（1）求函数的增量:；（2）求平均变化率:；．（3）取极限，得导数:注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量Δx的形式是多样的,但不管Δx选择哪种形式,Δy也必须选择与之相对应的形式.βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy▲如图：PQ叫做曲线的割线那么，它们的横坐标相差〔〕纵坐标相差〔〕导数的几何意义:

斜率▲当Q点沿曲线靠近P时，割线PQ怎么变化？△x呢？△y呢？PQoxyy=f(x)割线切线T导数的几何意义:

我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.那么我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.PQoxyy=f(x)割线切线T3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,那么在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,那么在此点处无切线〔注意和y轴关系〕;要注意,曲线在某点处的切线:1.在函数的图像上，(1)用图形来表达导数，的几何意义.(2)请描述，比较曲线分别在附近增〔减〕以及增〔减〕快慢的情况。在附近呢？(2)请描述，比较曲线分别在附近增〔减〕以及增〔减〕快慢的情况。在附近呢？增〔减):增〔减〕快慢：=切线的斜率附近：瞬时变化率〔正或负〕即：瞬时变化率〔导数〕〔数形结合，以直代曲〕画切线即：导数的绝对值的大小=切线斜率的绝对值的大小切线的倾斜程度〔陡峭程度〕以简单对象刻画复杂的对象解：我们用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况。当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴.所以,在t=t0附近曲线比较平坦,几乎没有下降.当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率

h′(t1)<0.所以,在t=t1附近曲线下降,即函数h(t)在t=t1附近单调递减.(3)当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率

h′(t2)<0.所以,在t=t2附近曲线下降,即函数h(t)在t=t2附近也单调递减.

与t2相比,曲线在t1附近下降得缓慢些.2:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OjMDyDx因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.※求曲线在某点处的切线方程的根本步骤:①求出P点的坐标;②利用切线斜率的定义求出切线的斜率;③利用点斜式求切线方程.练习1、求曲线在点M(3,3)处的切线的斜率及倾斜角．斜率为-1,倾斜角为135°练习2、判断曲线在（1，-）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.12有,切线的方程为注:学了导数的运算后,

此类题有更简单的解法.例3、某物体的运动方程为s(t)=5t2〔位移单位：m，时间单位：s〕求它在t＝2s时的速度.解:因为从而所以例4、已知曲线上一点求：点P处的切线的斜率；点P处的的切线方程．

解:点P处的切线的斜率即在x=2处的导数.因为从而所以点P处的的切线方程点P处的切线的斜率是4.即直线

3．如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)〔单位：mg/ml〕随时间t〔单位：min〕变化的函数图像，根据图像，估计t=0.2,0.4,0.6,0.8〔min〕时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)

血管中药物浓度的瞬时变化率,就是药物浓度从图象上看,它表示曲线在该点处的切线的斜率.函数f(t)在此时刻的导数,〔数形结合，以直代曲〕以简单对象刻画复杂的对象00.20.10.40.60.51.10.70.31.00.90.80.20.10.40.60.51.10.70.31.00.90.8t(min)c(mg/mL)解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数。作t=0.5处的切线,它的斜率约为0所以,作t=0.8处的切线,它的斜率约为-1.5所以,因此在t=0.5和0.8处药物浓度的瞬时变化率分别为0和-1.5.

抽象概括：

是确定的数是的函数

导函数的概念：t0.20.40.60.8药物浓度的瞬时变化率

在不致发生混淆时，导函数也简称导数．函数导函数由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时,f’(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:▲

如何求函数y=f(x)的导数?函数导函数函数导函数（3）函数f(x)在点x0处的导数就是导函数在x=x0处的函数值，即。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。课堂小结:（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的,

就是函数f(x)的导函数。〔1〕函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量