离散信号Z域分析

第八章

Z变换、离散时间系统的Z域分析◆离散信号的Z变换；◆常用序列z变换；◆z变换的根本性质；◆z变换的逆变换；◆z域系统函数H(z)；◆离散系统的稳定性。一、z变换的导出抽样信号的拉氏变换→离散信号的z变换对xs(t)取拉氏变换x(t)p(t)xs(t)8.1离散信号的Z变换二、离散信号的Z变换的定义记作F(Z)=Z{f(n)}z反变换记作三、常用序列z变换1．单位序列δ〔n〕2．单位阶跃序列u(n)3、斜变序列

两边同时乘以z-1

，可得同理可得n是离散变量，所以对n没有微积分运算；z是连续变量，所以对z有微积分运算。4、指数序列1．右边序列注意：z变换相同时，左边序列的定义。四、收敛域

1、收敛域的定义收敛的所有z值之集合为收敛域。对于任意给定的序列x(n)，能使ROC:Regionofconvergence不同的x(n)的z变换，由于收敛域不同，可能对应于相同的z变换，故在确定z变换时，必须指明收敛域。2、两种判定法〔1〕比值判定法若有一个正项级数，那么：<1：收敛=1：可能收敛也可能发散>1：发散即令正项级数的一般项的n次根的极限等于，那么<1：收敛=1：可能收敛也可能发散>1：发散〔2〕根值判定法〔例〕求下离散时间信号z变换的收剑域：

解：z平面：因Z是一个复变量，其取值可在一个复平面上表示，且该复平面称为z平面。假设该序列收敛，那么要求即收敛域为：

收敛域为：所以，收敛域为的z平面。

结论：(1)z变换收敛域取决于序列f(n)和z值；(2)F(Z)与f(n)不一定一一对应，只有和其收敛域一起才可确定序列；(3)右序列变换的收敛域为半径为ρ的圆外区域；(4)左序列变换的收敛域为半径为ρ的圆内区域；(5)双边序列z变换的收敛域为ρ1，ρ2圆环域内；(6)有限长双边序列z变换的收敛域为〔0，∞〕。求z逆变换的方法一般有查表法、幂级数展开法、局部分式法。8.2Z变换的逆变换一、定义：z变换式一般是z的有理函数，可表示为：直接用长除法进行逆变换〔是一个z的幂级数〕二、幂级数展开法

右边序列的逆z变换左边序列的逆z变换〔例8.2.1〕解:(n)(n)(n)u(n-1)nn〔例8.2.2〕解:将F(Z)的分子、分母按z的降幂次序排列为

(n)(n)(n)n三、局部分式展开法根本步骤：f(n)〔例8.2.3〕解:

f(n)〔例8.2.4〕求其z反变换。解:

因…〔例8.2.5〕

解

28.3z变换的根本性质一、线性收敛域至少是两个函数收敛的公共局部〔例8.3.1〕求余弦序列cosnω0u(n)的z变换。解:同理1、双边z变换的位移性质二、移位性2、单边z变换的位移性质假设x(n)为双边序列，其单边z变换为(1)左移位性质特例：(2)右移位性质而左移位序列的单边z变换不变。特例：解:方程两边取z变换带入边界条件整理为三、Z域微分(序列线性加权)共求导m次〔例8.3.3〕求以下序列的z变换：解:

四、局部和五、Z域积分性六、时域折叠性〔例8.3.4〕求以下序列的z变换：解:(1)由z域积分性，得(2)因为七、z域尺度变换〔序列指数加权〕同理证明：八、初值定理推理x(1)＝？九、终值定理解：[例8.3.5]十、时域卷积定理收敛域：一般情况下，取二者的重叠局部即注意：如果在某些线性组合中某些零点与极点相抵消，那么收敛域可能扩大。[例8.3.6]解：z平面与s平面的映射关系

一．应用z变换求解差分方程

1、步骤：(1)对差分方程进行单边z变换〔移位性质〕(2)由z变换方程求出响应Y(z)；(3)求Y(z)的反变换，得到y(n)。8.4离散系统Z域分析2、差分方程响应y(n)的起始点确定全响应y(n)根据输入信号加上的时刻定对因果系统y(n)不可能出现在x(n)之前观察Y(z)分子分母的幂次分母高于分子的次数是响应的起点

解：方程两端取z变换[例8.4.1]已知系统的差分方程为：若边界条件为y(-1)=1,求系统的完全响应。[例8.4.2]解：系统框图列出系统的差分方程。求系统的响应y(n)。

〔1〕列差分方程，从加法器入手

〔3〕差分方程两端取z变换，利用右移位性质〔2〕a.由鼓励引起的零状态响应零状态响应为即b.由储能引起的零输入响应零输入响应为c.整理〔1〕式得全响应1、单位样值响应与系统函数〔1〕定义二、z域系统函数H(z)推导：线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述，一般形式为激励为因果序列系统处于零状态上式两边取z变换得H〔z〕：离散时间系统的系统函数。只与系统的差分方程的系数、结构有关，描述了系统的特性。系统的零状态响应：〔2〕h(n)和H(z)为一对z变换2、H(z)的求法(1)假设鼓励和其零状态响应的z变换，那么根据定义式求H(z)。(2)假设系统差分方程时，那么对差分方程两边取单边z变换，并考虑到当n<0时，y(n)和x(n)均取零，从而求得H(z)。(3)假设系统的单位序列响应h(n)，那么可求得H(z)。(4)如果系统的时域模拟图，得到相应z域模拟图或信号流图，从而由梅森公式求得。那么求系统的零状态响应解：在零状态条件下，对差分方程两边取单边z变换[例8.4.3]离散系统的差分方程为：，〔例8.4.4〕离散系统z域信号流图如下图，试求该系统单位序列响应h(n)。解：4、H(z)的应用x(n)yzs(n)yzi(n)

五、H(z)的零、极点分析对于n阶线性时不变离散时间系统，其系统函数为

式中，Zr是H(z)的零点；Pk是H(z)的极点；G为一个实常数。对于具有一阶极点的系统函数

〔1〕假设H(z)所有极点位于z平面单位圆内，h(n)随n增大而指数衰减，当n→∞时，h(n)→0；〔2〕当H(z)含有单位圆上一阶极点外，其余极点位于单位圆内时，h(n)随n增大，逐渐稳定在某一有限范围内变化；〔3〕当H(z)含有z平面单位圆外极点时，h(n)随n增大，当n→∞时，h(n)→∞〔4〕当H(z)含有单位圆外及单位圆上的多重极点时，必有n→∞时，h(n)→∞。利用z～s平面的映射关系六、离散系统的稳定性对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必定是有界的〔BIBO)。1、定义：离散系统稳定的充要条件：单位样值响应绝对可和。(1)根据的H〔z〕极点分布判断稳定性〔因果系统〕(2)根据H(z)的分母多项式判断稳定性〔Jury准那么〕H(z)的全部极点应落在单位圆之内。即收敛域应包括单位圆在内:2、稳定性判断〔因果系统〕第4行为第3行系数的反序排列，第5行由第3，4行求出这样求得的两行比前两行少一项，依次类推，直到2n-3行。各奇数行的第一个系数必大于最后一个系数的绝对值。Jury准则系统稳定的条件：〔例8.4.4〕判断以下系统的因果性和稳定性。不稳定系统(1)从时域判断因果系统从z域判断h(n)为右边序列，收敛域为圆外，为因果系统。解：

系统因果性的判断方法：z域：收敛域在圆外注意：对于因果系统，极点在单位圆内稳定。不稳定②从z域判断：收敛域，极点在处，是非因果系统，极点在单位圆内也不稳定。(2)①从时域判断：不是因果系统〔例8.4.6〕解：

4、连续系统和离散系统稳定性的比较5、差分方程的列写

[例8.4.7]系统框图如下，求H(z),h(n)。解：

列差分方程分别取z变换[例8.4.8]解：分子分母同除以z的最高次幂画出系统的框图为：使用多个加法器节省了延时单元。8.5序列的傅里叶变换〔DTFT)为研究离散时间系统的频率响应作准备，从抽样信号的傅里叶变换引出：一．定义与z变换关系逆变换表示1．三种变换的比较变换名称傅里叶变换拉普拉斯变换z变换信号类型变量二．傅氏变换、拉氏变换、z变换的关系2．s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换3.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变换〔DTFT〕一．离散系统频响特性的定义正弦稳态〔正弦序列作用下系统的稳态响应〕系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系统的频率响应特性。8.6离散时间系统的频率响应特性由系统函数得到频响特性输出对输入序列的相移离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换，即系统的频率响应特性:输出与输入序列的幅度之比：幅频特性：相频特性[例8.6.1]离散时间系统的框图如右图，求系统频率响应特性。解：系统的差分方程设系统为零状态的，方程两边取z变换系统函数系统的频率响应特性幅频特性相频特性频率响应特性曲线图(1)幅频特性曲线图(2)相频曲线离散系统(数字滤波器〕的分类二．频响特性的几何确定法几点说明小结

1.

系统的频响特性：幅频特性，输出与输入序列的幅度之比：相频特性，输出对输入序列的相移3.因为是周期为的周期函数，所以系统的频响特性为周期为的周期函数。

4.

是关于的偶函数，是关于的奇函数。2.系统的频率响应就是系统函数在单位圆上的动态，因而变化，影响输出的幅度与相位。本章总结：1、离散信号的Z变换的定义、收敛域；2、常用序列z变换:单位