内蒙古自治区赤峰市古鲁板蒿中学2021年高三数学理月考试题含解析

内蒙古自治区赤峰市古鲁板蒿中学2021年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数f（x）=（x∈[1，3]）的值域为（）A．[2，3]B．[2，5]C．D．参考答案：A考点：函数单调性的性质；基本不等式．专题：函数的性质及应用．分析：变形可得函数f（x）==x+﹣2，x∈[1，3]，利用导数可得函数f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，可得函数的最值，进而可得答案．解答：解：变形可得函数f（x）==x+﹣2，x∈[1，3]，求导数可得f′（x）=1﹣，令1﹣＞0，可得x＞2，故可得函数f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，故函数（x）的最小值为f（2）=2，最大值为f（1）或f（3）中的一个，可得f（1）=3，f（3）=，故最大值为f（1）=3，故函原数的值域为[2，3]故选A点评：本题考查函数的单调性，涉及导数法解决函数的单调性和最值，属中档题．2.下列有关命题的说法正确的是

(

)A．命题“若则”的逆否命题为真命题.B．函数的定义域为.C．命题“使得”的否定是：“均有”.

D．“”是“直线与垂直”的必要不充分条件.参考答案：A3.“”是“函数在区间上单调递增”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件参考答案：A略4.函数且的图象一定过定点（

）A、

B、

C、

D、参考答案：【答案解析】B解析：解：由指数函数的定义可知当，这时，所以函数的图像一定过定点.5.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积是（

）．A．

B．

C．

D．参考答案：答案:D6.若方程在上有两个不相等实根，则的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C因为,所以,即时,函数单调递增,且；时,函数单调递减,且，因此要有两个不相等实根，则的取值范围是，选C.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.7.若实数、满足，则的最大值为（

）． A． B． C． D．参考答案：D解：根据题意，作出可行域如图所示：目标函数表示斜率为的直线的纵截距的倍，由图可知，当，过点时，取得最大值，将点代入，得．故选．8.（原创）已知实数满足，则的值域为（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C9.已知函数，若有，则的取值范围为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B由已知得，，若有，则，即，

解得，故选择B。10.已知函数图象过点，则f（x）图象的一个对称中心是（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】正弦函数的图象．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得=2sinφ，结合（|φ|＜）可得φ的值，由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则可求f（x）的图象的一个对称中心．【解答】解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象过点（0，），∴=2sinφ，由（|φ|＜），可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∴由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则f（x）的图象的一个对称中心是（﹣，0）．故选：B．【点评】本题主要考查了正弦函数的对称性，属于基本知识的考查．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,10，…，第个三角形数为。记第个边形数为，以下列出了部分边形数中第个数的表达式：三角形数

正方形数

五边形数

六边形数

……可以推测的表达式，由此计算

。参考答案：观察和前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故，【相关知识点】归纳推理，等差数列

12.若不等式对一切非零实数均成立,记实数的取值范围为.已知集合，集合，则集合

.参考答案：略13.定义运算，复数z满足，则复数的模为_______________．

参考答案：略14.内接于以为圆心，1为半径的圆，且0，则=

．参考答案：15.在ABC中，若,则为_________。参考答案：16.函数(的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，则=___________.参考答案：3略17.（几何证明选讲选做题）如图，过⊙外一点分别作圆的切线和割线交圆于，且，是圆上一点使得，则

．

参考答案：6

：因为(弦切角等于它所夹弧所对圆周角),,所以与相似,所以即,所以.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）为等腰直角三角形，，，、分别是边和的中点，现将沿折起，使面面，是边的中

点，平面与交于点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求三棱锥的体积.

参考答案：(Ⅰ)因为、分别是边和的中点，所以，因为平面，平面，所以平面因为平面，平面，平面平面所以又因为，所以.

……6分(Ⅱ)高

……12分19.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）运用正弦定理和诱导公式、以及同角公式，即可得到cosB；（2）由二倍角的正弦和余弦公式，以及诱导公式，化简计算即可得到．【解答】解（1）∵，∴cosB=cos（+A）=﹣sinA，又a=3，b=4，所以由正弦定理得，所以=，所以﹣3sinB=4cosB，两边平方得9sin2B=16cos2B，又sin2B+cos2B=1，所以，而，所以．

（2）∵，∴，∵，∴2A=2B﹣π，∴sin2A=sin（2B﹣π）=﹣sin2B=又A+B+C=π，∴，∴sinC=﹣cos2B=1﹣2cos2B=．∴．20.已知函数（a是常数），（1）求函数的单调区间；（2）当时，函数有零点，求a的取值范围．参考答案：1）见解析；（2）或．（1）根据题意可得，当a＝0时，，函数在上是单调递增的，在上是单调递减的．···········································1分当a≠0时，，因为＞0，令，解得x＝0或．·····························3分①当a＞0时，函数在，上有，即，函数单调递减；函数在上有，即，函数单调递增；························4分②当a＜0时，函数在，上有，即，函数单调递增；函数在上有，即，函数单调递减；························5分综上所述，当a＝0时，函数的单调递增区间，递减区间为；当a＞0时，函数的单调递减区间为，，递增区间为；当a＜0时，函数的单调递增区间为，，递减区间为；·······6分（2）①当a＝0时，可得，，故a＝0可以；·········7分②当a＞0时，函数的单调递减区间为，递增区间为，（I）若，解得；可知：时，是增函数，时，是减函数，由，∴在上；解得，所以；·······································10分（II）若，解得；函数在上递增，由，则，解得由，即此时无解，所以；·····························11分③当a＜0时，函数在上递增，类似上面时，此时无解．综上所述，．···········································12分21.（12分）海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区ABC数量10050150（1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【分析】（1）由题意知：用分层抽样的方法能求出这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量．（2）在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，基本事件总数n==15，这2件商品来自相同地区包含的基本事件个数m==4，由此能求出这2件商品来自相同地区的概率．【解答】解：（1）由题意知：用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测，这6件样品中来自A地区商品的数量为：=2件，来自B地区商品的数量为：6×=1件，来自C地区商品的数量为：6×=3件．（2）在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，基本事件总数n==15，这2件商品来自相同地区包含的基本事件个数m==4，这2件商品来自相同地区的概率p=．【点评】本题考查分层抽样的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．22.(12分)已知在数列{an}中，已知，且．(1)求a2，a3(2)求数列{an}的通