福建省龙岩市莲峰中学2022年高三数学理期末试卷含解析

福建省龙岩市莲峰中学2022年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某校周四下午第五、六两节是选修课时间,现有甲、乙、丙、丁四位教师可开课。已知甲、乙教师各自最多可以开设两节课,丙、丁教师各自最多可以开设一节课.现要求第五、六两节课中每节课恰有两位教师开课(不必考虑教师所开课的班级和内容),则不同的开课方案共有（）种。A、20

B、19 C、16 D、15参考答案：B略2.某程序框图如图所示，若输入输出的n分别为3和1，则在图中空白的判断框中应填入的条件可以为（）A．i≥7？ B．i＞7？ C．i≥6？ D．i＜6？参考答案：A【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得i=0，n=3满足条件n为奇数，n=10，i=1，不满足条件，不满足条件n为奇数，n=5，i=2不满足条件，满足条件n为奇数，n=16，i=3不满足条件，不满足条件n为奇数，n=8，i=4不满足条件，不满足条件n为奇数，n=4，i=5不满足条件，不满足条件n为奇数，n=2，i=6不满足条件，不满足条件n为奇数，n=1，i=7由题意，此时，应该满足条件，退出循环，输出n的值为1．故在图中空白的判断框中应填入的条件可以为i≥7？故选：A．3.复数等于(

)A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．【解答】解：===2﹣i，故选D．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．4.偶函数在内可导，且则在处切线的斜率为（

）A.-2

B.2

C.0

D.无法确定参考答案：B略5..已知函数的最小正周期为，将函数的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数的图象，则函数在的值城为(

)．A. B.[－2,2] C.[－1,1] D.[－2,1]参考答案：D【分析】由函数的最小正周期为，可以求出，由已知条件，可以求出的解析式，然后利用正弦函数的单调性，求出函数在的值城.【详解】因为函数的最小正周期为，所以，函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象，所以有，，因此函数在的值城为，故本题选D.【点睛】本题考查了正切函数的周期公式、正弦型函数的图象变换、正弦型函数的值域问题.6.定义在（﹣∞，0）上的可导函数f（x）的导数为f'（x），且有xf'（x）﹣2f（x）＞x2，若f（m+2015）﹣（m+2015）2f（﹣1）＞0，则实数m的取值范围是（）A．（﹣2016，0） B．（﹣∞，﹣2017） C．（﹣∞，﹣2016） D．（﹣2016，﹣2015）参考答案：D【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】对不等式xf′（x）﹣2f（x）＞x2两边同除以﹣x3便可据条件得出，从而判断出函数F（x）=在（﹣∞，0）上单调递增，这样可由不等式f（m+2015）﹣（m+2015）2f（﹣1）＞0得出F（m+2015）＞F（﹣1），这样根据F（x）的定义域及单调性即可求出m的取值范围．【解答】解：由xf′（x）﹣2f（x）＞x2（x＜0）得，；∴；设F（x）=，则F（x）在（﹣∞，0）上单调递增；由f（m+2015）﹣（m+2015）2f（﹣1）＞0得，；即；∴F（m+2015）＞F（﹣1）；∴﹣1＜m+2015＜0；∴﹣2016＜m＜﹣2015；∴m的取值范围是（﹣2016，﹣2015）．故选D．7.函数是（

）A．最小正周期为的奇函数

B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的偶函数参考答案：A8.已知集合正奇数和集合，若，则M中的运算“”是（

）

A．加法

B．除法

C．乘法

D．减法

解析：由已知集合M是集合P的子集，设，∵，∴，而其它运算均不使结果属于集合，故选C．

参考答案：C略9.一个袋子里装有编号为的12个相同大小的小球，其中1到6号球是红色球，其余为黑色球，若从中任意透出一个球，记录它的颜色和号码后再放回到袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A10.二项式的展开式中的常数项是A.第10项

B.第9项

C.第8项

D.第7项参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等比数列{an}的前n项和为Sn，，若，则______参考答案：【分析】由等比数列的求和公式及得，再利用通项公式求即可【详解】由题知公比，所以，解得，所以.故答案为【点睛】本题考查等比数列的通项及求和公式，熟记公式准确计算是关键，是基础题12.某简单几何体的三枧图如图所示，其最大侧面的面积为_____．参考答案：8【分析】由已知中的三视图，画出几何体的直观图，然后求解三角形的面积，得到结果．【详解】由三视图得到几何体的直观图如图：是棱长为2的正方体的一部分，四棱锥P﹣ABCD，S△BCP＝8，S△ABP＝S△APD＝8．S△PCD＝8．故答案为：8．【点睛】本题考查的知识点是由三视图还原几何体并求侧面面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．13.已知则函数的解析式

▲

.参考答案：略14.已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．

点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．参考答案：【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．15.已知函数，若，则a的取值范围是____________.参考答案：16.如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，且直角边长为1，那么这个几何体的体积为_________.

参考答案：17.函数的一个零点所在的区间为，则的值为____________．参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线y2=4x，过点M（0，2）的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x交于点C．（1）求证：|MA|，|MC|、|MB|成等比数列；（2）设，，试问α+β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；等比关系的确定．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）设直线l的方程为：y=kx+2，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得|MA|，|MC|、|MB|成等比数列，从而解决问题．（2）由，得，，，从而利用x1，x2，及k来表示α，β，最后结合（1）中根系数的关系即得故α+β为定值．【解答】解：（1）设直线l的方程为：y=kx+2（k≠0），联立方程可得得：k2x2+（4k﹣4）x+4=0①设A（x1，y1），B（x2，y2），，则，②，而，∴|MC|2=|MA|?|MB|≠0，即|MA|，|MC|、|MB|成等比数列（2）由，得，，即得：，，则由（1）中②代入得α+β=﹣1，故α+β为定值且定值为﹣1【点评】本小题主要考查等比关系的确定、向量坐标的应用、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．19.（本小题满分13分）在平面直角坐标系上取两点,再取两个动点

,且.(1)求直线与交点的轨迹的方程；(2)过点作两条互相垂直的射线，与曲线分别交于两点.证明点到直线的距离为定值.并求弦长度的最小值.参考答案：解：（1）依题意知直线的方程为：

①……………1分直线的方程为：

②

……………2分设是直线与直线的交点，①×②得：

③……3分将代入③整理得

………………4分不与原点重合点不在轨迹上

轨迹的方程为

……………5分(2)设，若直线AB的方程为

…7分与椭圆联立消去并化简得

由根与系数的关系得：

………8分即：整理得所以O到直线AB的距离:

若直线AB的方程为,易得O到直线AB的距离也为故,点到直线的距离为定值.……………10分，当且仅当时取“=”号。由直角三角形面积公式得:

…12分即：当OA=OB时，弦AB的长度的最小值是………………13分略20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）动直线l:y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求EDF的最小值.参考答案：解：（Ⅰ）由椭圆的离心率为，得，又当y=1时，，得，所以，.因此椭圆方程为.(II)设,.联立方程得，（Ⅱ）设，联立方程得，由

得

（*）且，因此，所以，又，所以整理得：，因为所以令故所以令

当从而在上单调递增，因此等号当且仅当时成立，此时所以

由（*）得且，故，设，则，所以得最小值为.从而的最小值为，此时直线的斜率时.综上所述：当，时，取得最小值为. 21.在直角坐标系中，直线的方程是，圆C的参数方程是（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）分别求直线与圆的极坐标方程；（2）射线:（）与圆的交点为，两点，与直线交于点．射线:与圆交于，两点，与直线交于点，求的最大值．参考答案：（1）直线l的方程是，可得极坐标方程：

………………（2分）圆C的参数方程是（为参数），可得普通方程：展开为．化为极坐标方程：即…………（5分）（2）由题意可得：点，的极坐标为：，．