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北京第十四中学2022-2023学年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线上的点到其焦点的最小距离为2,且渐近线方程为,则该双曲线的方程为(

)A. B. C. D.参考答案:A

考点:双曲线和抛物线的有关问题.2.若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为A.

B.5

C.

D.4参考答案:【知识点】简单几何体三视图,棱柱的体积.G2

G7

【答案解析】D

解析:由图可知,此几何体为直六棱柱,底面六边形可看做两个全等的等腰梯形,上底边为1,下底边为3,高为1,

∴棱柱的底面积为棱柱的高为1

∴此几何体的体积为V=4×1=4,故选D.【思路点拨】先根据三视图判断此几何体为直六棱柱,再分别计算棱柱的底面积和高,最后由棱柱的体积计算公式求得结果.3.设是非零向量,已知命题P:若,,则;命题q:若,则,则下列命题中真命题是(

)A.

B.

C.

D.参考答案:A4.如右图所示为函数()的部分图象,其中两点之间的距离为,那么(

)A.

B.

C.

D.参考答案:C5.若双曲线x2+ky2=1的离心率是2,则实数k的值是(

A.-3

B.

C.3

D.参考答案:B略6.若存在实常数和,使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足:和恒成立,则称此直线为和的“隔离直线”.已知函数,为自然对数的底数),,.有下列命题:①在递减;②和存在唯一的“隔离直线”;③和存在“隔离直线”,且的最大值为;④函数和存在唯一的隔离直线.其中真命题的个数

(A)个

(B)个

(C)个

(D)个参考答案:C7.若复数,则=、

、参考答案:C由已知,则=.故选.8.设,若,则下列不等式中正确的是(

)A、

B、

C、

D、参考答案:【解析】利用赋值法:令排除A,B,C,选D答案:D9.计算:()A.-1

B.1

C.8

D.-8参考答案:C略10.已知α,β,γ是三个不同的平面,α∩γ=m,β∩γ=n,下列命题正确的是(

)A.若m⊥n,则α⊥β

B.若α⊥β,则m⊥nC.若m∥n,则α∥β

D.若α∥β,则m∥n参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数在复平面上对应的点在第

象限.

参考答案:四略12.已知随机变量服从正态分布,且,则

.参考答案:试题分析:正态分布均值为,,故.考点:正态分布.13.已知,则

.参考答案:略14.比较大小:

(填“”,“”或“”)参考答案:<15.已知A,B,C是圆x2+y2=1上互不相同的三个点,且满足||=||,则的取值范围是.参考答案:[﹣,)【考点】平面向量数量积的运算.【分析】画出图形,设出、以及的坐标,求出?的坐标表示,求取值范围即可.【解答】解:如图所示,取=(1,0),不妨设B(cosθ,sinθ),(θ∈(0,π)).∵||=||,∴C(cosθ,﹣sinθ);∴?=(cosθ﹣1,sinθ)?(cosθ﹣1,﹣sinθ)=(cosθ﹣1)2﹣sin2θ=cos2θ﹣2cosθ+1﹣(1﹣cos2θ)=2﹣;∵﹣1<cosθ<1,∴当cosθ=,即θ=时,上式取得最小值﹣;当cosθ=﹣1时,2﹣1=;∴的取值范围是[﹣,).故答案为:[﹣,).16.(08年全国卷2)设向量,若向量与向量共线,则

.参考答案:【解析】:

;17.现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为,类比到空间,有两个棱长均为的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为

.参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.如图,设椭圆:的离心率为,分别为椭圆的左、右顶点,为右焦点,直线与的交点到轴的距离为,过点作轴的垂线,为上异于点的一点,以为直径作圆.(1)求的方程;(2)若直线与的另一个交点为,证明:直线与圆相切.参考答案:(1)解:由题可知,,∴,,设椭圆的方程为,由,得,∴,,,故的方程为.(2)证明:由(1)可得:,设圆的圆心为,则,圆的半径为,直线的方程为.

设过与圆相切的直线方程为,则,整理得:,由,得,又∵,∴直线与圆相切.19.(本题满分12分)己知斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形,侧面为菱形,,平面平面ABC,N是的中点.(I)求证:BN;(II)求二面角的余弦值.参考答案:(Ⅰ)证明:方法一取的中点,连结,,由题意知.又因为平面平面,所以平面.………………2分因为平面

所以因为四边形为菱形,所以又因为∥,所以所以平面………………4分又平面,所以.…6分方法二取的中点,连结,,由题意知,.又因为平面平面,所以平面以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.……2分则,,,,,.

……4分因为,所以……6分(Ⅱ)取的中点,连结,,由题意知,.又因为平面平面,所以平面以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.……7分则,,,,,.设平面的法向量为,则即令.所以.

…………9分又平面的法向量

…………………10分设二面角的平面角为,则.……………12分20.(本小题满分14分)已知函数的图像过点,且在该点的切线方程为.(Ⅰ)若在上为单调增函数,求实数的取值范围;(Ⅱ)若函数恰好有一个零点,求实数的取值范围.参考答案:(本小题满分14分)解:(1)由…1分

所以…………3分在上恒成立即

……………………5分(2)

和恰好有一个交点①当时在区间单调递减,在上单调递增,极大值为,极小值为,(当趋向于时图像在轴上方,并且无限接近于轴)所以或………8分②当时:(ⅰ)当,即时,在区间单调递增,在上单调递减,极大值为,极小值为,(当趋向于时图像在轴下方,并且无限接近于轴)当即时,或当时,即时,或……11分(ⅱ)当时,即

时在区间单调递增,在上单调递减,极小值为,极大值为,(当趋向于时图像在轴下方,并且无限接近于轴)或………13分(ⅲ)时,即时,在R上单调增(当趋向于时图像在轴下方,并且无限接近于轴)此时

………14分21.在△ABC中角A,B,C所对的边分别是a,b,c,b=,c=1,cosB=.(1)求sinC的值;(2)求△ABC的面积.参考答案:【考点】正弦定理;余弦定理.【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形.【分析】(1)利用同角三角函数基本关系式可求sinB,由正弦定理可得sinC的值.(2)由c<b,可得C为锐角,由(1)可得cosC,利用两角和的正弦函数公式可求sinA的值,利用三角形面积公式即可得解.【解答】(本题满分为12分)解:(1)∵b=,c=1,cosB=.∴sinB==,∴由正弦定理可得:sinC===…4分(2)∵c<b,C为锐角,∴由(1)可得:cosC==,∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=×+×=,∴S△ABC=bcsinA==…12分【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,正弦定理,两角和的正弦函数公式,三角形面积公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.22.选修4—2矩阵与变换已知矩阵

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