北京第十四中学2022-2023学年高三数学文下学期期末试题含解析

北京第十四中学2022-2023学年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知双曲线上的点到其焦点的最小距离为2，且渐近线方程为，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．参考答案：A

考点：双曲线和抛物线的有关问题.2.若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A．

B．5

C．

D．4参考答案：【知识点】简单几何体三视图，棱柱的体积.G2

G7

【答案解析】D

解析：由图可知，此几何体为直六棱柱，底面六边形可看做两个全等的等腰梯形，上底边为1，下底边为3，高为1，

∴棱柱的底面积为棱柱的高为1

∴此几何体的体积为V=4×1=4,故选D.【思路点拨】先根据三视图判断此几何体为直六棱柱，再分别计算棱柱的底面积和高，最后由棱柱的体积计算公式求得结果.3.设是非零向量，已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A4.如右图所示为函数()的部分图象,其中两点之间的距离为,那么（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C5.若双曲线x2+ky2=1的离心率是2，则实数k的值是（

）

A．-3

B．

C．3

D．参考答案：B略6.若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”．已知函数，为自然对数的底数)，，．有下列命题：①在递减；②和存在唯一的“隔离直线”；③和存在“隔离直线”，且的最大值为；④函数和存在唯一的隔离直线．其中真命题的个数

（A）个

（B）个

（C）个

（D）个参考答案：C7.若复数，则=、

、

、

、参考答案：C由已知，则=.故选.8.设，若，则下列不等式中正确的是（

）A、

B、

C、

D、参考答案：【解析】利用赋值法：令排除A,B,C,选D答案：D9.计算：（）A．－1

B．1

C．8

D．－8参考答案：C略10.已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m，β∩γ＝n，下列命题正确的是（

）A．若m⊥n，则α⊥β

B．若α⊥β，则m⊥nC．若m∥n，则α∥β

D．若α∥β，则m∥n参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数在复平面上对应的点在第

象限．

参考答案：四略12.已知随机变量服从正态分布，且，则

.参考答案：试题分析：正态分布均值为，，故.考点：正态分布．13.已知，则

.参考答案：略14.比较大小：

（填“”，“”或“”）参考答案：<15.已知A，B，C是圆x2+y2=1上互不相同的三个点，且满足||=||，则的取值范围是．参考答案：[﹣，）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】画出图形，设出、以及的坐标，求出?的坐标表示，求取值范围即可．【解答】解：如图所示，取=（1，0），不妨设B（cosθ，sinθ），（θ∈（0，π））．∵||=||，∴C（cosθ，﹣sinθ）；∴?=（cosθ﹣1，sinθ）?（cosθ﹣1，﹣sinθ）=（cosθ﹣1）2﹣sin2θ=cos2θ﹣2cosθ+1﹣（1﹣cos2θ）=2﹣；∵﹣1＜cosθ＜1，∴当cosθ=，即θ=时，上式取得最小值﹣；当cosθ=﹣1时，2﹣1=；∴的取值范围是[﹣，）．故答案为：[﹣，）．16.（08年全国卷2）设向量，若向量与向量共线，则

．参考答案：【解析】：

；17.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间，有两个棱长均为的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，设椭圆：的离心率为，分别为椭圆的左、右顶点，为右焦点，直线与的交点到轴的距离为，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以为直径作圆.（1）求的方程；（2）若直线与的另一个交点为，证明：直线与圆相切.参考答案：（1）解：由题可知，，∴，，设椭圆的方程为，由，得，∴，，，故的方程为.（2）证明：由（1）可得：，设圆的圆心为，则，圆的半径为，直线的方程为.

设过与圆相切的直线方程为，则，整理得：，由，得，又∵，∴直线与圆相切.19.（本题满分12分）己知斜三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧面为菱形，，平面平面ABC，N是的中点．(I)求证：BN；(II)求二面角的余弦值．参考答案：（Ⅰ）证明：方法一取的中点,连结，,由题意知．又因为平面平面，所以平面．………………2分因为平面

所以因为四边形为菱形，所以又因为∥,所以所以平面………………4分又平面，所以．…6分方法二取的中点,连结，,由题意知，.又因为平面平面，所以平面以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.……2分则,,，,，.

……4分因为，所以……6分（Ⅱ）取的中点,连结，,由题意知，.又因为平面平面，所以平面以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.……7分则,,，,,.设平面的法向量为，则即令.所以.

…………9分又平面的法向量

…………………10分设二面角的平面角为，则.……………12分20.（本小题满分14分）已知函数的图像过点，且在该点的切线方程为.（Ⅰ）若在上为单调增函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）若函数恰好有一个零点，求实数的取值范围.参考答案：（本小题满分14分）解：（1）由…1分

所以…………3分在上恒成立即

……………………5分（2）

和恰好有一个交点①当时在区间单调递减，在上单调递增，极大值为，极小值为，（当趋向于时图像在轴上方，并且无限接近于轴）所以或………8分②当时：(ⅰ)当，即时，在区间单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为，（当趋向于时图像在轴下方，并且无限接近于轴）当即时，或当时，即时，或……11分(ⅱ)当时，即

时在区间单调递增，在上单调递减，极小值为，极大值为，（当趋向于时图像在轴下方，并且无限接近于轴）或………13分（ⅲ）时，即时，在R上单调增（当趋向于时图像在轴下方，并且无限接近于轴）此时

………14分21.在△ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c，b=，c=1，cosB=．（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．参考答案：【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，由正弦定理可得sinC的值．（2）由c＜b，可得C为锐角，由（1）可得cosC，利用两角和的正弦函数公式可求sinA的值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵b=，c=1，cosB=．∴sinB==，∴由正弦定理可得：sinC===…4分（2）∵c＜b，C为锐角，∴由（1）可得：cosC==，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=×+×=，∴S△ABC=bcsinA==…12分【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22.选修4—2矩阵与变换已知矩阵