湖北省黄石市第八中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析

湖北省黄石市第八中学2021-2022学年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合，，若，则（

）A．{－1,3}

B．{－2,3}

C．{－1,－2,3}

D．{3}参考答案：A2.若复数是实数，则的值为（

）A.

B.3

C.0

D.参考答案：A，因为复数是实数，所以。3.已知集合，则a=() A．1

B．-1

C．±1 D．0参考答案：C略4.执行右边的程序框图1，输出的T=A．6

B．8

C．10

D．15

参考答案：C略5.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（ωx）的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x=对称 B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称 D．关于点（，0）对称参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由条件利用正弦函数的周期性，以及正弦函数的图象的对称性，得出结论．【解答】解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，可得=π，求得ω=2，f（x）=sin（2x+φ）．其图象向右平移个单位后得到函数g（x）=sin（2x）的图象，故有sin[2（x﹣）+φ]=sin2x，故可取φ=，f（x）=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈Z，求得x=+，故函数f（x）的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（x）的图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：A．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，以及正弦函数的图象的对称性，属于基础题．6.定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个，均有成立，则称函数f(x)在定义域D上满足利普希茨条件.若函数满足利普希茨条件，则常数k的最小值为（）A.4 B.3 C.1 D.参考答案：D试题分析：由已知中中利普希茨条件的定义，若函数满足利普希茨条件，所以存在常数k，使得对定义域[1，+∞）内的任意两个，均有成立，不妨设，则．而0＜＜，所以k的最小值为．故选D.考点：1.新定义问题；2.函数恒成立问题．7.右边是一个算法的程序框图，当输入的x值为3时，输出y的结果也恰好是，则？处的关系是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略8.已知数列是等差数列，若，则数列的公差等于（

）

A.1

B.3

C.5

D.6

参考答案：B略9.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:根据下表可得回归方程中的b=10.6，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为A.112.1万元 B.113.1万元 C.113.9万元 D.111.9万元参考答案：D【知识点】线性回归方程I4

∵==3.5，==43，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，中的b=10.6，∴43=10.6×3.5+a，∴a=5.9，∴线性回归方程是y=10.6x+5.9，∴广告费用为10万元时销售额为10.6×10+5.9=111.9万元，故选：C．【思路点拨】求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为10代入，预报出结果．10.今有一组实验数据如下表所示：6.12u1.54.047.51218.01则体现这些数据关系的最佳函数模型是 ()A．u＝log2t

B．u＝2t－2C． D．u＝2t－2x参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=，g（x）=asin（x+π）﹣2a+2（a＞0），给出下列结论：①函数f（x）的值域为[0，]；②函数g（x）在[0，1]上是增函数；③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在区间[0，1]内恒有解；④若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是≤a≤，其中所有正确结论的序号为．参考答案：①②④【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；分析法；函数的性质及应用．【分析】①分段求函数的值域，从而确定分段函数的值域，②由三角函数的性质可判断函数g（x）在[0，1]上是增函数；③g（x）∈[﹣3a+2，2﹣a]，f（x）∈[0，]，从而判断；④可判断若不存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立时，﹣3a+2＞或2﹣a＜0，从而解得．【解答】解：∵0≤x≤，∴0≤﹣x+≤，=2（x+2）+﹣8，∵＜x≤1，∴＜x+2≤3，∴＜2（x+2）+﹣8≤，∴函数f（x）的值域为[0，]，故①正确；∵x∈[0，1]，∴x+π∈[π，π+]，∴函数g（x）在[0，1]上是增函数，故②正确；∵g（x）=asin（x+π）﹣2a+2∈[﹣3a+2，2﹣a]，而函数f（x）的值域为[0，]，∴当2﹣a＜0，即a＞2时，[﹣3a+2，2﹣a]∩[0，]=?，故③错误；∵x∈[0，1]，∴x+π∈[π，π+]，∴sin（x+π）∈[﹣1，﹣]，∴asin（x+π）﹣2a+2∈[﹣3a+2，2﹣a]，若不存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，∴﹣3a+2＞或2﹣a＜0，解得，a＜或a＞；故实数a的取值范围是≤a≤，故正确；故答案为：①②④．【点评】本题考查了分段函数的应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的化简与应用．12.已知函数，则当时其导函数的值为

参考答案：2略13.已知实数满足约束条件（为常数），若目标函数的最大值是，则实数的值是

▲

.参考答案：14.正方体的棱长为，是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦最长时，的取值范围是

．参考答案：略15.设函数,则＿＿＿参考答案：16.（文）某高校随机抽查720名的在校大学生，询问他们在网购商品时是否了解商品的最新信息，得到的结果如右表，已知这720名大学生中随机抽取一名，了解商品最新信息的概率是，则

.参考答案：200了解商品最新信息的人数有，由，解得17.已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线准线的交点坐标为（），则双曲线的焦距为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值．参考答案：(1)当对称轴x＝a<0时，如图①所示．当x＝0时，y有最大值，ymax＝f(0)＝1－a，所以1－a＝2，即a＝－1，且满足a<0，∴a＝－1；(1)当对称轴0≤a≤1时，如图②所示．当x＝a时，y有最大值，ymax＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1.∴a2－a＋1＝2，解得a＝．∵0≤a≤1，∴a＝(舍去)；(3)对称轴x＝a，当a>1时，如图③所示．当x＝1时，y有最大值，ymax＝f(1)＝2a－a＝2，∴a＝2，且满足a>1，∴a＝2.综上可知，a的值为－1或2.

19.（本小题13分）设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最大的数．（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．参考答案：解：（Ⅰ），.当时，，所以关于单调递减.所以.所以对任意，于是，所以是等差数列.（Ⅱ）设数列和的公差分别为，则.所以①当时，取正整数，则当时，，因此.此时，是等差数列.②当时，对任意，此时，是等差数列.③当时，当时，有.所以对任意正数，取正整数，故当时，.

20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）设函数

（1）求函数和的解析式；（2）是否存在非负实数，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）定义，且

①当时，求的解析式；已知下面正确的命题：当时，都有恒成立.②对于给定的正整数，若方程恰有个不同的实数根，确定的取值范围；

若将这些根从小到大排列组成数列，求数列所有项的和.参考答案：解：（1）函数函数

……4分（2），……6分当时，则有恒成立.当时，当且仅当时有恒成立.综上可知当或时，恒成立；………8分（3）①当时，对于任意的正整数，都有故有…13分②由①可知当时，有，根据命题的结论可得，当时，有，故有.因此同理归纳得到，当时，……15分对于给定的正整数，时，解方程得，，要使方程在上恰有个不同的实数根，对于任意，必须恒成立，解得,若将这些根从小到大排列组成数列，由此可得

.……17分故数列所有项的和为：.……18分

略21.（13分）（2014秋?丰台区期末）已知数列{an}满足a1=1，an=λan﹣1+1，（λ≠1，n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求证：当λ≠0时，数列为等比数列；（Ⅱ）如果λ=2，求数列{nan}的前n项和Sn；（Ⅲ）如果[an]表示不超过an的最大整数，当时，求数列{[（λ﹣1）an]}的通项公式．参考答案：考点：数列的求和；数列的概念及简单表示法；等比关系的确定．

专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）当λ≠0，1时，设，由于an=λan﹣1+1，可得当n≥2时，=λ为常数．即可证明．（Ⅱ）由（Ⅰ）知λ=2时，{an+1}为首项为2，公比为2的是等比数列，可得an+1=2n，即nan=n?2n﹣n．再利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出；（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：an=．设cn=（λ﹣1）an=λn﹣1=，由二项式定理可知：为整数，即可得出．解答：（Ⅰ）证明：当λ≠0，1时，设，∵an=λan﹣1+1，∴当n≥2时，===λ为常数．∵，∴数列为等比数列，首项为，公比为λ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知λ=2时，{an+1}为首项为2，公比为2的是等比数列，∴an+1=2n，nan=n?2n﹣n．设An=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，则2An=22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1．相减得=﹣n×2n+1=（1﹣n）×2n+1﹣2，∴．设Bn=1+2+…+n=，则Sn=An﹣Bn=．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：=．设cn=（λ﹣1）an=λn﹣1=，由二项式定理可知：为整数，∴[cn]=，（k∈N*）．∴[cn]=﹣．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”、“取整函数的性质”、二项式定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.已知数列{an}是各项均为正数的等差数列.（1）若，且成等比数列，求数列{an}的通项公式an；（2）在（1）的条件下，数列{an}的前n和为Sn，设，若对任意的，不等式恒成立，求突数的最小值:（3）若数列{an}中有两项可以表示位某个整数的不同次冪，求证:数列{an}中存在无穷多项构成等比数列.参考答案：（1）的通项公式．（2）实数的最小值为．（3）有等比数列，其中．本试题主要是考查了数列的通项公式和数列求和的综合运用。（1）因为因为又因为是正项等差数列，故，利用等差数列的某两项可知其通项公式的求解。（2）因为，可知其的通项公式，利用裂项求和的思想得到结论。（3）因为这个数列的所有项都是正数，并且不相等，所以，设其中是数列的项，是大于1的整数，