山东省济南市第十四中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析

山东省济南市第十四中学2021-2022学年高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，位于A处前方有两个观察站B，D，且△ABD为边长等于3km的正三角形，当发现目标出现于C处时，测得∠BDC=45°，∠CBD=75°，则AC=（）A．15﹣6km B．15+6km C．km D．km参考答案：C【考点】三角形中的几何计算．【分析】先利用正弦定理，求出DC，再用余弦定理，求出AC．【解答】解：由题意，∠BCD=60°，∴=，∴DC=（3+），∵∠CDA=105°，∴AC==，故选C．2.已知一个三角形的三边长分别是5,5,6，一只蚂蚁在其内部爬行，若不考虑蚂蚁的大小，则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是()A．2－

B．1－

C．2－

D．1－参考答案：B略3.设命题，，则为（

）． A．， B．， C．， D．，参考答案：A特称命题的否定为全称命题，∴为“，”．故选．4.已知函数，那么的值为（

）A．32 B．16 C．8 D．64参考答案：C∵，∴．5.要得到的图象，只需将的图象（）A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位参考答案：B试题分析：，故要得到的图象，只需将的图象向左平移个单位考点：函数的图像和性质6.设0＜a＜1，e为自然对数的底数，则a，ae，ea-1的大小关系为（

）A．ea-1＜a＜ae

B．ae＜a＜ea-1

C.ae＜ea-1＜a

D．a＜ea-1＜ae参考答案：B在R上单调递减得：，由函数在在上的单调性知（求导）：也可取特殊值估算检验得B正确.【命题意图】此题考查了单调性比较大小，构造函数策略.7.（5分）已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），则a，b之间的关系是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】：绝对值不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：计算题．【分析】：化简|f（x）﹣1|＜a得＜x＜．化简|x+1|＜b得﹣b﹣1＜x＜b﹣1，由题意可得（，）?（﹣b﹣1，b﹣1），故﹣b﹣1≤，b﹣1≥，由此求得a，b之间的关系．解：|f（x）﹣1|＜a即|2x+2|＜a，即﹣a＜2x+2＜a，即＜x＜．|x+1|＜b即﹣b＜x+1＜b即﹣b﹣1＜x＜b﹣1．∵|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），∴（，）?（﹣b﹣1，b﹣1），∴﹣b﹣1≤，b﹣1≥，解得b≥，故选A．【点评】：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，绝对值不等式的解法，属于中档题．8.已知集合A={1，2，3}，B={x∈Z|（x+2）（x﹣3）＜0}，则A∪B（）A．{1} B．{﹣1，0，1，2，3} C．{1，2} D．{0，1，2，3}参考答案：B【考点】并集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用并集定义能求出A∪B．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x∈Z|（x+2）（x﹣3）＜0}={﹣1，0，1，2，}，∴A∪B={﹣1，01，1，2，3}．故选：B．9.设满足约束条件则的最大值（

）

（A） （B）2 （C） （D）参考答案：A试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知为最优解，．考点：线性规划.10.下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在(－∞,0)上单调性也相同的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若（i是虚数单位）是实数，则实数a的值是_________参考答案：略12.设函数若则函数的各极大值之和为

．参考答案：13.甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有

种参考答案：3014.直线与抛物线相交于A、B两点，与x轴相交于点F，若，则

．参考答案：略15.设函数，则的取值范围是

。参考答案：16.已知数列的首项，其前n项和为．若，则

．参考答案：17.若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为

．参考答案：8【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8．故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数.（1）写出的单调区间；（2）解不等式；（3）设，求在上的最大值.参考答案：解（1）：

……………2

的单调递增区间是；

单调递减区间是.…4

解（2）：

不等式的解集为

………8

（3）解：（1）当时，是上的增函数，此时在上的最大值是

………10（2）当时，在上是增函数，在上是减函数，此时在上的最大值是；

综上，当时，在上的最大值是；当时，在上的最大值是。

………12

略19.（本小题共13分）

已知椭圆：的两个焦点分别为，，离心率为，且过点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ），，，是椭圆上的四个不同的点，两条都不和轴垂直的直线和分别过点，，且这两条直线互相垂直，求证：为定值.参考答案：（Ⅰ）解：由已知，所以.所以.所以：，即.因为椭圆过点，得，.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆的焦点坐标为，.根据题意，可设直线的方程为，由于直线与直线互相垂直，则直线的方程为.设，.由方程组消得.则.所以=.同理可得.所以.

略20.（本小题满分14分）

已知数列的前n项和为，数列的前n项和为，且有,点在直线上.

（1）求数列的通项公式；（2）求;（3）试比较和的大小,并加以证明.参考答案：（1）；（2）

（3）见解析【知识点】数列递推式；数列的求和．D1D4解析：（1）当时,,解得：，………………1分

当时,,

则有，即：，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列.

………3分∴

……………4分（2）∵点在直线上∴.

…………………5分因为①,所以②.由①-②得,,所以.

………………8分（3）令,则==……10分时,，所以;

时,，所以;时,，所以.

…………13分综上:①时，,②时,,③时,…14分【思路点拨】（1）利用递推式与等比数列的通项公式可得；（2）由点在直线上，可得利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出；（3）作差比较大小即可得出．21.如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是长边为的正方形，另一部分是以为直径的半圆，其圆心为.规划修建的3条直道，，将广场分割为6个区域：I、III、V为绿化区域（图中阴影部分），II、IV、VI为休闲区域、其中点在半圆弧上，分别与，相交于点，.（道路宽度忽略不计）（1）若经过圆心，求点到的距离；（2）设，.①试用表示的长度；②当为何值时，绿化区域面积之和最大.参考答案：以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系.（1）直线的方程为，半圆的方程为（）,由得.所有，点到的距离为.(2)①由题意，得.直线的方程为，令，得.直线的方程为，令，得.所有，的长度为，.②区域IV、VI的面积之和为，区域II的面积为，所以（）.设，则，，当且仅当，即时“=”成立.所有，休闲区域II、IV、VI的面积的最小值为.答：当时，绿化区域I、III、V的面积之和最大.22.（Ⅰ）设函数f（x）=|x﹣|+|x+a|（a＞0）．证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若实数x，y，z满足x2+4y2+z2=3，求证：|x+2y+z|≤3．参考答案：【考点】：不等式的证明．【专题】：推理和证明．【分析】：（Ⅰ）通过绝对值三角不等式，已经基本不等式，即可证明f（x）≥2；（Ⅱ）利用