江西省名校协作体联盟2023届高三第二次联考模拟考试理数试含答案

机密丸Q年4月8日

江西省名校协作体联盟第二次联考模拟考试

数学(理科)试卷

座位

题号—■二三四五六总分累分人

号

得分

说明：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号'考场号和座位号填写在答题卡

±0将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息

点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区

域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂

改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回

一、选择题：本大题包括12小题，每小题5分，共60分。在每题给出的

四个选项中,只有一个是正确的。

1.若Z=(i+1严3,则Z的虚部是()

A.210"B.-210"C.210"/D.—21叫

2.已知4：=ln(2sin2x)},8：{xCZ|(x-3)(x+3)30},则An3为()

A.{1,—2,—3}B.{-1,2,3}C.{-3,—2,—1,0}D.{-3,—2,—1,1}

3.记全集为U，7为p的否定为q的否定，且p的必要条件是q的必要条件,贝I]()

A.存在《的必要条件B.pUq=UC.任意q的必要条件D.存在号的充分条件

是4的充分条件是万的必要条件是p的必要条件

4.2022北京冬奥会顺利召开，滑雪健将谷爱凌以2金1银的优秀成绩/

书写了自己的传奇，现在她从某斜坡上滑下，滑过一高度不计的滑板后

落在另一斜坡上，若滑板与水平地面夹角的正正切值为斜坡与水平/

地面夹角的正正切值为年，那么她最后落在斜坡上速度与水平夹角的正正切值为()

1-

（不计空气阻力和摩擦力）

A.3B.学C.号D.4

5.生物中。M4转录为RN4时服从碱基互补配对原则，即：/-U,C-G,G^C,T^A,

但许多化学因子能修饰碱基，使其转录出不同的产物，比如X标记处理后的碱基互补配

对原则变为：/JG,CJG,GlZ,现在小明将2个/，两个C,两个G,两个T,

一个X标记组成一个ON4分子,则其转录出的&M4有（）种

A.8400B.6720C.5880D.4200

6.在直角△ZBC,中|/C|=2,NC=90°,上有一动点P,将沿CP折起使得二面

角⑷一CP—8=60°,则当48最小值最小时，8。为（）A.,

匕

cB

38r2「5

AA-TDB-ToD'T

7.李华在研究化学反应时，把反应抽象为小球之间的碰撞,而碰撞又分为有效碰撞和无

效碰撞，李华有3个小球〃和3个小球b,当发生有效碰撞时，a,b上的计数器分别增加2

计数和1计数，球两两发生有效碰撞的概率均为B，现在李华取三个球让他们之间

两两碰撞，结束后从中随机取一个球，发现其上计数为2,则李华一开始取出的三个球里，

小球”个数的期望是（）个

A.1.2B.1.6C.1.8D.2

8.实数a,b>0,满足：a3+b3+7ab=9,则a+b的范围是（）

A.（2,1）B.[2,1）C.（2,为）D.[2,^9）

9.在AABC中2sin/+sin5=2sinC,则Ty+-^―的最小值为（）

smAsinC

A.14B.16C.18D.20

10.已知双曲线E：马■-4=1,其左右顶点分别为a,小，尸在双曲线右支上运动，若

ab-

/小力2的角平分线交X轴于D点、，A2过PD的对称点为Ay，若仅存在2个P使A.D与E

仅有一个交点，则£离心率的范围为（）

-2-

A.(1,V2)B.(V2,2)C.(V2,+oo)D.(2,+oo)

11.a=ln2,b=+,c=ln3与•，则()

V3V

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

12./(x)=ex+'-e}-x-ax-asinx+ecosa,/(x)上存在A,B,C,D四点使得四边形ABCD为

正方形，则。的取值可以是以下的几个()

①3②e+1③4④e+2⑤5

A.1B.2C.3D.4

二、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分。

13.平面向量明力，c,“满足㈤=|/>|=|c|==1,a+/>+c=0,则I"—"I+|d—引+

M-c|的取值范围为o

14.若存在X使/sin%+a8s2x>2,则"的取值范围为。

15.圆O：x2+/=4,p(3,4)过P作圆O的切线PM,PN,过P作斜率为1的直线/与圆

O交于点。(。在/\PMN内)，线段上有一点。使ADQN+APQM=180°,则。的坐

标为o

16.若/(x)=--Fxi-e",设/(x)的零点分别为xi,X2,…，x“，则〃=,

Inx

£>,］=。(其中⑷表示。的整数部分，例如：［2.1］=2,［兀］=3)

Z=1

三、解答题:本摩共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤。

17.(12分)

在4ABC中，,N8,NC对应的边分别为a,b,c,a=2,sin2S+sin2C-

V3sin5sinC=}

(1)若存在8>120°,求Z

(2)在(1)的条件下，若P是△NBC内一点，过P作垂线，垂足分别为D,E,

„\AB\418cl\AC\的.小值

匕求,一两十两+两的取小值.

3

18.(12分)

正四棱锥尸一/BCD中，尸〃=48=2,E为PB中点、，刀'=/#,M="而，面EEG

n面ABCD=/，面EFGCAD=K

(1)证明：当面EEG,面必。时，/_L面必。

⑵当2=〃=:时，T为P-表面上一动点(包括顶点)，若有且仅有5个T满足

z/IlTPF+i/F+imF+iTcF+i/y”?，求加p

y

19.(12分)口乙-----------c

已知椭圆E；+:•=1,圆C：(x-1>+/=1,圆。与椭圆E有且仅有三个交点,直

线/过点(-f,0)与E交于A,B两点，当/斜率不存在时，|朋=竽

(1)求椭圆E的方程

⑵过48分别作ZC,8。,与圆C相切交椭圆E分别于C,。两点，若心=人,求直线

CD

20.(12分)

已知/(x)=4+ln(2arlnx+

(1)若。=1,讨论/(x)单调性

(2)若/(x)>1,求4的范围

21.(12分)

小刚在闲暇之时设计了如下一个"数列"{4}满足：m=1,当％为偶数时，。“+尸1,

当&为奇数时，—有y的几率为%+1,有y的几率为a„+2

(1)求的的分布列和数学期望

(2)求为的前〃项和S,的数学期望

四、选考题:共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做,

-4-

则按所做的第一题计分.

22(极坐标与参数方程).(10分)

研究某点轨迹时，数学上常常用向量来表示一个点。例如：M是车轮边缘的一点,初始态

在原点，车轮半径为/•，轮子沿着x轴滚动，〃点的轨迹(x,y)即为摆线

(1)若以车轮旋转角度为参数,请写出M轨迹的参数方程

(2)若坐标原点处固定一半径为7•的轨道，现在让车轮沿着该轨道转一圈，M初始态在

(r,0)点，试写出用轨迹的参数方程

23(不等式选讲).(10分)

已知。+6+。=3,仇。>0

(1)求证a2h+b2c+c2a<4

(2)求crh+b2c+era+ere+b2a+c2b的范围

-5-

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理科数学参考答案

一、选择题:本大题包括12小题,每小题5分，共60分。

123456789101112

BCDBCABDBDBB

二、填空题:本题共4小吗每小题5分，共20分。

13.[2A/3,4]14.^0,-^2~U[l,4-oo)

15.(品,知16,34

三席锄8。

17.解：(l)sin-5—V3sin5sinC+-1-sin-C=-^-cos-C=(sin5—^y-sinC)

n①sinB=-^y-sinC+-yCOsC=sin(C+30°)

=>8=C+30°(舍)或8+C=150°即N=30°

②sin5=-^y-sinC--ycosC=sin(C—30°)

=8=C—30°(舍)或8+C=210°(舍)

综上N=30°

「24〃2(b+c+4)22(b+c+4)2

(2)r=7W+^W+MPfT>

2sMBCbe

又由余弦定理可知：加+。2-4=，1A

(b+c)2—4

nbc=

2+V3

2(b+c+4)-6+c+4=加

=T>2(2+，J)・2(2+V3)-

(b+c)?-4

m2±=k

m2—8m+1212M—84+1(6k—1)(2"1)

S+C)2-4(b+c)2

n£1+c&4A/2+y/3=2(V2+V6)

又A—立TF&4

11一T、12+4VJ+4右+4《

2A/2+2A/6+467+4V3

=36—20V2-20V3+1276

当且仅当b=c=2+，J时取等

18.解：(1)设NC交8。于O

以。为原点，OC为x轴，。8为7轴，OP为z轴建立直角坐标系

则j,G(V2(1—//),0,V2/z),F(—V2(l—2),0,\/22)

设〃i,〃2分别为面BOP,面ENG的一个法向量

易知〃尸(1,0,0),“2=(〃一九s,f)

=〃一2=0

nFG1/AC

又ACLBD,ACLPB,BDCPB=BnAC上面BDP

即U面8。尸

(2)易证〃=4=9时，K—D

\TB\2+\TD\2^\TO\2+\OB\2+2\TO\\OB\cosa+\TO\2+\OD\2-2\TO\\OD\cosa

^2\TO\2+2\OB\2

=加=4\TO\2+4\OB\2+2V2\77f=4|TO|2+2V2|7P|2+8

过C作。。'平分APOC交PO于O'

==4i04|TO|2+2V2|7P|2=(2V2+4)\TO'\2+2V2\O'P\2+4\OO'\2

nm=(2V2+4)|TOF+。+

lJg十17Z8

又有且仅有五个「满足条件，。为P-ZBC。内切圆圆心

旬孙=血三

=>加=4V2+8

19.解(1)由题意〃=2

又|初=华

丫2J

号+/=i

“2(—2)

⑵辰_/产”为参数)

[y=T+?

「2(1—4)2(1*)2(1—6

a[+/々X~l+B2「X-1+C2

设4：2A，&_2/tC：_2CD：

y~T+^[y~T+7

2

A=2(1-Z))

(其中Z6CO均不位于左顶点)

y=~n^

则易证N8：1+(/+8R-(i+/8)=o过(一1_,o)

=>AB=-2

lC

同理/c：-^x+(A+C)y-(l+NC)=O与圆。相切

\3AC+1|

r=1

V(1-^C)2+4(J+C)2

22

=2/2。2=〃2+。20/=c，同理"=D

2C2-12Z)2-1

C2D2

n452==4

2C2-1202T

=15C2/52+4=8(C2+Z)2)>16C。(令CD=t)

又k—11——

乂砒—2C+D,

=k2=1.di_2(/+I)2_1

CD~415/+412f-15i+16/+4-48

=>/=2或符(舍)

CD=2「「

C38=C+—

^CD:-x±4V3y-6=0

20.解(l)/(x)=(+ln(2xlnx+1)

“、cd+A^lnx—2xlnx-1

/a)=2•—7-D

令g(x)=x3+x3]nx—2x\nx—1

,.2(x—1)f—l

xV1时有Inx<----

32x3(x—1

=g(x)〈村—x2+1—1V0=x+

x+1当K-v。

Q3X2—2x—1=(x—l)(3x+1)<0成立

=/'(x)VO

同理x>1时有[(x)>0

故/(x)在(0,1)上递减，在(1,+8)递增

⑵由/⑴=l+ln!>l可知”6(0,1]

时不成立

a<0时，显然存在Xo使得2axinx+3-0,此时/(x)——8,不成立

下证6F6(0,1]时原式成立

令〃(a)=」+ln(2axlnx+5)

2xlnx—

"⑷=--------,ae，a(0,1]

2ax\nxH---

a

=>①2xlnx41时，h'(a')40

nh(a)>〃(1)=4+ln(2xlnx+1)

1%

由(1)知々+ln(2xlnx+l)>l

②2xlnx>1时

h(a)1+In(2j2xlnx)

2xlnx

令尸(x)==r+ln(2j2xlnx)

(x2—4)Inx+

=>尸(%)=

2x3\nx

x>2时尸(x)显然大于0

xV2时有Inx<2(，：)+ln2

x+2

=>(x2—4)Inx+x2>2(x-2)2+ln2(x2-4)+x2=(3+lnx)x2—8x+8-41n2

△=16(ln2+ln22-2)<0

=>(x2—4)lnx+x2>2(x—2)2+ln2(x2—4)+x2=(3+lnx)x2—8x+8—41n2>0

nP(x)>0

令2〃nf=1

下证F(f)>1,即J+In2>1<=!+~1~>1OEVV3显然成立

tt3

故/(x)>EQ)>l

今当且仅当aG(O,l]时原式成立

21.解:⑴分布列如图:

%1234589

p3111111

888881616

="3)=茏

(2)

S=1,S2=1+5]"7

C

由题意可知：S〃=3/+S”-3+…仔+3乂k

4/=1

£—2,SL34〃+5

i2+10-(〃>3)

=亍+4T~y~2”T

S—10++5\

n2"~'4〃+1

=S”+i-S“二+(〃>3)

222"

=S〃+产学+告4+5—告(〃>3),又S3=字=4-+4-+4=字成立，故〃>2

n,,+1

02"+区什|=2Sn+2-2"-£,一+5-2-8

令勾=26则儿+1=4+2儿