微分方程在日常实际中的应用

微分方程在实际中的应用一一以学习物理化学为例函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究，因此如何寻找出所需要的函数关系，在实践中具有重要意义。在许多问题中，往往不能直接找出所需要的函数关系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有未知函数及其导数的关系式，如dy/dx=2x、ds/dt=0.4,这样的关系就是所谓微分方程，。一般的、凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程 。如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程。如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数， 或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。从求通解”到求解定解问题”数学家们首先发现微分方程有无穷个解。常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定。总之，力学、天文学、几何学等领域的许多问题都导致微分方程。在当代，甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程， 如人口发展模型、交通流模型……。因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的。牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。 这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。但是在实际工作中，常常出现一些特点和初等数学中的某些方程完全不同的问题，如我们所学过的自由落体运动规律，单摆运动，真空中的抛射体运动，深水炸弹的水下运动，电容器的放电规律，质量和能量之间转换关系规律，运载火箭的运动规律，行星运动规律和万有引力定律，人造地球卫星的运动规律，导弹的导引规律等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的， 因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。 也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值， 而是要求一个或者几个未知的函数，即其都是一些常见的微分方程的问题。本次论文讨论的是微分方程在物理化学中的应用，前面了解了微分方程的相关知识，下面则来了解物理化学的相关知识。物理化学是化学科学中的一个重要学科，又称为理论化学。它借助数学，物理学等基础学科的理论及其提供的实验手段为基础， 研究化学科学中的原理和方法及化学体系的性质和行为最一般的宏观微观规律和理论，发现并建立物理化学化学体系的特殊规律的学科 ，是化学的理论基础。随着科学的迅速发展和各门学科之间的相互渗透， 物理化学与物理学、无机化学、有机化学在内容上存在着难以准确划分的界限，从而不断地产生新的分支学科，例如物理有机化学、生物物理化学、化学物理等。物理化学还与许多非化学的学科有着密切的联系，例如冶金学中的物理冶金实际上就是金属物理化学。物理化学的内容主要包括三个部分：1,物质结构一一研究物质性质和微观结构的关系；2,化学动力学一一研究化学反应的机理和速率； 3,化学热力学一一研究化学变化的方向、限度和能量转换。一般公认的物理化学的研究内容可以概括为以下4个方面：(1)化学系统的微观结构和性质。以量子理论为理论基础，研究原子和分子空间结构、表面相结构等以及物质结构与物性内在联系的规律性。主要是从微观结构层次阐明化学系统性质和行为的本质。属于这方面物理化学分支学科有结构化学和量子化学。(2)化学系统的宏观平衡性质。以3个热力学基本定律及热力学函数内能、嫡，导出热力学函数始、化学势等为基础研究宏观系统各种平衡性质及它们之间关系的规律性。研究涉及各种状态的宏观平衡性质，如气体、液体、固体、溶液、混合物、胶体等状态平衡性质。属于这方面物理化学的分支学科主要有化学热力学，它只研究系统的宏观性质而不涉及物质结构， 而且不包括时间变量；其他还有溶液、胶体和表面化学等。(3)化学系统的动态性质。研究化学变化过程中各种因素(如温度等)对化学反应速率的影响；研究化学反应机理，即反应物经过哪些反应步骤转化为最终产物。化学动力学主要研究化学反应随时间变化的动态系统，时间是主要变量。这个分支学科称为化学动力学。化学动力学研究方法有经典动力学、分子反应动力学和网络动力学3种方法。属于这方面物理化学分支学科有：化学动力学、催化反应动力学、光化反应动力学等。(4)化学系统的微观与宏观相结合的性质。以统计力学为理论基础，根据化学系统的微观性质统计平均值计算出系统宏观性质，将系统的微观性质与宏观性质联系起来。可以从微观层次阐明热力学基本定律和热力学函数的本质以及化学系统的性质和行为。属于这方面物理化学分支学科有化学统计力学。物理化学的发展趋势是从宏观到微观、从定性到定量、从体相到表相、从单一学科到交叉学科、从研究平衡态到研究非平衡态。从定义上看，微分方程指含有自变量，自变量的未知函数及其导数的等式，即定义式f(x,y1,y2,,,y(n))=0。从另一方面来看，微分方程也是偏微分方程和常微分方程的总称。在物理化学中，微分方程无处不在，从热力学公式到动力学公式，它们的推导过程都离不开微分的帮忙，正是有了微分这个强有力的后盾，才让物理化学的发张更加顺利，无形中推动着物理化学的发展。细看物理化学的内容，与微分方程即其相关知识的应用案例多的数不胜数， 在此我就不一一列举了。在当今生活中，微分方程在很多学科领域内都有着重要的应用， 如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求微分方程的解，或者化为研究微分方程解的性质的问题。应该说，现在在应用微分方程的理论上已经取得了很大的成就， 特别是物理化学，与微分方程是紧密联系在一起的，可以说