代课件线代24法则逆矩阵一个简明表达式

小结思考题作业1第二 行列ai1Ajai1Aj1+ainAjn=deti引理1设A(aij)n·n,Aij表⽰aij的代数余⼦式11i„jnaiAj +ainAjn=11i„jn证⾏列式按第j⾏展开,得detAajkAjkkn所以将⾏列式中第j⾏的元aj1aj2ajn换成ai1,nain后所得的⾏列式其展开式为aikAjkk2设i„j:ai1Aj1 +ain⁝

⁝ai=ai⁝

⁝ =0 ⁝3 例已知3阶⾏列式D3det(aij (a11

+(a21

+a22

+(a31A11+a32A12+a33A13)2 原式=(-2)2+0+0= ++=A,i=i„4 引理2设A为n阶矩阵则AA*A*A(detA)E,其中

An1

An2称为矩阵A的伴随矩阵.⁝⁝ ⁝⁝

adjoint A证

nn⁝

n⁝

An1An2

nn

nn5

An1a AA*=

n2

⁝

nn

nn +

=detA,i= AA

i„= det=OO

det

=(det det类似有A*A所以AA*A*A(detA)E.AA*A*A=|A|E6

设矩阵A和B满⾜条件:A*BA2BA8E,其中A*表⽰矩阵A的伴随矩阵E是单位矩阵, A= -

0,求矩阵

AA*=A*A=AE 解由等式A*BA2BA8E,两端左乘AAA*BA=2ABA-8|A|BA=2ABA-8再右乘A-1,得|A|B2AB所 (|A|E-2A)B=-7 A= - 100|A|=-0001(|A|E-2A)B=- B=-8(|A|E-2A)- 0-2 -

0 1

1 0-

0 =4 - - 00 0

1 2 = - 0.020 020 定理1设A可逆则A-1

det

A*.(A-1

|A

证由引理 AA*=A*A=(det因A可逆故detA0,

detA-1

det9 例下列矩阵AB是否可逆若可逆求出其逆矩阵.

4A-11|AAA-11|A 1,B= -3354 3354

- |A|=

12 \A-1存在 = 1= =- 1=- 同理可得A13=2,A21=6,A22=- A23= A32=5,A33=-

A11=AA2241的逆矩阵.

-

=

A32

- -

5

- 33 -

-A-1=

-

=-3 - 52|A 2

- -1 对B

4 -1,- 5 164164由于|B24-=--=-25089设A-1

1

|AB|=|A|AB|=|A||B 1(A*)-1= (A*)-1= |AA-1= |AA-1= |A3解A-1

|A

两边同时取逆得：(A*)-1

|A由于A-1存在所以|A|

|A

=|A-1|=|A*|„

即证A*可逆

- -

=|A-1=

1-2

01- 1 - - (A*)-1

A=2A=- 0|A - 1 ⽅阵的逆矩

2009年考研数学(⼀,⼆,三),选择题,(4分设AB均为2阶矩阵,A*B*分别为AB 伴随矩阵.若|A|=2,|B|=3,则分块矩阵 (B)(B)32B*O(A)

3B*2A*O(C)

CC-1=1CC

2B*OCC*CC*=C*C=C

3B*O 分块矩阵

O的⾏列式

=(-1)2·2|A||BO=2·3= ⽅阵的逆矩

2009年考研数学(⼀,⼆,三),选择题,(4分设AB均为2阶矩阵,A*B*分别为A,B 伴随矩阵.若|A|=2,|B|=3,则分块矩阵 (B)(B)O2B*3OC-1=1CC A=6„O

即分块矩阵可逆

=

A

A-

=

O

O O

A- OO O |B

B*

2B* =6 |A

3A*(G.Cramer,1704--a11x1+a12x2 +a1nxn

x+ x

+ =12nn12nn

2nan

若常数项b1b2,bn不全为零,则称此⽅程组为非齐次线性方程组;若常数项b1,b2,,bn全已有定理:⽅阵A可逆的充要条件为AX=b有唯⼀解(Cramer

+a1nxnba x+ x + 设A可逆,则AX=b的唯⼀解为:21

xj

detdet

,(j=1

(※)

+annxn说明

detAj

a2,j-

a2,aa2,an,

.

an,

法则包含三个结论① 有解②解是唯⼀的③解 (※)给出设设A可逆则AX=b的唯⼀解为:jdet ,(j=1det,证解的唯⼀性(显然)A-11det

⁝

detA

⁝⁝

n

得到的⾏列式得到的⾏列式detAj=b1A1j+b2A2j+detA §1.3定理3§1.3定理3n设A为n阶矩阵则AXA 应用一求解非齐次线性 ,要准确迅速地算出D及Di(i=1,2 ,从⽽求出所求的解x1+x2-x3= 例求解

+3

-2x3=4x1

+

-x3= -

c+

-D=

-

- - - 1(-

-1=114 -114

- - =1- =1-1

=3,D2=

-

=6,D3

1= -

-

x= =3= =

=6=2,

=D3=9=

x1+x2+x3=x+ax+a2 =

+

+b2x3= A=

a2

=(b-a)(b-1)(a-bab1a1则A0范A1范

A,x1

A=1, A= =

=0

x2=2=A

=0

x3=A

=应用二已知齐次线性⽅ 只有零解,由其系数⾏列式不等于零,确定该 lx1+x2+x3= 例齐次线性 +lx

+x3=

+x2+x3=只有零解则l应满⾜的条件是什么解因齐次线性 只有零解,l

问D0时D l1(1l)20即l

该 解如何证明齐次线性 仅有零解为此只须证明其系数⾏列式D„ 应用四已知齐次线性⽅有非零解,由其系数⾏列式等于零,确定系数⾏列式中参数的取值 计算量非常⼤,有实际计算意义,主是理论上的意义(如,给出了解的表达式伴随矩阵的重要结论:

AA*=A*A=|A|逆矩阵的⼀个简明表达式

A-1

|A ⽅程个数等于未知量个数系数⾏列式不等于零 系数与常数项之间的关系.它主要适⽤于理论推导思考题设A(x1,y1),B(x2,y2)是平⾯上两个不同的点且过AB两点的直线不通过原