空间解析几何基本知识

关于空间解析几何基本知识第1页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三2第一节一、空间直角坐标系二、曲面及其方程的概念三、几种常见的曲面及其方程空间解析几何基本知识第七章第2页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三3Ⅶ面面面ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧx轴(横轴)y轴(纵轴)z

轴(竖轴)复习1.空间直角坐标系第3页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三42.平面基本方程:一般式复习平面Ax+By+Cz=0通过坐标原点；3.平面一般方程的几种特殊情况：截距式第4页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三5平面过x

轴；平面//x

轴；平面Cz+D=0平行于xoy

坐标面；平面过y

轴；平面//y

轴；平面By+D=0平行于xoz

坐标面；平面Ax+D=0平行于yoz

坐标面.平面过z

轴；平面//z

轴.第5页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三64.柱面方程的特征：只含两个坐标的方程一定是柱面方程，缺少哪个变量字母，母线就平行于哪个坐标轴.二元方程都是柱面方程25第6页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三7引例.

分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,沿曲线C平行于

z轴的一切直线故在空间过此点作所形成的曲面称为圆柱面.对任意z,平行

z

轴的直线l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上所有点的坐标都满足此方程,三、柱面第7页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三8观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所这条定曲线C

叫(1)定义形成的曲面称为柱面.柱面的准线，直线L

叫柱面的母线.动C一般的第8页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三9C平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所(1)定义形成的曲面称为柱面.三、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C

叫柱面的准线，直线L

叫柱面的母线.动第9页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三10C平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所(1)定义形成的曲面称为柱面.三、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C

叫柱面的准线，直线L

叫柱面的母线.动第10页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三11C平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所(1)定义形成的曲面称为柱面.三、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C

叫柱面的准线，直线L

叫柱面的母线.动第11页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三12C平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所(1)定义形成的曲面称为柱面.三、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C

叫柱面的准线，直线L

叫柱面的母线.动第12页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三13C平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所(1)定义形成的曲面称为柱面.三、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C

叫柱面的准线，直线L

叫柱面的母线.动第13页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三14C平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所(1)定义形成的曲面称为柱面.三、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C

叫柱面的准线，直线L

叫柱面的母线.动第14页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三15C平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所(1)定义形成的曲面称为柱面.三、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C

叫柱面的准线，直线L

叫柱面的母线.动第15页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三16C平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所(1)定义形成的曲面称为柱面.三、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C

叫柱面的准线，直线L

叫柱面的母线.动第16页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三17C平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所(1)定义形成的曲面称为柱面.三、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C

叫柱面的准线，直线L

叫柱面的母线.动第17页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三18C平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所(1)定义形成的曲面称为柱面.三、柱面观察柱面的形成过程:这条定曲线C

叫柱面的准线，直线L

叫柱面的母线.动第18页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三19（2）求柱面方程设母线//z轴，准线是xoy面上的曲线C:F(x,y)=0.设M(x,y,z)是柱面上的任一点，作面于N，则N(x,y)是曲线F(x,y)=0上的点，则得M(x,y,z)点满足的方程为F(x,y)=0.所以柱面方程为：xzyoNM(x,y,z)F(x,y)=0只含x,y而缺z的方程F(x,y)=0，在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，而准线为xoy面上的曲线C.第19页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三20g(y,z)=0是母线//x轴,g(y,z)=0所构成的柱面.类似地：准线为yoz面内的曲线h(x,z)=0是母线//y轴,h(x,z)=0所构成的柱面.准线为xoz面内的曲线注意：柱面方程一定是二元方程，缺少哪个变量字母，母线就平行于哪个坐标轴.第20页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三21柱面方程的特征：只含两个坐标的方程一定是柱面方程，缺少哪个变量字母，母线就平行于哪个坐标轴.二元方程都是柱面方程第21页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三22抛物柱面平面例问方程表示什么曲面？zxyo抛物柱面第22页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三23椭圆柱面xyzo抛物柱面双曲柱面例如：母线//x轴母线//z轴母线//y轴第23页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三24例1指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？解斜率为1的直线平面解析几何中空间解析几何中方程第24页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三25(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴．曲面的母线.曲线叫旋转第25页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三26(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴．曲面的母线.曲线叫旋转第26页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三27(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴．曲面的母线.曲线叫旋转第27页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三28(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴．曲面的母线.曲线叫旋转第28页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三29(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴．曲面的母线.曲线叫旋转第29页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三30(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴．曲面的母线.曲线叫旋转第30页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三31(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴．曲面的母线.曲线叫旋转第31页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三32(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴．曲面的母线.曲线叫旋转第32页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三33(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴．曲面的母线.曲线叫旋转第33页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三34(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴．曲面的母线.曲线叫旋转第34页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三35(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴．曲面的母线.曲线叫旋转第35页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三36(1)定义以一条平面这条定直线叫旋转曲3、旋转曲面曲线绕该平面上的一条直线旋转一周所生成的曲面称为旋转曲面.面的轴．曲面的母线.曲线叫旋转第36页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三37例如:第37页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三38(2)建立yoz面上曲线C

绕z

轴旋转所成曲面的方程:给定yoz

面上曲线C:设所求曲面上的动点为则点M一定是曲线上的某点转过来的.故旋转曲面方程为：当绕z轴旋转时,设则有则有该点转到第38页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三39思考：当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？总之：旋转曲面的方程方程：yoz面上的曲线f(y,z)=0绕z轴旋转一周所成的旋转曲面的方程：yoz坐标面上的已知曲线f(y,z)=0绕y轴旋转一周的旋转曲面的方程为第39页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三40例3.

求坐标面xoz

上的双曲线分别绕

x轴和z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕x

轴旋转绕z

轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为第40页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三41旋转抛物面oyzxxyzo第41页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三42例4.

试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解:

在yoz面上直线L的方程为绕z轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方第42页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三43该曲面叫圆锥面.方程的特点：叫标准圆锥面.三元二次齐次方程.同理：中心轴是y

轴中心轴是

x

轴.也是标准圆锥面.也是标准圆锥面.是上半圆锥面.第43页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三44旋转抛物面.旋转双叶双曲面.如第44页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三455、其它的二次曲面三元二次方程这类曲面通常都可以先经过旋转,然后伸缩变形得到称为旋转+伸缩型二次曲面

.其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)特征：第45页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三461.定义：三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法,伸缩法

.其基本类型有:

椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)相应地平面被称为一次曲面．用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,了解曲面的全貌，即为截痕法.考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而截痕法：5、其它的二次曲面第46页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三47伸缩法：第47页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三48ozyx将旋转椭球面沿轴方向伸缩倍得：2.椭球面椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面球面第48页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三49第49页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三50（2）双叶双曲面ozyxxyoz旋转双曲面,沿轴方向伸缩倍第50页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三51xyzooyzx第51页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三52设a,b均大于0,以平行于xOy面的平面z=z0(z0＞0)截椭圆抛物面,所得截线方程为它表示平面z=z0上一椭圆.以z=0截曲面,截得一点为原点.

第52页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三53以平行于xOz面的平面y=y0截曲面,截线方程为

这是平面y=y0上一条抛物线.以平行于yOz面的平面x=x0截曲面所得截线是平面x=x0上的一条抛物线.

第53页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三54xyzo第54页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三551.空间曲面三元方程球面旋转曲面柱面----二元方程如,曲面表示母线平行z

轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.

圆锥面的方程时叫标准圆锥面.yoz面上的曲线f(y,z)=0绕z轴旋转一周所成的旋转曲面的方程：内容小结第55页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三562.二次曲面三元二次方程椭球面抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面双曲面:单叶双曲面双叶双曲面椭圆锥面:

第56页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三57BB第57页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三58空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线C，是空间一个椭圆.C一、空间曲线的一般方程补第58页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三59又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.

由于是上半球面,是圆柱面,交线如图,叫维维尼曲线第59页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三60例如:下列方程组各表示怎样的曲线？所以，空间曲线的方程是不唯一的.第60页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三61三、空间曲线在坐标面上的投影CCC关于的投影柱面C在上的投影曲线Oxzy设曲线则C关于xoy面的投影柱面方程应为消z后的方程：所以C在xoy面上的投影曲线的方程为：第61页，讲稿共69页，2023年5月2日，星期三62例3.解：代入消元求交线C的投影曲线的方程.由所给的方程相减得：消去z得关于